TEM 2010 – Lista de Problemas 2 O campo elétrico: lei de Coulomb

TEM 2010 – Lista de Problemas 2
O campo elétrico: lei de Coulomb, lei de Gauss e potencial
eletrostático
A C Tort∗
1 de Setembro de 2010
Problema 1 Lei de Coulomb Considere duas cargas puntiformes de mesma magnitude e sinal algébrico q. As
cargas são obrigadas a mover-se sobre uma circunferência de raio R. Suponha as cargas inicialmente em posições
arbitrárias sobre a circunferência, separadas por uma distância angular θ, veja a Figura 1.
(a) Calcule a intensidade da força eletrostática entre as duas cargas puntiformes em função de q, R e θ.
(b) Para que valores de θ a força é um extremo, isto é: um máximo ou um mı́nim0?
(c) Calcule o trabalho realizado por um agente externo para aproximar as cargas uma da outra desde θ = π até
θ = θfinal .
q
b
q
θ
R
b
Figura 1: Cargas puntiformes idênticas sobre um aro de raio R.
Problema 2 Mostre que para duas distribuições localizadas de carga, uma descrita por uma densidade de carga
ρ1 (r1 ) e a outra descrita por uma densidade de carga ρ2 (r2 ), a da força eletrostática que primeira exerce sobre a
segunda é formalmente dada por:
Z Z
1
ρ (r2 ) ρ (r1 )
F12 =
(r2 − r1 ) ,
(1)
4πǫ0 1 2 kr2 − r1 k3
∗ email:
[email protected]
1
AC TORT 2/2010
2
Figura 2: Força eletrostática entre corpos extensos.
onde, em notação evidente per se, d3 r1 = dx1 dy1 dz1 , e d3 r2 = dx2 dy2 dz2 . Qual a força que a segunda
distribuição exerce sobre a primeira? Este resultado estende a força de Coulomb para duas cargas puntiformes
para o caso em que as distribuições têm uma extensão finita. Este resultado não vale para corpos condutores!
Problema 3 Interação eletrostática entre corpos extensos Considere dois bastões finos de mesmo comprimento
finito ℓ, paralelos e separados por uma distância D. Um dos bastões é uniformemente carregado com uma densidade linear de carga λ e o outro com uma densidade linear de carga λ ′ .
(a) Mostre que a magnitude da força entre os bastões é dada por:
"r
#
λλ′
ℓ2
kFk =
1+ 2 −1 .
2πǫ0
D
(b) Analise a situação em que ℓ/D ≪ 1 e mostre que recuperamos a lei de Coulomb.
Problema 4 Lei de Gauss A densidade de carga de uma esfera de raio R é dada por:
4r
ρ(r) = ρ0 1 −
, 0 ≤ r ≤ R.
3R
onde r é a distância radial á origem. Para r > R, a densidade de carga é nula.
(a) Calcule a carga total da esfera.
(b) Calcule o campo elétrico dentro da esfera.
(c) Calcule o campo elétrico fora da esfera.
AC TORT 2/2010
3
R
ρ(r)
Figura 3: Distribuição esférica de carga.
Problema 5 Verificando a lei de Gauss Considere um dipolo elétrico p colocado na origem de um sistema de
coordenadas cartesiano, alinhado com o eixo z. Considere também uma esfera de raio R centrada na origem. Veja
a Figura 4. Calcule explicitamente o fluxo do campo elétrico do dipolo através da superfı́cie da esfera. O campo
de um dipolo elétrico é dado por:
E=
1
[(3p · êr ) êr − p] .
4πε0 r3
(2)
O resultado que você obteve está em concordância com a lei de Gauss? Sugestão: use coordenadas esféricas
p
R
Figura 4: A esfera de raio R é imaginária e encerra um dipolo elétrico ideal colocado na origem.
Problema 6 Considere uma carga puntiforme q fixa na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Considere também um cilindro de raio R e altura H cujo eixo maior de simetria coincide com o eixo z, veja a Figura
5. Calcule explicitamente o fluxo do campo elétrico através da superfı́cie do cilindro (tampas e área lateral).
Problema 7 Mostre que o campo elétrico de uma distribuição eletrostática de cargas localizada é conservativo.
Sugestão: considere primeiro uma carga puntiforme e depois use o princı́pio da superposição. Finalmente, estenda
o resultado para distribuições contı́nuas.
AC TORT 2/2010
4
z
H
q
b
R
Figura 5: Cilindro gaussiano encerrando uma carga puntiforme q. .
Problema 8
por:
Validade da lei de Gauss Suponha que o potencial de uma carga puntiforme de valor q seja dado
V (r) =
q e−αr
,
4πǫ0 r
onde r é a distância radial entre o ponto de observação e a carga puntiforme e α é uma constante real e positiva.
(a) Quais são as dimensões de α?
(b) Determine o campo elétrico E associado com esse potencial.
(c) Discuta a validade da lei de Gauss para o campo elétrico que você obteve a partir do potencial dado.
(d) O campo elétrico obtido é conservativo?
Problema 9 Mostre que o potencial eletrostático de um dipolo elétrico é dado por:
V (r, θ) =
p·r
,
4πǫ0 r3
e a seguir mostre, a partir desse potencial, que o campo elétrico do dipolo é dado por:
E=
1
[3 (p · êr ) êr − p] .
4πǫ0 r3