Cálc. Diferenc. em Rn — Regra da cadeia

ROSÁRIO LAUREANO
1
Cálc. Diferenc. em R — Regra da cadeia
n
[Elaborado por Rosário Laureano] [2012/13]
Este ficheiro contém: 1. Tópicos de teoria - derivada direcional (p. 1)
2. Exercícios resolvidos (p. 3)
3. Exercício propostos (com solução) (p. 3)
1
Tópicos de teoria - regra de derivação da
função composta (regra da cadeia)
−
→
−
→
− ⊆ Rn → Rm e G : D→
− ⊆ Rm → Rp funções vectoriais
Sejam F : D→
F
G
−
→ −
→
−
→
−
→
− (portanto a função composta G ◦ F está bem
⊂
D
tais que F D→
F
G
−.
definida) e (a1 , . . . , an ) um ponto interior a D→
F
−
→
−
→
Regra da cadeia Se F é diferenciável no ponto (a1 , . . . , an ) e G é
−
→
−
→
−
diferenciável em F (a1 , . . . , an ) ∈ Int F D→
então a função composta
F
−
→ −
→
G ◦ F também é diferenciável em (a1 , . . . , an ) e é válida a regra da cadeia
(ou regra da função composta) que se traduz pela seguinte igualdade
entre matrizes Jacobianas (definição no Capítulo 11)
−
−
→ −
→
−
→ −
→
→
J G ◦ F (a1 , . . . , an ) = J G F (a1 , . . . , an ) · J F (a1 , . . . , an ) .
matriz
m×n
matriz p×n
matriz p×m
−
→
− ⊆ R → R2 é uma função vectorial
CASO PARTICULAR 2: Se F : D→
F
de variável real diferenciável em a e g : Dg ⊆ R2 → R é uma função real de
−
→
duas variáveis reais diferenciável em (b, c) = F (a) = (F1 (a) , F2 (a)), então
a função composta h definida por
h (t) = g (F1 (t) , F2 (t)) ≡ g (u, v)
ROSÁRIO LAUREANO
2
(representamos os argumentos F1 (t) e F2 (t) por u e v, respectivamente) é
diferenciável em a e a sua derivada (total) é


∂F1
 ∂t (a) 
dh
∂g
∂g


h (a) =
·
(a) =

(b, c)
(b, c)
dt


∂u
∂v
1×2
∂F2
(a)
∂t
2×1
=
∂g
∂F1
∂g
∂F2
(b, c) ·
(a) +
(b, c) ·
(a)
∂u
∂t
∂v
∂t
=
∂u
∂g
∂v
∂g
(b, c) ·
(a) +
(b, c) ·
(a) .
∂u
∂t
∂v
∂t
−
→
− ⊆ R2 → R2 é uma função vectorial
CASO PARTICULAR 1: Se F : D→
F
de variável real diferenciável em (a, b) e g : Dg ⊆ R2 → R é uma função real de
−
→
duas variáveis reais diferenciável em (c, d) = F (a, b) = (F1 (a, b) , F2 (a, b)),
então a função composta h definida por
h (x, y) = g (F1 (x, y), F2 (x, y)) ≡ g (u, v)
(representamos os argumentos F1 (x, y) e F2 (x, y) por u e v, respectivamente)
é diferenciável em (a, b) e é válida a igualdade matricial
∂h
∂x
∂h
∂y
=
1×2
∂g
∂u
 ∂F
1
 ∂x
∂g

