Lista-2 - Professores da UFF

Universidade Federal Fluminense — UFF
Fı́sica 2 — 2a Lista de Exercı́cios
Lei de Gauss
Prof.Schmidt
08/2008
Questões
1. Caso o campo elétrico de uma carga pontual fosse proporcional a r−3 ao
invés de r−2 , a lei de Gauss ainda seria válida? Explique o seu raciocı́nio. Dica:
Considere uma superfı́cie gaussiana esférica centrada sobre uma carga q pontual.
2. Uma carga pontual q está no centro de uma superfı́cie gaussiana esférica
S. Se a carga for transferida para outro ponto dentro de S, o campo elétrico em
um ponto sobre esta superfı́cie se altera? O fluxo elétrico através de S muda ou
permanece constante? Justifique a sua resposta.
3. Explique porque o módulo de um campo elétrico na superfı́cie de um condutor sólido de forma irregular deve ser maior nas vizinhanças de pontos onde a
superfı́cie se encurva fortemente, enquanto que deve ser menor em outras regiões
onde a curvatura é mais suave. Como a densidade de carga superficial se compara
nestas duas regiões?
4. Um carga pontual é colocada no centro de uma superfı́cie gaussiana esférica.
O valor do fluxo Φ se altera se: (a) a esfera for substituı́da por um cubo? (b) se a
área do cubo for aumentada N vezes? (c) se a carga for afastada (mas permanecer
dentro dela) do centro da esfera? (d) a carga for removida para fora da esfera? (e)
uma outra carga for colocada próxima da primeira, mas fora da superfı́cie? (f) uma
outra carga for colocada dentro da superfı́cie?
Problemas
1. Uma placa plana possui a forma de um retângulo com lados de 0, 400m e
0, 600m, e está imersa em uma região onde existe um campo elétrico uniforme com
módulo igual a 75, 0N/C e cuja direção faz um ângulo de 20o com o plano da placa.
Calcule o módulo do fluxo elétrico total através da placa.
2. Uma esfera condutora sólida de raio R possui uma carga positiva Q. A esfera
está no interior de uma outra esfera oca isolante e concêntrica de raios interno R
e externo 2R, e com densidade de carga uniforme ρ. (a) Calcule o valor de ρ para
que a carga total do sistema seja zero; (b) Usando o valor de ρ encontrado na parte
(a), determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em cada uma das
regiões 0 < r < R, R < r < 2R, e r > 2R. Mostre seus resultados em um gráfico
da componente radial do campo elétrico em função da distância radial.
3. Um átomo de hidrogênio é constituı́do por um próton com carga q = 1, 6 ×
10−19 C, e um elétrica com carga −q. Podemos considerar como sendo uma carga
pontual situada em r = 0, o centro do átomo, e o elétrica sendo responsável por
uma distribuição efetiva de carga em torno do próton dada por,
ρ(r) = −
qe−2r/a0
,
πa30
onde a0 = 5, 29 × 10−11 m é o raio de Bohr do átomo. (a) Calcule a carga total do
átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centrada no próton. Mostre
que quando r → ∞ a carga contida neste volume tende a zero. Interprete este
resultado. (b) Encontre o módulo, direção e sentido do campo elétrico produzido
pelo átomo de hidrogênio em função da distância r. Apresente seu resultado em um
gráfico da componente radial do campo elétrico em função da distância radial.
1
4. Uma distribuição de carga esfericamente simétrica porém não uniforme possui
densidade ρ(r) dada por,
³
(
ρ0 1 −
0
ρ(r) =
4r
3R
´
,
,
se r ≤ R
,
se r > R
onde ρ0 é uma constante positiva. (a) Calcule a carga total contida na distribuição
de cargas; (b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico nas regiões r ≥ R e
r ≤ R; (c) Faça um gráfico para o módulo do campo em função da distância r; (d)
Encontre o ponto r para o qual o campo elétrico atinge o seu valor máximo e calcule
este valor.
5. Usando a lei de Gauss determine o campo elétrico produzido por um plano
infinito com distribuição de carga uniforme positiva σ. Dica: utilize uma superfı́cie
gaussiana cilı́ndrica.
6. O cilindro de reprodução de imagem de uma fotocopiadora deve possuir em
um ponto situado quase sobre a superfı́cie externa um campo elétrico de módulo
igual a 1, 40 × 105 N/C. (a) Se o cilindro possui uma área lateral igual a 0, 0610m2
(uma área suficiente para imprimir folhas de papel pequenas até o tamanho ofı́cio),
qual é a carga total existente sobre a superfı́cie do cilindro? (b) Caso a área lateral do
cilindro fosse aumentada para 0, 122m2 , de modo que ele pudesse imprimir folhas
maiores, qual seria a carga necessária para que o campo elétrico imediatamente
acima de sua superfı́cie lateral continuasse sendo igual a 1, 40 × 105 N/C?
7. Um condutor isolado de forma arbitrária possui carga total de 1 × 10−5 C.
Dentro do condutor existe uma cavidade oca, no interior da qual há uma carga
pontual q = 3 × 10−6 C. Qual é a carga (a) sobre a parede da cavidade e (b) sobre
a superfı́cie externa do condutor?
8. (a) Uma esfera isolante com raio a possui uma densidade de carga uniforme ρ.
A esfera não está centrada na origem, porém seu centro está localizado no ponto ~r =
~b. Mostre que o campo elétrico no interior da esfera é dado por E
~ = ρ(~r −~b)/3²0 . (b)
Uma esfera isolante com raio R possui uma cavidade esférica com raio a localizada
no interior do seu volume e está centralizada em um ponto a uma distância b do
centro da esfera, onde a < b < R. A parte maciça da esfera possui uma densidade de
carga volumétrica ρ uniforme. Determine o campo elétrico no interior da cavidade
~ é uniforme em todos os pontos do volume da cavidade. Dica: use o
e mostre que E
resultado do item (a).
Respostas dos Problemas
1. 6, 16N · m2 /C.
2. (a) densidade de carga,
3Q
,
28πR3
(b) E = 0 nas regiões I e III, mas na II o campo é dado por,
ρ=−
E=
ρ(r3 − R3 )
Q
+
.
4π²0 r2
3²0 r2
3. (a) a carga é,
Q(r) = Q −
´
4Qe−ar ³ ar
2 2
2e
−
a
r
−
2ar
−
2
,
(aa0 )3
onde a = 2/a0 .
(b) O campo elétrico é orientado radialmente para fora e possui módulo,
2
"
kQ
e−2r/a0
E = 2 1−
r
2
Ã
2r/a0
2e
4r2 4r
− 2 +
−2
a0
a0
4. (a) Q = 0; (b) E = 0; (c)
µ
E=
¶
ρ0 r
r
1−
,
3²0
R
ρ0 R
(d) rmax = R/2; (e) E = 12²
.
0
5. Ver resultado no caderno.
6. (a) q = 7, 56 × 10−8 C; (b) q = 1, 51 × 10−7 C.
7. (a) −3µC, (b) 13µC.
8. (b) ρ~b/3/²0 .
3
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