Lista-3 - Professores da UFF

Universidade Federal Fluminense — UFF
Fı́sica 3 — 3a Lista de Exercı́cios
Potencial elétrico
Prof.Schmidt
03/2012
Problemas
1. Considere um modelo de um cristal unidimensional (1D) formado por uma
sucessão, alternada ao longo do eixo−x, de um ı́on com carga +e e um ı́on com
carga de sinal oposto, sendo d a distância entre dois ı́ons consecutivos. Suponha
que as cargas se distribuam uniformemente até o infinito em ambos os sentidos.
(a) Considere a energia potencial entre o ı́on que está no ponto x = 0 e todos os
outros ı́ons. Isto representa a energia potencial por ı́on neste ”cristal” 1D. Escreva
uma expressão para esta energia potencial. (b) Some a série do item (a) usando a
expansão da função,
z2 z3 z4
+
−
+ ....,
2
3
4
válida para o caso |z| ≤ 1. (c) Se o ı́on para o qual você calculou a energia potencial
no item anterior fosse negativo, o resultado seria o mesmo? Explique. (d) Em um
cristal real de N aCl, tridimensional, a distância entre dois ı́ons adjacentes é igual
a 2, 82 × 10−10 m. Usando este valor para d calcule a energia potencial com o seu
resultado do item (a). Compare este resultado com o valor da energia para o cristal
real (3D) dado por −8 × 10−19 J/ion, e argumente se o modelo de cristal 1D é uma
boa aproximação.
2. Uma pequena esfera de massa igual a 1, 60g está pendurada por um fio isolante
entre duas placas paralelas verticais separadas por uma distância igual a 5, 00cm.
A carga da esfera é q = 8, 90µC, calcule a diferença de potencial que deve existir
entre as placas para que o fio fique inclinado de um ângulo de 30, 0o em relação à
vertical.
3. Quatro segmentos de fios carregados formam um quadrado de lado a. Sabendo
que o potencial elétrico é igual a zero no infinito calcule V no centro do quadrado
quando (a) dois lados opostos possuem carga Q e os outros dois possuem carga −Q;
(b) os quatro lados possuem a mesma carga Q.
4. O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
ln(1 + z) = z −
V (x, y, z) = A(x2 − 3y 2 + z 2 ),
onde A é uma constante. (a) Calcule o campo elétrico nesta região; (b) sabendose que o trabalho realizado pelo campo quando uma carga teste igual a 1, 50µC é
deslocada do ponto (x, y, z) = (0; 0; 0, 250m) até a origem é igual a 6, 00 × 10−5 J,
calcule o valor de A; (c) determine o campo elétrico neste ponto; (d) mostre que em
qualquer plano paralelo ao plano xz os contornos equipotenciais são cı́rculos.
5. O núcleo instável do Urânio 236 pode ser considerado uma esfera uniformemente carregada com carga q = +92e e raio R = 7, 4 × 10−15 m. Em uma fissão
nuclear este núcleo pode ser dividir em dois núcleos menores, cada um deles com
metade da carga e do volume originais. (a) Determine o raio destes dois núcleos
menores com carga 46e; (b) Como modelo simples de fissão imaginamos que imediatamente após a fissão os dois núcleos estão em repouso e quase em contato. Calcule
a energia cinética de cada núcleo quando a distância entre eles for muito grande.
(c) Calcule a energia liberada pela fissão de 10, 0kg de Urânio 236. Dados: A massa
atômica do Urânio é de 236u, sendo 1u = 1, 66 × 10−27 kg. Expresse a sua resposta
em Joules e em quilotons de TNT, sendo 1 quiloton de TNT = 4, 18 × 1012 J.
1
6. Calcule o potencial elétrico de um disco de raio R e densidade superficial de
carga σ, em ponto localizado no eixo que passa pelo centro do disco e é ortogonal a
ele. Com este resultado obtenha o potencial de um plano infinito, e o campo elétrico
~ = −∇V
~ .
deste disco, nas duas situações, através de E
7. No modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio um único elétron descreve uma
órbita circular de raio r em torno de um núcleo atômico fixo. (a) Usando a 2a lei de
Newton obtenha uma expressão para a velocidade do elétron; (b) Calcule a energia
cinética do elétron e compare com a sua energia potencial eletrostática; (c) Deduza
uma relação para a energia total e use r = 5, 29 × 10−11 m, apresente a sua resposta
em elétrons-Volts.
8. Três cargas pontuais iguais a q = 1, 20µC são colocadas nos vértices de um
triângulo equilátero de lado 0, 500m. Qual a energia potencial do sistema? Considere
U = 0 quando as cargas estão infinitamente afastadas.
9. Uma pequena esfera metálica com uma carga lı́quida q1 = −2, 80µC é mantida
em repouso por suportes isolantes. Uma segunda esfera metálica com uma carga
lı́quida q2 = −7, 80µC e massa igual a 1, 50g é projetada contra q1 . Quando a
distância entre as duas esferas é igual a 0, 800m, q2 se aproxima de q1 com velocidade
22, 0m/s. Suponha que as duas esferas possam ser tratadas como cagas puntiformes
e despreze a gravidade. (a) Qual é a velocidade da carga q2 quando a distância entre
as duas esferas é de 0, 400m? (b) Qual será a menor distância entre q1 e q2 ?
Respostas dos Problemas
1. (a)
U =−
∞
2kq 2 X
(−1)i−1
,
d i=1
i
(b)
U =−
2kq 2
ln 2,
d
(c) a mesma; (d) U = −1, 13 × 10−18 J, (e) A energia real é cerca de 70% do valor
obtido no item anterior.
2. V = 47, 8V .
3. (a) V = 0, (b)
#
"√
4kQ
2+1
V =
ln √
a
2−1
~ = −320~k(V /m)
4. (a) E = −2A(x~i + 3z~k), (b)A = 640V /m2 , (c) E
−15
−11
5. (a) r = 5, 9 × 10 m, (b) U = 4, 14 × 10 J, K = U/2, (c) E =
1, 06 × 1015 J = 253 quilotons de TNT.
6. Ver caderno.
7.
s
v=
ke2
,
mr
K=−
U
,
2
8. U = 0, 078J.
9. (a) 12, 5m/s; (b) 0, 323m.
2
E = −13, 6eV.