Notas de Aula

Capı́tulo 3
Campo Elétrico
3.1
O Campo Elétrico
Suponhamos uma distribuição de cargas q1 , q2 ,..., qn fixas no espaço, e vejamos não as forças que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que
produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida às suas proximidades.
Sabemos que a força sobre q0 é:
F�o = Ko
n
�
qo qi
i=1
Assim, se dividirmos
→
F0
2
ro,i
r̂o,i
por q0 teremos:
n
�
F�o
qi
= Ko
r̂
2 o,i
qo
r
o,i
i=1
(3.1)
uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema original de cargas q1 , q2 ,..., qn e da posição do ponto (x,y,z). Chamamos essa
função vetorial de x,y e z de campo elétrico criado por q1 , q2 ,..., qn e usa→
mos o sı́mbolo E . As cargas são chamadas fontes do campo. Desta forma
19
20
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
definimos o campo elétrico de uma distribuição de cargas no ponto (x,y,z):
�
E(x,
y, z) = Ko
n
�
qi
r̂
2 o,i
r
o,i
i=1
(3.2)
�
F�o = qo E
(3.3)
Note que utilizamos como condição que as cargas fontes do campo estavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espaço não perturbará as
posições ou movimento de todas as outras cargas responsáveis pelos campos.
Muitas pessoas, às vezes, definem o campo impondo à q0 a condição de
→
�
ser uma carga infinitesimal e tomando E como: lim qFo
qo →0
Cuidado! Na realidade este rigor matemático é falso. Lembre-se que no
mundo real não há carga menor que e!
→
Se considerarmos a Equação 3.2 como definição de E , sem referência
a uma carga de prova, não surge problema algum e as fontes não precisam
ser fixas. Casa a introdução de uma nova carga cause deslocamento das
cargas fontes, então ela realmente produzirá modificações no campo elétrico
e se quisermos prever a força sobre a nova carga, devemos utilizar o campo
elétrico para calculá-la.
Conceito de campo: um campo é qualquer quantidade fı́sica que possue valores diferentes em pontos diferentes no espaço. Temperatura, por
exemplo, é um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual nós escrevemos
como T(x,y,z). A temperatura poderia também variar com o tempo, e nós
poderı́amos dizer que a temperatura é um campo dependente do tempo e
escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo é o campo de velocidade de um lı́quido
→
fluindo. Nós escrevemos v =(x,y,z,t) para a velocidade do lı́quido para cada
ponto no espaço no tempo t. esse é um campo vetorial. Existem várias idéias
criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos.
A mais correta é também a mais abstrata: nós simplesmente considerarmos
os campos como funções matemáticas da posição e tempo.
21
3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
O campo é uma grandeza vetorial e na unidade no SI é
Se tivermos somente uma carga:
N
(Newton/Coulumb).
C
� = Ko q r̂
E
r2
Observação 3.1. Campo elétrico é radial e cai com a distância ao quadrado
O Princı́pio da superposição também é aplicado para os campos elétricos,
ou seja, o campo elétrico resultante em um ponto P qualquer será a soma
dos campos elétricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto.
� =E
�1 + E
� 2 + ... + E
�n
E
3.2
Distribuições Contı́nuas de Carga
Figura 3.1: Distribuições contı́nuas de carga
� =
Usando o Princı́pio da Superposição: E
3.2.1
�
� =Ko
dE
�
dq
r̂
r2
Tipos de Distribuições:
a) linear: carga distribuı́da ao longo de um comprimento (ex: fio, barra,
anel).
dq
Densidade linear de carga = λ =
dl
dq = λdl
22
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
� = Ko
E
�
λdl
r̂
r2
b) superficial: carga distribuı́da ao longo de uma superfı́cie(ex: disco,placa).
dq
Densidade superficial de carga = σ =
ds
dq = λds
�
� = Ko σds
E
2 r̂
r
c) volumétrica: carga distribuı́da no interior de um volume(ex: esfera,
cubo, cilindro).
dq
Densidade volumétrica de carga = ρ =
dv
dq = ρdv
�
� = Ko ρdv
E
2 r̂
r
Exercı́cio 3.1. Determinar o campo elétrico no ponto P.
Figura 3.2: Determinação do campo no ponto P
� �
�� �
Resolução. Se tomarmos limite quando b>>L temos: �E
P� =
= carga pontual
Ko λL
b2
=
Ko Q N
b2 C
3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
23
Colocando uma carga q no ponto P, a força é dada por:
� P = qKo λL îN
F� = q E
b(b − L)
Quando lim b >> L temos:
qQ
F� = Ko 2 î = força de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q
b
Observação 3.2. Só funciona para matérias isolantes. Com os metais terı́amos
uma redistribuição de carga no condutor quando a presença da carga q.
