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Universidade Federal do Paraná, Departamento de Fı́sica
Fı́sica III, Prof. Felix Sharipov
Primeira Avaliação Escolar, 19 de outubro de 2011
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . .
Constantes: ϵ0 = 8, 85 × 10−12 F2 · m−1 ,
k = 1/4πϵ0 = 8, 99 × 109 N · m2 · C−2
Questões:
1. Formule e comente a lei de Gauss. [1,0 ponto]
⃗ através de uma superfı́cie fechada à
A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico E
carga total qenv que é envolvida por esta superfı́cie, ou seja,
ε0 Φ = qenv ,
onde ε0 é a permissividade do vácuo. O fluxo Φ é definido como
I
Φ=
En dA,
onde En é a componente normal do campo elétrico à superfı́cie, dA é um segmento da superfı́cie.
2. Usando a lei de Gauss determine o campo elétrico no interior e no exterior de uma casca cilı́ndrica,
com a densidade linear de carga λ. [1,0 ponto]
A superfı́cie gaussiana é um cilindro de raio r e de comprimento L coaxial com a casca. O fluxo
elétrico Φ através da superfı́cie como
I
Φ=
En dA = 2πrLEr ,
onde Er é a componente radial do campo.
No interior da casca a carga envolvida é zero. Portanto,
2πrLEr = 0
⇒
Er = 0
No exterior da casca, a carga envolvida é dada como
qenv = λL
Portanto,
2πrLEr =
1
λL
ε0
⇒
Er =
λ
2πε0 r
3. Dê a definição de potencial elétrico. [0,5 ponto]
O potencial elétrico V é definido como energia potencial U de uma carga q em campo elétrico dividida
pelo valor da carga, ou seja
V =
U
.
q
A diferença de potencial em dois pontos é dada através do campo elétrico como
Vf − Vi = −
∫
i
f
⃗ · d⃗s.
E
A unidade de potencial é 1 Volt
1V =
1J
.
1C
4. Determine o potencial elétrico do campo elétrico da questão 2. [1,5 ponto]
No exterior r > R
dV = −Er dr = −
λ dr
2πε0 r
onde R is o raio da casca.
V (r) = Vref −
λ
r
ln
2πε0 rref
Onde Vref é o potencial no ponto rref . No interior, r < R
V (r) = Vref −
λ
R
ln
2πε0 rref
(1)
Problemas:
1
2
1. Uma carga q1 = 8,99
nC é colocada na origem, uma outra carga q2 = − 8,99
nC é colocada no ponto
4
x = 0 cm e y = 1 cm, e mais uma carga q3 = 8,99 nC é colocada no ponto x = 1 cm e y = 0 cm.
⃗ no ponto x = 1 cm e y = 1 cm [1,0 ponto]; (b) a força
Determine: (a) o campo elétrico resultante E
resultante F⃗ sobre uma carga Q = 2 µC colocada no mesmo ponto x = 1 cm e y = 1 cm [0,5 ponto].
(a) Denotamos a = 1 cm.
⃗ =E
⃗1 + E
⃗2 + E
⃗3
E
⃗ 1 = k q1
E
2a2
⃗ =k 1
E
a2
(
[(
)
1
1
√ î + √ ĵ ,
2
2
)
q1
√ + q2 î +
2 2
(
⃗ 2 = k q2 î,
E
a
) ]
⃗ 3 = k q3 ĵ
E
a
q1
1
√ + q3 ĵ = −4
10
2 2
⃗ = (−1, 65î + 4, 35ĵ) · 104 N/C
E
(b)
⃗ = (−3, 30î + 8, 70ĵ) · 10−2 N
F⃗ = EQ
[(
)
1
√ − 2 î +
2 2
(
) ]
1
√ + 4 ĵ N/C
2 2
2
2. Uma carga puntiforme de q = 8,99
µC esta na origem. Uma esfera oca e concêntrica tem os raios
3
interno a=1 cm e externo b=2 cm. A esfera é condutor e possui uma carga de Q = − 8,99
µC. Calcular
o campo elétrico nos pontos: (a) x=0.5 cm e y=0 cm [0,5 ponto]; (b) x=0 cm, y=1,5 cm [0,5 ponto];
(c) x = −4 cm, y=0 cm [0,5 ponto].
(a) Somente o campo da carga puntiforme
−6
⃗ = k q î = 109 2 · 10
E
î N/C = 8 · 107 î N/C
x2
0, 25 · 10−4
⃗ = 0.
(b) Como a esfera é condutor E
(c) Os campos da carga puntiforme + da esfera
−6
⃗ = k q + Q (−î) = −109 (2 − 3) · 10 î N/C = 6, 25 · 105 î N/C
E
x2
0, 25 · 10−4
3. Uma barra de plástico tem a forma de uma circunferência de raio R = 5 cm. A barra possui uma
carga Q1 = 4 pC uniformemente distribuı́da ao longo de uma metade da circunferência e uma carga
Q2 = −10 pC uniformemente distribuı́da ao longo da outra metade da circunferência. Calcule: (a) o
modulo do campo elétrico E no centro da circunferência [2 pontos] e (b) o potencial elétrico V no
mesmo ponto [1 ponto].
(a)
dE1x = k
Q1
dq
cos θ = k
cos θdθ
R2
πR2
E1x = k
Q1
πR2
E2x = k
Q2
πR2
∫
π/2
−π/2
∫
3π/2
π/2
Ex = E1x + E2x =
cos θdθ = k
cos θdθ = −k
2Q2
πR2
2k
(Q1 − Q2 ) = 32, 1 N/C
πR2
(b)
V =k
2Q1
πR2
Q1 + Q2
= −1, 08 V
R