1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática
Derivadas
Seja a função f : ℜn → ℜ , fixe x ∈ℜ n , e considere a expressão :
limα →0
f (x + αei ) − f (x)
α
,
onde ei é o vector unitário i . Se o limite acima existir, chama-se a derivada parcial i
de f no ponto x e é representado por (∂f /∂xi )(x) ou ∂f (x)/∂xi.
Assumindo que todas estas derivadas parciais existem , o gradiente de f em x é
definido pelo vector coluna :
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 ∂f ( x ) 


 ∂x1 
 ⋅ 
∇f ( x ) = 
⋅ 
 ∂f ( x ) 


 ∂xn 
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Derivadas
Para qualquer y ∈ℜ n , definimos a derivada uni-direcional de f na direcção de y
f ′( x ; y ) = lim α ↓0
f ( x + αy ) − f ( x )
α
,
assumindo que o limite existe. Note a partir das definições que
f ′( x ; ei ) = − f ′( x ;− ei ) ⇒
f ′( x ; ei ) = (∂f /∂xi )( x )
Se derivada direcional de f em x (vector) existe em todas as direcções y e f ′(x; y ) é uma
função linear de y, diz-se que f é diferenciável em x . Este tipo de diferenciabilidade é
também chamado diferenciabilidade Gateaux.
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Derivadas
(i) f é diferenciável em x sse o gradiente ∇f (x ) existe e satisfaz
∇f ( x )′y = f ′( x ; y ) para todo y ∈ ℜ n .
(ii) A função f diz-se diferenciável num dado subconjunto S de ℜ n se é diferenciável em
qualquer x∈S . A função f diz-se diferenciável se é diferenciável em todos x ∈ℜ n .
(iii) Se f é diferenciável num conjunto S e o gradiente ∇f (x ) é contínuo em todo x ∈S , f
diz-se continuamente diferenciável em S. Uma tal função é tambem contínua em S e tem
a propriedade :
lim y →0
f ( x + y ) − f ( x ) − ∇f ( x )′y
= 0,
y
∀x ∈ S ,
onde • é uma norma arbitrária .
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Derivadas
Derivadas de Funções vectoriais
Se
f : ℜn → ℜm é
uma
função
vectorial,
diferenciável) se cada componente
diz-se
diferenciável
(continuamente
f i de f é diferenciável (continuamente
diferenciável).
A matriz gradiente de f denominada ∇f (x ) , é a matriz n × m cuja coluna i é gradiente
∇f i (x ) de f i . Assim :
∇f(x)= [ ∇f1 (x)⋅⋅⋅∇fm(x)] .
A transposta de ∇f (x ) é chamada o Jacobiano de f
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Derivadas
Se cada uma das derivadas parciais duma função f : ℜn → ℜ é uma função
continuamente diferenciável de x então usamos a notação :
(∂
2
)
f /∂xi∂x j ( x )
para indicar a derivada parcial i de ∂f /∂x j num ponto x ∈ℜ n
A Hessiana de f , designada por ∇2 f (x ) , é a matriz cujo elemento ij é igual a :
(∂
(
)
(
2
)
f /∂xi∂x j ( x )
)
Temos ∂ 2 f /∂x ∂x ( x ) = ∂ 2 f /∂x ∂x ( x ) para qualquer x e portanto ∇2 f (x ) é
i
j
j
i
simétrica.
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Principais teoremas relacionados com funções
diferenciáveis
PROPOSIÇÃO 14.1:
Se f : ℜ → ℜ é continuamente diferenciável num intervalo aberto I , então para
qualquer x ,y ∈ I , existe algum ξ ∈ [x , y ] tal que
f ( y ) − f ( x ) = ∇f (ξ )( y − x )
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Principais teoremas relacionados com funções diferenciáveis
PROPOSIÇÃO 15.1: (Expansões de Segunda Ordem)
Seja f : ℜn → ℜ dupla e continuamente diferenciável numa esfera aberta S centrada num
vector x.
(a) para todo o y tal que x + y ∈S ,
1 t

 2
1
f ( x + y ) = f ( x ) + y ′∇f ( x ) + y ′( ∫  ∫ ∇ f ( x + τy )dτ dt )y.
2 00

(b) para todo o y tal que x + y ∈S , existe um α ∈ 0,1 tal que
f ( x + y ) = f ( x ) + y ′∇f ( x ) +
1
y ′∇ 2 f ( x + αy )y.
2
(c) para todo o y tal que x + y ∈S verifica-se
f ( x + y ) = f ( x ) + y ′∇f ( x ) +
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1
y ′∇ 2 f ( x )y + o
2
(
y
2
)
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Contracções
Muitos algoritmos iterativos podem ser descritos por :
x k + 1 = g( x k ),
k = 0 ,1,.....,
onde g é uma aplicação de um subconjunto
propriedade :
g( x ) − g( y ) ≤ γ x − y ,
X ∈ℜ n em si próprio e tem a
∀x , y ∈ X
Aqui • é uma norma, e γ é um escalar com 0 ≤ γ ≤ 1 . Uma tal aplicação chama-se
uma contracção. O escalar γ chama-se módulo da contracção g.
NOTA: Uma aplicação g pode ser uma contracção para uma escolha de norma e não o
ser para outra escolha
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Contracções
Seja a aplicação g : X → X . Qualquer x∗ ∈ X satisfazendo g x ∗  = x∗ diz-se um ponto fixo de g e


a iteração x k + 1 = g x k  define um algoritmo importante para encontrar um tal ponto fixo.


PROPOSIÇÃO 16.1: (Teorema da Contracção)
Suponha que g : X → X é uma contracção com módulo γ ∈ 0,1 e que X é um subconjunto

fechado de ℜn . Então :
(a) (Existência e Unicidade de Ponto Fixo) A aplicação g tem um único ponto fixo x∗ ∈ X .
(b) (Convergência) para qualquer vector inicial x0 ∈ X , a sequência
{ xk }
gerada por
x k + 1 = g x k  converge para x∗ . Em particular ,


x k − x* ≤ γ k x0 − x* ,
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∀k ≥ 0
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