Exercı́cio 3.2. Determinar o campo elétrico no ponto P.
Figura 3.3: Determinação do campo no ponto P
24
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Exercı́cio 3.3. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um anel de
raio R
Figura 3.4: Anel de raio R
Resolução.
��r� = z 2 + R2
dEz = dE cos α =
dl = Rdθ
λRdθ
z
√
z 2 + R2 z 2 + R2
Por simetria só teremos componente na direção z.
�2π
z
λRdθ
� = k0 zRλ2π 3 k̂
k̂ ⇒ E
2
2
2
+R z +R
(z 2 + R2 ) 2
0
� �
Qzλ
� = 2πk0 λRz3 k̂ N =
E
3 k̂
C
(z 2 + R2 ) 2
(z 2 + R2 ) 2
� = k0
E
√
z2
Analisando os limites R → ∞ e z >> R:
3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
25
2πλRk0 z
k0 Q
= 2 = carga puntual
3
z
z
1
R → ∞:E → 0, com 3 se Q for fixa
R
1
com 3 se λ constante
R
z >> R : E =
Exercı́cio 3.4. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um disco
com densidade de carga σ.
Figura 3.5: Anel de raio R
Resolução. Pela simetria só temos componente na direção z.
26
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
ds = rdθdr
dEz = dE cos α = dE √
E z = k0
�2π �R
0
0
z
r2 + z 2
zσrdθdr
√
= k0 zσ2π
r2 + z 2 (r2 + z 2 )
r2 + z 2 = u
�R
0
rdr
3
(r2 + z 2 ) 2
du = 2rdr
2 +z 2
R�
� 2 2
−1 R +z
u 2 ��
Ez = k0 zσ2π
�
3 = k0 zσπ
− 12 � 2
2
(u)
z
z2
�
�
�
�
1
1
z
z
Ez = −k0 zσ2π √
−
= 2πk0 σ
−√
|z|
R2 + z 2 |z|
R2 + z 2
du
Analisando os limites:
z << R :
Ez =
σ z
2ε0 |z|
 σ

, z>0

2ε0
�
E=
σ

−
, z<0
2ε0
z >> R :
�
�− 12
�
�
z
R2
1 R2
1 R2
1− √
=1+ 1+ 2
=1− 1−
+
...
≈
z
2 z2
2 z2
z 2 + R2
2
2
σ R
σπR
Q
⇒ Ez =
=
=
2ε0 2z 2
4πε0 z 2
4πε0 z 2
3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
�
�

σ
z


, z>0
 2ε 1 − √ 2
z + R2
0
�
�
Ez =

σ
z


−1 − √
, z<0
2ε0
z 2 + R2
Fazendo os gráficos:
z << R
Figura 3.6: Gráfico para z << R
z >> R
Figura 3.7: Gráfico para z >> R
27
28
3.3
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Linhas de Forças
Os esquemas mais utilizados para a representação e visualização de um campo
elétrico são:
a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espaço
Figura 3.8: Linhas de força-vetores
Quando q > 0 o campo é divergente.
Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distância.
b) Desenhar as linhas de campo:
Linhas de força de um campo, ou simplesmente linhas de campo são retas
ou curvas imaginárias desenhadas numa região do espaço, de tal modo que, a
tangente em cada ponto fornece a direção e o sentido do vetor campo elétrico
resultante naquele ponto.
As linhas de campo fornecem a direção e o sentido, mas não o módulo. No
entanto, é possı́vel ter uma idéia qualitativa do módulo analisando as linhas.
A magnitude do campo é indicada pela densidade de linhas de campo.
Exemplo 3.1. carga puntual +q
Atenção: o desenho está definido em duas dimensões, mas na realidade
representa as três dimensões.
29
3.3. LINHAS DE FORÇAS
Figura 3.9: Linhas de força de um campo
Figura 3.10: Carga pontual + q
Se considerássemos duas dimensões, a densidade de linhas que passam
através de uma circunferência seria igual a
n
2πr
, o que faria com que
E∝
1
r
Caso 3D a densidade seria igual a
n
4πr2
e
E∝
1
r2
30
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
, o que é correto.
