Lista 2 Complexos e derivadas - Unifal-MG

1. Calcule o valor de z10  z 5  1  0 , sendo que z  1 e o argumento 0 < θ < π.
2. Determine o número complexo z tal que z4 é igual ao conjugado de z2.
3. O número complexo z e seu inverso têm o mesmo módulo. O que podemos
concluir de do valor de z?
4. Os números complexos z e w tem
tais que z  w  u  iv e z  w  10
5 
como argumentos. Ache u e v reais
e
12 3
5. Calcule o valor de z, tal que z  3   x 2  4 x  i é igual a
relação à x.
6. Calcule o produto das raízes de
4
r
dz
, a derivada de z em
dx
, onde r é um número real.
7. Um polígono possui n lados. Se 2 de suas n raízes são z  2 e w 
determine o menor valor de n.
2 1  i  ,
8. Sabendo que área de um quadrado no plano de Argand-Gauss, centrado na
origem, é igual a 8, determine o número cujas raízes são os vértices deste
quadrado.
9. Mostre que quando a derivada de uma equação de 2º Grau na forma
y  ax 2  bx  c for igual a zero, o valor de x obtido é um ponto de máximo ou
mínimo.
10. Mostre que quando a derivada de uma equação de 3º Grau na forma
y  x 3  2 x 2  3 x  2 for igual a zero, uma das raízes obtidas é um ponto de
inflexão da curva.
11. A energia potencial gravitacional de uma partícula de massa m é dada por
U  mg ( y  yo )  mgy  U o , onde y é a altura a partir da referência yo. Calcule a
derivada desta função em relação a y e mostre que é igual a força que atua sobre

dU 
a partícula, isto é, F  
y.
dy
4
4
12. Mostre que o número complexo z  cos     i sen    é solução da
 15 
 15 
10
5
equação z  z  1  0 .
13. Usando a fórmula de Euler para números complexos e i  cos   i sen  , mostre
que cos 2   sen 2   1