Acréscimos e diferenciais

Acréscimos e diferenciais
Dada uma função f : x → y = f ( x) pode acontecer que a variável
independente x esteja sujeita a uma pequena variação, sendo
necessário determinar a variação correspondente na variável
dependente y = f (x) . Se x varia de x1 a x2 , a ∆x = x2 − x1 chama-se
acréscimo de x. Analogamente, ∆y representa a variação na variável
y, correspondente à variação ∆x e é dada por :
∆y = f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ).
Exemplo:
Considere a função y = 3x 2 − 5 e o ponto inicial x 0 = 2 . Determine
∆y para ∆x = 0,1.
Se na definição de derivada de uma função substituirmos h por ∆x e
encararmos x como o valor inicial da variável independente temos:
f ′( x) = lim
∆x →0
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y
= lim
.
∆x
∆x →0 ∆x
Se f é diferenciável tem-se:
∆y
≈ f ′(x)
∆x
se
∆x ≈ 0 ,
∆y ≈ f ′( x) ∆x
se
∆x ≈ 0 .
ou ainda,
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Definição:
Consideremos uma f.r.v.r. diferenciável em x, f : x → y = f ( x) .
Se ∆x é um acréscimo de x então
a) chama-se diferencial de x e representa-se por dx ao número real
dx = x ;
b) chama-se diferencial de f em x e representa-se por dy ao número
real dy = f ′( x) x .
NOTA: Da definição vem que dy = f ′( x)dx e, dividindo ambos os
dy
= f ′( x).
membros por dx (dx ≠ 0) , obtemos
dx
Exemplo:
Considere a função y = x 4 − 3 x 2 + 5 x + 4 e o ponto inicial x = 2.
Para x = −0,1 determine dy.
Se ∆x ≈ 0 então ∆y ≈ dy e assim dy pode ser usado como
aproximação da variação exacta ∆y da variável dependente,
correspondente a uma pequena variação ∆x em x.
Exemplo:
Se y = 3x 2 − 5 use dy para aproximar ∆y se x varia de 2 a 2,1.
Calcule o erro.
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Definição: Se f é uma função diferenciável no conjunto A ⊂ D f ,
então para um dado acréscimo dx podemos considerar a função
df : A → IR
x → dy = f ′( x)dx.
Se esta função for diferenciável em x, então podemos considerar a
quantidade d 2 y = d(dy ) que se denomina por segunda diferencial de f
em x com acréscimo dx.
Tem-se
d 2 y = d (dy ) = d ( f ′( x)dx ) = d ( f ′( x ))dx = f ′′( x )dxdx = f ′′( x )(dx) 2 .
Escrevendo dx 2 = (dx) 2 obtém-se:
d 2 y = f ′′( x)dx 2 ,
que sugere a notação
d2 y
dx
2
para a segunda derivada de f .
Generalizando tem-se, para n ∈ IN ,
d n y = f ( n ) ( x )dx n , (supõe-se dx n = (dx ) n )
ou ainda,
f
(n)
( x) =
dn y
dx
n
.
A quantidade d n y diz-se diferencial de ordem n de f com
acréscimo dx e f diz-se n vezes diferenciável se esta quantidade existir
(isto é, se a derivada de ordem n for finita).
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