Existem algumas regras para desenhar as linhas:
1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contrário, terı́amos dois
sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto não faz sentido pois
o campo que elas significam é sempre o resultante.
2) As linhas de campo começam na carga positiva e terminam na carga
negativa, ou no infinito.
3) O número de linhas é proporcional ao módulo das cargas.
Q1
n1
=
Q2
n2
Figura 3.11: Linhas de Campo
Exemplo 3.2.
3.4
Fluxo
Consideremos uma região no espaço, onde existe um campo elétrico como na
figura abaixo:
Uma superfı́cie de área A perpendicular a direção de E.
O fluxo através desta superfı́cie é: f = EA
31
3.4. FLUXO
Figura 3.12: Fluxo na área A
Se esta superfı́cie estiver na mesma direção de
�
�
� �a⊥E
�
E
Figura 3.13: Fluxo na área A
Se esta superfı́cie estiver inclinada em relação as linhas de campo em um
ângulo θ
Considere agora, uma superfı́cie fechada qualquer. Divida a superfı́cie em
pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor
32
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.14: Fluxo na área A
campo não varie apreciavelmente sobre um trecho.
Não deixe que a superfı́cie seja muito rugosa nem que essa passe por uma
singularidade. (ex: carga puntiforme)
Figura 3.15: Superfı́cie
A área de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente
uma direção e sentido, a normal à superfı́cie orientada para fora. Para cada
→
trecho, temos um vetor a j que define sua área e orientação.
33
3.5. LEI DE GAUSS
→
→
O fluxo através desse pedaço de superfı́cie é dado por: Φ =E j . a j
E o fluxo através de toda a superfı́cie: Φ =
�
→
→
Ej . a j
j
Tornando os trechos menores, temos: Φ =
3.5
�
→
→
E .d a em toda a superfı́cie
Lei de Gauss
Tomemos o caso mais simples possı́vel: o campo de uma única carga puntiforme. Qual é o fluxo Φ através de uma esfera de raio r centrada em q?
Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme
34
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
� = k0 q r̂
E
r2
d�a = r2 senθdθdϕr̂
�
��
q
�
Φ = E · d�a = � k0 2 r2 senθdθdϕr̂
r
s
= k0 q
s
�π �2π
0
senθdθdϕ =
0
= 4πk0 q =
4πq
q
=
4πε0
ε0
Ou simplesmente:
E × area total = k0
q
q
4πr2 =
2
r
ε0
Portanto o fluxo não depende do tamanho da superfı́cie gaussiana.
Agora imagine uma segunda superfı́cie, ou balão, mas não esférica envolvendo a superfı́cie anterior. O fluxo através desta superfı́cie é o mesmo do
que através da esfera.
Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme
3.5. LEI DE GAUSS
35
Para ver isto podemos considerar a definição de linhas de campo:
O número de linhas que atravessam as duas superfı́cies é o mesmo.
Ou então podemos considerar um cone com vértice em q.
Figura 3.18: Comparação de fluxos
O fluxo de um campo elétrico através de qualquer superfı́cie que envolve
q
uma carga puntiforme é
εo
Corolário 3.1. Fluxo através de uma superfı́cie fechada é nulo quando a carga
é externa à superfı́cie.
O fluxo através de uma superfı́cie fechada deve ser independente do seu
tamanho e forma se a carga interna não variar.
Superposição:
Considere um certo número de fontes q1 , q2 , ..., qn e os campos de cada
uma
� 1, E
� 2 , ..., E
�n
E
O fluxo Φ , através de uma superfı́cie fechada S, do campo total pode ser
escrito:
36
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Φ=
�
�
� · d�s =
E
S
�
�1 + E
� 2 + ... + E
� n )·d�s
(E
S
� i · d�s = qi ⇒ Φ = q1 + q2 + ... + qn = qint
E
ε0
ε0
ε0
S
LEI DE GAUSS:
→
O fluxo do campo elétrico E através de qualquer superfı́cie fechada é igual
à carga interna dividida por �0 .
�
� i · d�s = qint
E
ε0
S
Pergunta: A lei de Gauss seria válida se
� �
1
���
�E � ∝ 3
r
?
Não, pois:
� ·A
� = EAtotal = k0
Φ=E
q
q
2
4πr
=
r3
ε0 r
Por meio da lei de Gauss é possı́vel calcular a carga existente numa região
dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, porém limitados
a sistemas que possuem alta simetria.
3.5.1
Aplicando A Lei De Gauss:
1) Identifique as regiões para as quais E deve ser calculado.
