PF - Instituto de Física / UFRJ

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica – Fı́sica III
– 2012/1
Prova Final (PF): 02/07/2012
Versão: A
Formulário
I
q
1
Qint
F e = qE ,
E = k0 2 r̂
onde k0 =
,
E ·dA =
,
r
4πǫ0
ǫ0
S
Z
1
qq ′
J · n̂ dA ,
,
C = Q/V ,
uE = ǫ 0 E 2 ,
I=
U = k0
r
2
S
I
B · n̂ dA = 0 ,
F m = qv × B ,
dF m = Idℓ × B ,
S
I
C
B · dℓ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0
dΦE
,
dt
Eind = −
dΦB
,
dt
dB =
6. Entre as placas circulares, de raio R, de um capacitor
plano-paralelo, o vetor campo elétrico E tem módulo variando na forma E = E0 [1 − exp(−bt)], sendo b uma constante positiva. Podemos afirmar que uma corrente de deslocamento ID aparece no interior do capacitor cujo módulo
máximo é dado por
q
V = k0 ,
r
E = −∇V ,
J = nqv ,
4. Considere a distribuição de cargas da figura. São oito segmentos retilı́neos de mesmo comprimento, uniformemente
carregados com densidade linear de mesmo módulo λ > 0.
O ângulo entre segmentos vizinhos é o mesmo (45◦ ). Qual
das alternativas melhor representa o campo elétrico resultante na origem O?
V = RI ,
ΦB [1] = LI1 + M I2 ,
uB =
1 B2
.
2 µ0
3. Considere um plano (infinito) com uma densidade de carga
constante (estacionária e uniforme). Na figura, estão representadas quatro superfı́cies fechadas Si (i = 1, 2, 3, 4),
com disposições particularmente simétricas com respeito
ao plano carregado. Dentre elas, qual(is) exatamente
aquela(s) que é(são) apropriada(s) para a determinação
de uma expressão geral para o campo elétrico num ponto
genérico, fora do plano, a partir da lei de Gauss?
(a)
µ0 I 2 .
(b)
2µ0 I 2 .
(a)
2
(c)
µ0 LI /R.
(b)
(d)
µ0 LI 2 /(2R).
(c)
(e)
0.
(d)
(e)
2. Uma corrente estacionária, de intensidade I, percorre o
circuito constituı́do por dois arcos circulares de raios a e
2a e dois segmentos radiais de comprimento a. Qual é a
razão Ba /B2a entre os módulos campos magnéticos gerados pelos arcos circulares de raio a e de raio 2a no ponto
central P?
(a)
(f)
(g)
(h)
√
(b)
2.
√
1/ 2.
(c)
(b)
µ0 ǫ0 E0 bπR2 .
(c)
ǫ0 E0 bR2 .
(d)
ǫ0 E0 πR2 .
(e)
ǫ0 E0 πR2 /µ0 .
7. Um fio cilı́ndrico, de seção reta circular, é constituı́do por
um material condutor ôhmico homogêneo. Se dobrarmos
tanto o seu comprimento quanto o seu raio, mantendo-o
ligado a uma mesma bateria, a corrente que passará no
fio
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um anel circular condutor de raio R, ao longo
do qual passa uma corrente estacionária de intensidade I.
Um fio retilı́neo, de comprimento L muito grande, percorrido por uma corrente estacionária de intensidade 2I,
cruza o centro do anel, perpendicularmente ao seu plano.
Qual o módulo da força magnética entre a espira e o fio?
ǫ0 E0 bπR2 .
µ0 Idℓ × r̂
,
4π
r2
(a)
Seção 1.
(a)
(b)
(c)
(a)
terá a mesma intensidade que antes.
(b)
terá intensidade 2 vezes menor que antes.
(c)
terá intensidade 2 vezes maior que antes.
(d)
terá intensidade 4 vezes menor que antes.
(e)
terá intensidade 4 vezes maior que antes.
S1 .
S2 .