·
∂v 1×2  ∂F2
∂x

∂F1
∂y 

 ,
∂F2 
∂y 2×2
sendo as derivadas parciais da primeira e da terceira matrizes calculadas no
−
→
ponto (a, b) e as da segunda matriz calculadas no ponto (c, d) = F (a, b) =
(F1 (a, b) , F2 (a, b)). Portanto,
∂g
∂F1
∂g
∂F2
∂h
(a, b) =
(c, d) ·
(a, b) +
(c, d) ·
(a, b)
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
=
∂g
∂u
∂g
∂v
(c, d) ·
(a, b) +
(c, d) ·
(a, b)
∂u
∂x
∂v
∂x
ROSÁRIO LAUREANO
3
e
∂h
∂g
∂F1
∂g
∂F2
(a, b) =
(c, d) ·
(a, b) +
(c, d) ·
(a, b)
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
=
∂u
∂g
∂v
∂g
(c, d) ·
(a, b) +
(c, d) ·
(a, b) .
∂u
∂y
∂v
∂y
Para cada função que resulte da composição de outras funções é conveniente a construção de um esquema em "árvore" que ilustre todas as dependências entre as funções envolvidas. A leitura desse esquema permite a
aplicação correcta da regra da cadeia: considera-se a soma das contribuições
relativas a cada caminho e a cada um destes o produto de derivadas.
2
Exercício resolvido
Exercício
f (x, y) = Ax2 + 2Bxy + cy 2 , com x = uv, y =
√ Considere
2
ln (u) − v, u = s e v = s + 1. Obtenha a derivada f (s).
RESOLUÇÃO: Podemos considerar um esquema auxiliar (esquema em
"árvore"). Pela regra de derivação da função composta (ou regra da cadeia),
obtemos
df
∂f ∂x du ∂x dv
∂f ∂y du ∂y dv
f (s) =
=
+
+
+
ds
∂x ∂u ds ∂v ds
∂y ∂u ds ∂v ds
1
1
= (2ax + 2by) (v · 2s + u) + (2bx + 2cy)
2s + − √
u
2 v
2s
1
= (2ax + 2by) (2vs + u) + (2bx + 2cy)
− √
.
u
2 v
3
Exercícios propostos (com solução)
∂f ∂f
e
sendo
∂x ∂y
2
2
2
2
2
f = ln xy + x y + 1 + (xy + x y) .
1. Use a regra da cadeia para calcular
ROSÁRIO LAUREANO
2. Calcule
4
∂z ∂z
e
sendo
∂x ∂y
z=
com u = x ln y e v = xy.
u+v
u−v
∂z ∂z
e
sendo z = f (uv) com u = x2 − y 2 e v = exp (xy),
∂x ∂y
com f de classe C 1 .
3. Calcule
∂z dz
e
sendo z = x exp (yt), com x = t2 + 1 e y = sin t.
∂t dt
z
5. Calcule u sendo u = com x = R cos t, y = R sin t e z = H.
x2 + y 2
4. Calcule
6. Calcule z no ponto t = 1 em que
z=
u
,
1 + exp v
com u = f (x), v = g (xy), x = t2 , y = ϕ (t3 ), onde f, g e ϕ são funções
de classe C 1 , e sabendo que ϕ (1) = 2, f (0) = −1, g(0) = 0, f (0) = −2,
g (0) = 1 e ϕ (1) = 3.
∂f ∂f
e
sendo
∂x ∂y
2
x2 + y 2
2 1−
f = x +y
.
1 + x2 + y 2
7. Use a regra da cadeia para calcular
8. Considere a função
uv
f =ϕ
+ u2
2u + v
em que ϕ é uma função diferenciável no seu domínio,
u = y/ x2 − z 2
e
v = xy exp z 2 − 1 .
Sabendo que ϕ (3/2) = 2, calcule as derivadas parciais de primeira
ordem de f em ordem a x, a y e a z no ponto P (−2, 3, 1).
ROSÁRIO LAUREANO
5
9. Dada a função diferenciável g : R3 → R definida por z = g (x, u, v),
considere a função
f (x, y) = g (x, x + y, xy) .
Mostre que
∂f
∂g
∂g
∂f
(2, 1) −
(2, 1) =
(2, 3, 2) −
(2, 3, 2) .
∂x
∂y
∂x
∂v
10. Seja f : R3 → R uma função diferenciável no ponto (0, e, 0) e
g (x, y) = f y 2 sin x, exp y, ln 1 + x2
para todo o (x, y) ∈ R2 . Sabendo que a matriz Jacobiana de f no ponto
T
(0, e, 0) é J = e −1 e , mostre que
∂g
∂g
(0, 1) +
(0, 1) = 0.
∂x
∂y
11. Sendo f uma função diferenciável no seu domínio, mostre que
x
z=f
y
verifica a equação
x
∂z
∂z
+y
= 0.
∂x
∂y
12. Sendo ϕ uma função diferenciável no seu domínio, mostre que
y
z = xy + xϕ
x
satisfaz a equação
x
∂z
∂z
+y
= xy + z.
∂x
∂y
13. Sendo ϕ uma função diferenciável em R2 , mostre que z = yϕ (x2 − y 2 )
verifica a igualdade
1 ∂z 1 ∂z
z
+
= 2.
x ∂x y ∂y
y
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6
14. Sendo ϕ uma função diferenciável em todo o seu domínio, mostre que
x2
z = ϕ y exp 2 · exp y
2y
satisfaz a equação
x2 − y 2
∂z
∂z
+ xy
= xyz.
∂x
∂y
15. Mostre que a função f (x, y, z) = G (x2 − y 2 , y 2 − z 2 ), em que G é uma
função diferenciável em R2 , verifica a igualdade
∂f
∂f
∂f
yz
+ xz
+ xy
= 0.
∂x
∂y
∂z
16. Mostre que a função u = sin x + ϕ (sin y − sin x), em que ϕ é uma
função diferenciável em R2 , verifica a igualdade
∂u
∂u
cos x +
cos y = cos x cos y.
∂y
∂x
3.1
1.
Soluções dos exercícios propostos
∂f
y 2 + 2xy
∂f
x2 + 2xy
=
e
=
sendo u = xy 2 e v = x2 y
∂x
∂y
2
2
1 + (u + v)
1 + (u + v)
2.
∂z
∂z
2 (ln y − 1)
=0 e
=
∂x
∂y
(ln y − y)2
3.
∂z
∂z
= [yu exp (xy) + 2xv] f e
= [xu exp (xy) − 2yv] f ∂x
∂y
∂z
dz
= xy exp(yt) e
= (2t + xy + xt cos t) exp (yt)
∂t
dt
5. 0
4.
6. −1
7.
2u2 + 2u − 2
∂f
2u2 + 2u − 2
∂f
=x
e
=
y
para u = x2 + y 2
2
2
∂x
∂y
(1 + u)
(1 + u)
8.
∂f
113 ∂f
5
∂f
4
(−2, 3, 1) =
,
(−2, 3, 1) =
e
(−2, 3, 1) =
∂x
12 ∂t
3
∂z
3