2) Escolha superfı́cies gaussianas observando a simetria do problema,
→
preferencialmente com E perpendicular e constante ou E paralelo.
3) Calcule
Φ=
�
S
� i · d�s
E
37
3.6. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS
4) Calcule qint
→
5) Aplique a Lei de Gauss para obter E
Figura 3.19: Simetrias mais comuns
3.6
Aplicações da Lei de Gauss
É essencial que a distribuição tenha elemento de simetria (plana, axial,
esférica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo através de uma
superfı́cie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a simetria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta
superfı́cie.
Plano Uniformemente Carregado
Fio Cilı́ndrico de densidade linear λ
Casca Esférica
O campo elétrico externo à camada é o mesmo que se toda a carga da
esfera estivesse concentrada no seu centro.
CAMPO ELÉTRICO NA SUPERFÍCIE DE UM CONDUTOR
A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor.
No equilı́brio não pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas
se deslocariam sob a ação do campo, rompendo o equilı́brio estático. Só é
possı́vel ter componente do campo normal à superfı́cie.
38
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado
Figura 3.21: Fio Cilı́ndrico de densidade linear λ
3.7
Divergência de um vetor e Equação de
Poisson
A lei de Gauss é um indicador global de presença de cargas:
Φ=
�
S
� · d�s = qint
E
ε0
3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON
39
Figura 3.22: Casca esférica
Queremos agora achar um indicador local que analise a presença de fontes
num ponto P.
Considere um ponto P:
Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga
dentro deste volume é ρ∆V, então:
Φ∆Σ =
�
∆Σ
� s = qint =
E.d�
ε0
�
ρ∆V
1
⇒
ε0
∆V
�
� s= 1
E.d�
∆V
V
1
lim
∆V →0 ∆V
ρ∆V
ε0
�
V
�
� s = ρ(P )
E.d�
ε0
(3.4)
∆Σ
Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P independe de ∆Σ e é uma caracterı́stica local do campo.
Para um vetor qualquer, definimos a divergência como sendo:
1
∆V →0 ∆V
� v = lim
div�v (P ) = ∇.�
�
�v .d�s
→
onde ∆V é um volume arbitrário que envolve o ponto P e d s (elemento
orientado de superfı́cie).
De acordo com a Equação 3.4
40
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.23: Esquema para aplicação da Lei de Gauss
3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON
41
Figura 3.24: Continuação
Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal
� E
� = ρ
∇.
εo
Equação de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss
→
→
O divergente de E num ponto P é o fluxo para fora de E por unidade de
volume nas vizinhanças do ponto P.
Mas sempre que for calcular o divergente nós temos que calcular pela
definição?
42
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.26: Paralelepı́pedo infinitesimal
� v = lim 1
∇.�
∆V →0 ∆V
�
�v .d�s
Não. Vamos ver a forma do
� v
∇.�
em coordenadas cartesianas:
Segundo a definição ∆V é qualquer. Vamos considerar um paralelepı́pedo
de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z).
→
Vamos calcular o fluxo de v na face 2:
vx (2).∆y.∆z
3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON
43
→
Fluxo v na face 1:
−vx (1).∆y.∆z
Observe que vx (2) �= vx (1)
1
1 ∂vx
vx (2) = vx (x + ∆x, y, z) = vx (x + y + z) +
∆x
2
2 ∂x
1
1 ∂vx
vx (1) = vx (x − ∆x, y, z) = vx (x + y + z) −
∆x
2
2 ∂x
Fluxo sobre 1 e 2:
�
f luxos =
∂vx
∆x∆y∆z
∂x
Da mesma forma se considerarmos as outras faces:
�
�
∂vy
∂vz
x
Φtotal = ∂v
+
+
∆x∆y∆z
∂x
∂y
∂z
�
�
y
x
z
Φtotal = ∂v
+ ∂v
+ ∂v
∆V
∂x
∂y
∂z
�
�
�
∂vy
∂vz
x
Φtotal = ∂ �v • d�s = ∂v
+
+
∆V
∂x
∂y
∂z
Superfı́cie infinitesimal = ∆Σ
� v = ∂vx + ∂vy + ∂vz
∇�
∂x
∂y
∂z
Por outro lado se somarmos para todos os elementos:
� v ∆V =
∇�
�
� v dV
∇�
V
Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contribuições às superfı́cies internas são iguais a zero.