(d)
8. Um capacitor de placas em forma de discos circulares,
idênticas e de raio R, separadas por uma distância D, está
conectado a uma fonte de voltagem V constante. Ao introduzir um meio dielétrico entre as placas do capacitor,
preenchendo totalmente a região entre as placas, podemos afirmar, com respeito ao módulo Q da carga em cada
placa, à capacitância C e ao módulo do campo elétrico E
entre as placas, que, respectivamente:
S3 .
S4 .
S1 e S2 .
(e)
E = 0.
S2 e S3 .
S2 e S4 .
S3 e S4 .
5. Para aumentar a auto-indutância de um solenóide com
N espiras compactadas, de seção reta circular de raio R,
comprimento (ou altura) h, percorrido por uma corrente I,
qual das modificações a seguir devemos efetuar, mantido
todo o resto inalterado?
(a)
permanece o mesmo, diminui e aumenta.
(b)
diminui, aumenta e aumenta.
(c)
aumenta, aumenta e permanece o mesmo.
(a)
Aumentar a corrente que passa em suas espiras.
(d)
aumenta, aumenta e diminui.
1/2.
(b)
Diminuir o seu raio.
(e)
(d)
2.
(c)
Aumentar o seu comprimento (ou altura).
aumenta, permanece a mesma e permanece o
mesmo.
(e)
1.
(d)
Aumentar o número de espiras.
(f)
diminui, diminui e diminui.
(f)
θ/2.
(e)
Rechear seu interior com um material isolante.
(g)
permanece o mesmo, diminui e diminui.
1
2
9. Uma espira condutora circular está em repouso, com seu
plano perpendicular a um campo magnético constante (estacionário e uniforme). No instante t = 0, a espira começa
a girar em torno de um eixo de simetria que passa pelo
seu centro e pertence a seu plano. Dentre as opções a
seguir, indique aquela que melhor representa o fluxo co
campo magnético ΦB (curva contı́nua) e a corrente induzida Iind (curva pontilhada) na espira condutora, em
função do ângulo θ = ωt entre o vetor campo magnético
B e o vetor unitário normal à espira n̂.
10. Um campo eletrostático possui superfı́cies equipotenciais
planas, paralelas, como mostrado na figura, numa vista de
perfil, pelas três retas tracejadas, igualmente espaçadas de
uma distância L, com V1 = 2V2 = 3V3 > 0. Além disso,
são mostradas quatro trajetórias orientadas, por curvas
contı́nuas, que partem da equipotencial V1 e passam pelas
demais equipotenciais. Considere as afirmações: (I) o vetor campo elétrico (médio) E 12 entre as equipotenciais V1
e V2 é dado por −(V2 /L)ŷ ; (II) o trabalho realizado pela
força eletrostática ao deslocar-se uma partı́cula carregada
é o mesmo em todas as trajetórias mostradas; (III) o trabalho realizado pela força eletrostática ao deslocar-se uma
partı́cula carregada positiva na trajetória de g para h é negativo. Qual(is) de tais afirmativas está(ão) correta(s)?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
Nenhuma.
(b)
I.
(c)
II.
(d)
III.
(e)
I e II.
(f)
I e III.
(g)
II e III.
(h)
Todas.
[2,5 pontos] A Fig. 1 mostra uma placa fina e muito grande que possui uma
densidade superficial de carga constante σ. A placa é recoberta lateralmente
por duas lâminas de espessura D e densidade volumar de carga constante ρ.
(a) Utilizando a lei de Gauss, obtenha o vetor campo elétrico E(z) produzido
pela distribuição de cargas a uma distância |z| da placa central para os casos
em que: (i) −D ≤ z ≤ D e (ii) z ≤ −D ou z ≥ D. Faça um gráfico esboçando o
comportamento da componente Ez versus z, no intervalo z ∈ (−2D, 2D), para
o caso em que σ e ρ são positivos. [1,7 ponto]
(b) Usando a expressão para o vetor E(z) e tomando como referência o potencial
elétrico VD ≡ V (z = D) na superfı́cie externa da lâmina lateral (à direita),
obtenha a expressão para o potencial elétrico V (z) produzido pela distribuição
de cargas a uma distância |z| considerando os mesmos casos acima, ou seja, em
que: (i) −D ≤ z ≤ D e (ii) z ≤ −D ou z ≥ D. Faça um gráfico esboçando o
comportamento de V versus z, no intervalo z ∈ (−2D, 2D), para o caso em que
σ e ρ são positivos. [1,8 ponto]
2. [2,5 pontos] A Fig. 2a mostra um cabo coaxial muito longo constituı́do de um condutor cilı́ndrico, sólido, de raio a envolvido
por uma casca cilı́ndrica condutora, muito fina, de raio b. Sabe-se que essas duas partes constituintes do cabo são percorridas
por correntes elétricas estacionárias de mesmo módulo i e sentidos contrários, uniformemente distribuı́das ao longo de suas
seções transversais.
(a) Utilizando a lei de Ampère, obtenha o campo magnético B(r) nas três regiões definidas por: (i) 0 ≤ r ≤ a ; (ii) a ≤ r < b ;
e (iii) b < r < ∞, sendo r a distância até o eixo do cabo. [1,5 ponto]
(b) Calcule o fluxo do campo magnético ΦB produzido pelo cabo coaxial através do retângulo, de altura h e largura b,
indicado na Fig. 2b. [0,5 ponto]
(c) Calcule a energia armazenada, por unidade de comprimento ao longo do eixo de simetria, no campo magnético entre o
eixo de simetria r = 0 e a casca cilı́ndrica r = b. [0,5 ponto]
(e)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
4
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
7. (c)
2. (d)
8. (c)
3. (e)
9. (a)
4.
(b)
5. (d)
6. (a)
10. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resolução:
(a) Devido à simetria plana da distribuição de carga, é conveniente aplicarmos a lei de Gauss para a determinação do campo
elétrico. De fato, tal simetria exige que
• das 3 componentes cartesianas que o campo elétrico possui, 2 são nulas, a saber:
Ex (r) ≡ 0
Ey (r) ≡ 0 .
Bd (z ′ =|z|>0)
(1)
(2)
• a componente não nula restante é função somente da coordenada cartesiana z:
Ez (r) = Ez (z) .
(3)
(5)
Naturalmente, tal expressão vale para qualquer valor de |z|, ou seja, tanto para 0 < |z| ≤ D, quanto para D ≤ |z| < ∞,
apesar da Fig. 1a só sugerir uma gaussiana dentro da distribuição de carga.
A segunda etapa preparatória para a aplicação da lei de Gauss implica em determinar a carga no interior da correspondente
gaussiana e, então, teremos duas possibilidades:
Qint [S] = σA + ρ2|z|A
(4)
O campo elétrico a ser determinado possui, portanto, linhas de campo retilı́neas paralelas ao eixo Z. Isso tudo nos motiva
a tomar como superfı́cie gaussiana aquela mostrada na Fig. 1a, ou seja, uma superfı́cie cilı́ndrica circular, constituı́da pela
união de três superfı́cies disjuntas: (i) uma base Be à esquerda da placa fina (bidimensional), no plano z = −|z|; (ii) outra
base Bd à direita da placa fina (bidimensional), no plano z = |z|, e (iii) uma superfı́cie lateral Slat .
1
= 2Ez (|z|)A .
• 0 < |z| ≤ D:
• essa mesma componente satisfaz uma simetria de reflexão (ou especular):
Ez (−z) = −Ez (z) .
Calcularemos, primeiro, o fluxo, pela sua própria definição, através da gaussiana. Temos
I
E · n̂ dA
ΦE [S] :=
ZS
Z
Z
=
E · n̂ dA +
E · n̂ dA +
E · n̂ dA
Slat
ZBd
ZBe
E · n̂ dA
[usamos que E ⊥ n̂ em Slat ]
E · n̂ dA +
=
Bd
Z
ZBe
Ez (|z|)ẑ · ẑ dA
Ez (−|z|)ẑ · (−ẑ) dA +
=
Bd (z ′ =|z|>0)
Be (z ′ =−|z|<0)
Z
Z
Ez (|z|) dA
[usamos (4)]
−Ez (|z|)(−1) dA +
=
Bd (z ′ =|z|>0)
Be (z ′ =−|z|<0)
Z
Ez (|z|) dA
=2
= (σ + 2ρ|z|)A .
(6)
• D ≤ |z| < ∞:
Qint [S] = σA + ρ2DA
= (σ + 2ρD)A .
2
(7)
Comparando (5) e (6) ou (7), via a lei de Gauss, obtemos, finalmente, para o campo elétrico as expressões:


 −(σ + 2ρD) ẑ ,
1  (−σ + 2ρz) ẑ ,
.
E(z) =
(σ + 2ρz) ẑ ,
2ǫ0 


(σ + 2ρD) ẑ ,
se
se
se
se
− ∞ < z ≤ −D ;
− D ≤ z < 0;
0 < z ≤ D;
D ≤ z < ∞.
(8)
Devemos observar que o campo elétrico não é definido para z = 0. Contudo, para pontos muitı́ssimo próximos da placa
fina, Ez tende ao valor E0 := σ/(2ǫ0 ) pela direita e −E0 pela esquerda. Já na região externa às lâminas, Ez tem o valor
constante ED := (σ + 2ρD)/(2ǫ0 ) pela direita e −ED pela esquerda.
O gráfico correspondente para a componente Ez versus a coordenada z é mostrado na Fig. 1b.
Nestas condições o potencial elétrico na placa central será dado por Vo = V (0) = VD + (σD + ρD 2 )/(2ǫo ). Procedendo da
mesma forma para a região externa à lâmina do lado positivo do eixo Z (z ≥ D) , teremos
Z z
Z
σ + 2ρD
~ ex .d~ℓ = − 1
(z − D) .
(σ + 2ρD) ẑ.dz ẑ =⇒ Vex (z) = VD −
E
Vex (z) − VD = −
2ǫo D
2ǫo
Ce
Na região −D ≤ z ≤ 0 teremos
Vin (z) − V (0) = −
~ .d~ℓ = 1
E
in
2ǫo
Ci
Z
Z
0
(−σ + 2ρ z) ẑ.dz ẑ =
z
1
(σz − ρz 2 )
2ǫo
que, usando o valor de V (0), podemos escrever como
Vin (z) = VD +
1
[σ(D + z) + ρ(D 2 − z 2 )].
2ǫo
Este resultado mostra que, em particular, V (−D) = VD . Por fim, na região z ≤ −D temos
Vex (z) − VD = −
~ ex .d~ℓ = − 1
E
2ǫo
Ce
Z
Z
−D
(σ + 2ρD) ẑ.dz ẑ
=⇒
Vex (z) = VD +
z
σ + 2ρD
(D + z) .
2ǫo
Portanto, ao considerarmos os resultados teremos que
V (z) = VD +
e será nulo quando |z| = |zo | =
comportamento de V (z) em geral.
p
1
.
2ǫ0
σ(D − |z|) + ρ(D 2 − z 2 ) ,
(σ + 2ρD)(D − |z|) ,
[D + σ/(2ρ)]2 + 2ǫo VD /ρ − σ/(2ρ).
se 0 ≤ |z| ≤ D ;
se D ≤ |z| < ∞ .
O gráfico apresentado na figura 1c ilustra o
2. Resolução:
(a) Segundo a lei de Ampère temos que
I
B · dℓ = µ0 i,
onde i é a soma algébrica das correntes englobadas pelo percurso de integração.
Ou justificativa extensa: Levando em conta a simetria axial apresentada pelo sistema então podemos usar a lei de Ampère
assumindo para os circuitos fechados cı́rculos concêntricos ao eixo do cabo e contidos em um plano ortogonal a ele. Neste
caso dℓ = r dφ φ̂ e pela simetria do sistema devemos ter B = Bφ (r) φ̂ . Com isso podemos usar a lei de Ampère de uma
maneira geral considerando i = i(r) .
Ou justificativa compacta: Considerando a simetria cilı́ndrica do sistema e tomando como contorno de integração cı́rculos
H
de raio r a partir do eixo do cilindro, temos B · dℓ = 2πrBφ (r).
Então,
(b) Na avaliação do potencial elétrico, novamente considerando a simetria do sistema, tomemos como caminho de integração
C linhas ortogonais à placa central. Deste modo, para a região interna à lâmina do lado positivo do eixo Z (0 < z ≤ D) ,
teremos
Z z
Z
~ .d~ℓ = − 1
(σ + 2ρ z) ẑ.dz ẑ
Vin (z) − VD = −
E
in
2ǫo D
Ci
ou seja,
Vin (z) = VD +
1
[σ(D − z) + ρ(D 2 − z 2 )] .
2ǫo
3
I
B · dℓ =
Z
0
2π
Bφ (r) φ̂ · r dφ φ̂ = Bφ (r) r
Z
2π
dφ = 2πr Bφ (r).
0
Aplicando a lei de Ampère,
B(r) =
µ0 i(r)
φ̂ .
2πr
Podemos agora particularizar este resultado geral para as três regiões de nosso sistema.
4
• r < a:
(b) Considere a figura acima.
i(r) =
Z
j 1 .dS =
S1
Z
r
0
i
πa2
2πr dr =
r 2
a
i.
A partir dos resultados encontrados para o campo magnético e tomando como elementos de área tiras longitudinais (figura
~ = h dr φ̂ , então teremos que
acima) com dS
Ou:
ΦB =
Densidade de corrente através da área A da seção reta do cilindro de raio a: j = i/A = i/πa2 .
Densidade de corrente através da área A′ < A definida pela curva amperiana de raio r < a: j = i(r)/A′ = i(r)/πr 2 .
Z
a
~ .dS
~+
B
1
0
Z
b
~ .dS
~ = µo ih
B
2
2π
a
1
a2
Z
a
r dr +
0
Z
b
a
dr
r
,
ou seja,
Como essas densidades são iguais, tem-se que i(r) = (r/a)2 i.
ΦB =
µo ih
b
1 + 2 ln
.
4π
a
Então,
B(r) =
µ0 i r
φ̂ .
2πa2
(c) No caso da energia acumulada no campo magnético, devemos lembrar que a densidade de energia uB é dada por
• a<r<b:
uB =
i(r) = i .
B2
2µo .
Por sua vez,
dUB
,
dV
onde dV é o elemento de volume: dV = 2πhrdr, com h sendo o comprimento de um pedaço do cabo coaxial. Portanto,
uB =
Logo,
B(r) =
µ0 i
φ̂ .
2πr
• r>b:
dUB = uB dV =
i(r) = i − i = 0 .
Como
UB =
Logo,
Z
b
uB dV =
r=0
B(r) = 0 .
Z
B2
2πhrdr.
2µo
a
uB dV +
r=0
Z
b
uB dV ,
r=a
temos que
Considerações sobre o campo B(r): (i) apresenta o seu maior valor B(a) = µo i/(2πa) na superfı́cie do cilindro maciço
interno; (ii) não é definido para r = b. Contudo para pontos internos muitı́ssimo próximos à casca cilı́ndrica ele tende ao
valor B(b) = µo i/(2πb).
UB =
πh
µo
Z
a
B 2 rdr +
0
πh
µo
Z
b
B 2 rdr.
a
Usando os resultados obtidos para B no item (a) acima, determina-se que a energia magnética armazenada por unidade de
comprimento é:
UB
b
µo i2
=
1 + 4 ln
.
h
16π
a
5
6