Lista 3 - Prof. Diego Alexandre Duarte

Fı́sica 3 - EMB5031
Prof. Diego Duarte
Lei de Gauss (lista 3)
16 de fevereiro de 2017
1. Mostre que por meio do teorema da divergência, a lei de Gauss pode
~ ·E
~ = ρ . Analisando o campo elétrico como
ser escrita na forma ∇
0
um campo vetorial, o que significa extrair o divergente deste campo?
~ E
~ > 0 e ∇·
~ E
~ < 0.
Explique o comportamento campo elétrico quando ∇·
Mostre também que o campo elétrico gerado por uma carga pontual
estática é irrotacional.
2. Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c, uniformemente
carregada com densidade de carga volumétrica ρ, envolve uma esfera
concêntrica de raio a, também carregada uniformemente com a mesma
densidade. Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do
espaço: (a) 0 ≤ r ≤ a, (b) a ≤ r ≤ b, (c) b ≤ r ≤ c, (d) c ≤ r. Esboce
o gráfico do campo elétrico em função do raio.
Figura 1: Exercı́cio 2.
3. Uma distribuição de carga uniformemente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por ρ(r) = ρ0 exp(−r/a) com 0 ≤ r < ∞
1
em que ρ0 é uma constante e r é a distância em relação à origem. (a)
Calcule a carga total da distribuição e (b) o campo elétrico num ponto
qualquer do espaço.
4. Uma camada carregada infinita compreendida entre os planos y = −a
e y = a tem densidade volumétrica de carga ρ constante. Não há
cargas fora dela. Calcule o campo elétrico E dentro, acima e abaixo da
camada.
Figura 2: Exercı́cio 4.
5. Um cilindro muito longo, de raio R, está uniformemente carregado,
com densidade volumétrica de carga δ. Calcule o campo elétrico em
um ponto P localizado pelas coordenadas (ρ, φ, z) com 0 ≤ ρ ≤ R.
Esboce o gráfico |E| em função da coordenada ρ.
Figura 3: Exercı́cio 5.
6. Uma esfera uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ
contém em seu interior uma cavidade esférica. Mostre que o campo
2
ρd
no interior da cavidade é uniforme e é dado por E = 3
em que d é
0
o vetor que liga os centros das duas esferas. Dica: Use o princı́pio da
superposição.
Figura 4: Exercı́cio 6.
7. Determine a distribuição de cargas que gera o campo E(r) =
cos(3r)]r̂ (V/m).
1
[1
r2
−
8. Dois cilindros coaxiais, infinitamente longos, de raios a e b (b > a) estão
carregados com densidades +λ e −λ, respectivamente. Determine o
campo E na região interna do cilindro interno, entre os dois cilindros e
fora dos dois cilindros.
9. Uma distribuição de cargas não-uniforme, mas com simetria esférica,
produz um campo elétrico de módulo E = Cr4 em que C é uma constante e r é a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe
do centro da esfera. Qual é a distribuição volumétrica de cargas ρ?
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