44
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
� �
i
�
∆
P
�v d�s =
�
�v d�s
S
i
� v dV =
∇�
V
�
�v d�s
S
Vimos que a definição de divergente é:
� v = lim 1
div�v (P ) = ∇.�
∆Vi →0 Vi
�
�v .d�si
Si
→
sendo v um campo vetorial qualquer, Vi é o volume que inclui o ponto
em questão e Si a superfı́cie que envolve este volume Vi .
→
→
Significado de ∇ . v :
a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infinitésimo;
b) Densidade de fluxo desse valor através da região;
c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto.
3.8
Teorema de Gauss e forma diferencial da
Lei de Gauss
Φ=
�
F� d�s =
n �
�
F� d�si =
i=1 S
i
S
n
�
i=1
∆Vi
�
F� d�si
Si
∆Vi
Fazendo lim e Vi −→ 0
N →∞
�
S
F� d�s =
�
� F� dV
∇
V
Teorema de Gauss ou Teorema de Divergência
Já tı́nhamos visto a equação de Poisson:
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45
� E
� = ρ
∇.
εo
Vamos usar o teorema da divergência para chegar neste resultado:
�
� s=
Ed�
�
ρdV
V
ε0
s
Pelo teorema da divergência:
�
s
� s=
Ed�
�
1
� EdV
�
∇
=
ε0
V
�
ρdV
V
Como o volume é qualquer, temos:
� E
� = ρ
∇.
εo
sendo a relação local entre densidade de carga e campo elétrico
O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS:
Figura 3.27: Divergente
46
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
F� = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂
� F� = lim 1
∇
Vi →0 Vi
�
F� d�si
si
→
→
Queremos saber o ∇ . F no ponto P
Sabemos que:
∂Fy
Fy (x, y + ∆y, z) − Fy (x, y, z)
=
∂y
∆y
Fy (x, y + ∆y/2, z) = Fy (x, y, z) +
∂Fy ∆y
∂y 2
Fluxo por 2:
� = Fy (x, y + ∆y/2, z)∆x∆z =
F� A
�
∂Fy ∆y
Fy (x, y, z) +
∂y 2
�
∆x∆z
Fluxo por 1:
�
�
∂Fy ∆y
�
�
F A = −Fy (x, y − ∆y/2, z)∆x∆z = − Fy (x, y, z) −
∆x∆z
∂y 2
Somando fluxo 1 + fluxo 2:
∂Fy
∆x∆y∆
∂y
Somando fluxo 3 + fluxo 4:
∂Fx
∆x∆y∆z
∂x
Somando fluxo 5 + fluxo 6:
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47
∂Fz
∆x∆y∆z
∂z
Figura 3.28: Superfı́cies consideradas
Fluxo total que sai do volume Vi
�
� F� = lim 1
∇
∆Vi →0 ∆Vi
∂Fx ∂Fy ∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
�
�
∂Fx ∂Fy ∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
∆x∆y∆z
�
∆Vi =
∂Fx ∂Fy ∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
F� = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂
� = ∂ î + ∂ ĵ + ∂ k̂
Operador nabla: ∇
∂x
∂y
∂z
Em coordenadas esféricas: (r,θ,ϕ):
� F� = 1 ∂ (r2 Fr ) + 1 ∂ (senθFθ ) + 1 ∂Fϕ
∇
r2 ∂r
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂ϕ
Em coordenadas cilı́ndricas: (r,ϕ,z):
� F� = 1 ∂ (rFr ) + 1 ∂Fϕ + ∂Fz
∇
r ∂r
ρ ∂ϕ
∂z
48
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volumétrica de cargas positivas uniforme.
Figura 3.29: Cilindro com densidade volumétrica de cargas uniforme
Resolução.
E2πrL =
ρπr2 L
ρπa2 L
↔ E2πrL =
ε0
ε0
→
−
ρr
ρπa2 L
E =
r̂ (r < a) ↔ E2πrL =
2ε0
ε0
�E
� (r < a) = 1 ∂ (rEr ) = 1 ∂
∇
r ∂r
r ∂r
�
ρr
r
2ε0
�
�E
� = ρ
∇
ε0
�E
� (r > a) = 1 ∂ (rEr ) = 1 ∂
∇
r ∂r
r ∂r
�E
� =0
∇
�
ρa2
r
2ε0 r
�
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49
O divergente do campo só é diferente de zero onde há carga!
CARGA PONTIFORME
� =
E
�E
� =
∇
1 q
r̂
4πε0 r2
q 1 ∂ 2
(r Er ) = 0 , r �= 0
4πε0 r2 ∂r
Não faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), já que
ela gera o campo.
50
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO