1a Prova - Instituto de Física / UFRJ

INTITUTO DE FÍSICA – UFRJ
Termodinâmica e Física Estatística, 2007/1
1a Prova, 16/04/2007
Questão 1. Os níveis de energia de um oscilador harmônico unidimensional de freqüência
 são dados (em relação à energia de ponto zero) por   n  , n = 1,2,3,... Num sistema
de N osciladores desse tipo, a multiplicidade do macroestado de energia E  M  é dada
por
( N  M  1)!
( N , M ) 
M !( N  1)!
onde M   i ni .
a) Encontre a entropia S ( E , N ) para N grande.
b) Mostre que a energia do sistema, em função da temperatura, é dada por
N 
E
exp(  / kT )  1
Questão 2. Um sistema consiste de N partículas distinguíveis, independentes, e cada uma
pode ter energia  ou  . O sistema está em equilíbrio térmico a uma temperatura T.
a) Escreva a função de partição do sistema e calcule sua energia interna e sua entropia.
b) Qual a probabilidade de encontrar uma partícula no estado de energia  ? Mostre
que N  , o número de partículas no estado de energia  , nunca é menor que N   ,
o número de partículas no estado de energia  .
c) Calcule a capacidade térmica do sistema e mostre que, para baixas temperaturas
(  kT ) , ela pode ser escrita como
  
C  4 Nk 
 exp(  / kT )
 kT 
onde  = 2  é o gap de energia.
Questão 3. Um gás monoatômico obedece a equação de estado de van der Waals
NkT
N 2a
P
 2
V  Nb V
onde a e b são constantes características do gás. Queremos que você encontre a energia
interna do gás, E (T ,V ) . Um caminho é o seguinte:
a) A partir da energia livre de Helmholtz F, deduza a relação de Maxwell
 S   P 

 

 V T  T V
b) Mostre que
 E 
 S 
 P 

 T 
 P T 
 P
 V T
 V T
 T V
c) Calcule (E / V )T para o gás de van der Waals. Integre o resultado para obter
E(T,V). A constante de integração pode ser determinada usando que
E  (3 / 2) NkT quando V   . (O que significa esse limite e como pode ser
justificado?)
2
Questão 4. (a) Encontre a energia interna, a entropia e a equação de estado para um gás
ideal de N partículas, cada uma de massa M, confinado a uma linha de comprimento L. (b)
Qual é a variável intensiva associada a L e qual a sua unidade?
Fórmulas úteis:
 n ,n
y ,n z

2
2
2


0
e x dx   1/ 2 / 2 , F  E  TS , dE  TdS  PdV  dN ,
2
(nx2  n 2y  nz2 ) , fórmula de Stirling ln N !  N ln N  N , S  k ln  ,
2mL
Z   exp(   E j ) , F  kT ln Z
x
j