LISTA DE EXERCÍCIOS #4

LISTA DE EXERCÍCIOS #4 - ELETROMAGNETISMO I
1. Uma carga Q está localizada em P(0, 0, z). Determine:
(a) Densidade de carga ̺(~r ), utilizando funções delta de Dirac.
(b) Momentos de monopolo e dipolo.
(c) Potencial aproximado para pontos distantes da carga, em termos de uma expansão
em multipolos considerando os dois primeiros termos não-nulos da expansão.
2. Dada a configuração de cargas abaixo, formada por cargas Q situadas em ±aı̂, pede-se:
z
Q
x = -a
y
x=a
Q
x
(a) Escrever densidade de cargas em termos de deltas de Dirac.
(b) Obter os dois primeiros momentos de multipolo não-nulos, lembrando que o momento
de quadrupolo é um tensor, cujas componentes retangulares são dadas por
↔
Qij =
Z
̺(~r )[3xi xj − r 2 δi,j ] dV
V
onde
r2
=
x21
+
x22
+
x23
=
x2
+
y2
+ z2, e
δi,j
(
0,
=
1,
i 6= j
i=j
Assim, o tensor momento de quadrupolo pode ser representado por uma matriz


Q
Q
Q
11
12
13
↔
Q = Q21 Q22 Q23 
Q31 Q32 Q33
(c) Escrever o potencial gerado para pontos distantes da distribuição como uma expansão
em multipolos, lembrando que o potencial elétrico gerado por um quadrupolo pontual
é dado por
1
↔
1 ~r · Q · ~r
Vquad (~r ) =
8πǫ0 r 5
↔
sendo que ~r · Q · ~r representa a operação

 
Q
Q
Q
x
11
12
13
↔



~r · Q · ~r = x y z
Q21 Q22 Q23
y
Q31 Q32 Q33
z
~ = k~r, onde k é uma constante.
3. Uma esfera de raio a tem uma polarização P
(a) Ache as densidades ̺P~ e σP~ e as respectivas cargas de polarização.
(b) Ache o campo elétrico dentro e fora da esfera.
~ =P
~ 0 paralela ao eixo do mesmo,
4. Um cilindro de raio a e altura L tem uma polarização P
~
onde P0 é constante. Ache ̺P~ e σP~ , e as respectivas cargas de polarização.
5. Uma coroa esférica dielétrica tem raios a e b, e tem uma polarização
~ = k r̂ ,
P
r
a6r6b
onde k é constante e r mede-se a partir do centro da esfera. Não há carga livre no problema.
Encontre o campo elétrico nas três regiões do espaço por dois métodos diferentes
(a) Use a lei de Gauss usual e as eventuais cargas de polarização.
~ e a partir de D
~ ache E~ .
(b) Use a lei de Gauss para D,
~ e σP = P
~ · n̂, mostre que a carga total de polarização
6. Considerando que ̺P = −∇ · P
de um objeto dielétrico qualquer é nula.
7. Um cilindro dielétrico muito longo, de raio a, descarregado, com permissividade ǫ e susceptibilidade χ, é colocado num campo elétrico E~0 , inicialmente uniforme e perpendicular
ao eixo do cilindro, como mostra a figura abaixo. O cilindro perturba o campo apenas em
regiões próximas a ele, e sabe-se que o dielétrico é linear.
(a) Obtenha o potencial elétrico dentro e fora do cilindro.
(b) Obtenha o campo elétrico dentro e fora do cilindro.
(c) Obtenha a polarização do cilindro.
8. Uma esfera de raio a feita de um material dielétrico linear de permissividade ǫ e susceptibilidade χ tem uma carga livre distribuı́da de forma homogênea sobre seu volume, na
forma de uma densidade ̺. Determine o potencial elétrico dentro da esfera. Usar como
referência V → 0 quando r → ∞ quando for apropriado.
9. Uma esfera condutora de carga total Q e raio a é “encapada” por uma coroa esférica
dielétrica de raios a e b. O dielétrico é linear, e tem permissividade ǫ. Ache a energia
armazenada no sistema.
2
E0 ^i
y
r
q
a
x
e
~ = (~
10. A força que age sobre um dipolo sujeito a um campo externo é dada por F
p · ∇)E~ext .
~
Para um objeto que tenha uma polarização P, a força fica, então,
F~ =
Z
~ · ∇)E~ext dV
(P
V
Considere uma esfera minúscula, de raio a, cujo centro está a uma distância ρ de um fio
retilı́neo muito longo que contém uma densidade de carga λ uniforme. Queremos obter a
força sobre essa esfera.
(a) Determine o campo elétrico dentro da esfera quando submetida a um campo externo
uniforme E~0 , supondo que a esfera é feita de um material dielétrico linear de susceptibilidade χe . Podem ser usados resultados já conhecidos.
(b) Determine a polarização da esfera quando sujeita ao campo E~0 descrito acima.
(c) Determine o campo elétrico produzido pelo fio muito longo.
(d) Considerando que a esfera é muito pequena, mostre que a polarização dela pode ser
escrita como
~ = 3ǫ0 χ3 λ ρ̂
P
3 + χe 2πǫ0 ρ
Quais as hipóteses feitas para obter a expressão acima?
(e) Obtenha a força sobre a esfera.
11. Dois condutores cilı́ndricos, coaxiais, de raios a e b e comprimento l, onde l ≫ b, estão
preenchidos por ar (ǫar = ǫ0 ) e são mergulhados num lı́quido como mostra a figura abaixo.
No local, o módulo da aceleração gravitacional vale g, e o lı́quido tem uma densidade de
massa ̺m , permissividade ǫ e susceptibilidade χ, sendo um dielétrico linear. Ao aplicar
uma tensão V0 entre os condutores, o lı́quido sobe uma altura y, como mostra a figura.
(a) Ache a capacitância equivalente do capacitor em função das grandezas mencionadas.
3
V0
a
b
l
y
e, rm, c
(b) Ache a energia armazenada em função das grandezas mencionadas. Notar que apenas
parte dos condutores é preenchida por lı́quido, uma parte permanece preenchida por
ar.
(c) Obtenha a força eletrostática produzida sobre o lı́quido na direção vertical (y).
(d) Considerando que o lı́quido sobe até uma altura y onde fica em equilı́brio, obtenha
uma expressão que permita determinar a susceptibilidade χ em termos das grandezas
mencionadas acima.
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