A Derivada

A Derivada
1.0 Conceitos
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Derivada de f em relação a x:
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Uma função é diferenciável / derivável em x0 se existe o limite

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Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0.
f é diferenciável em um intervalo se f for diferenciável em cada ponto do interior do
intervalo e se existir a derivada lateral:
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Notação de Newton:
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Notação de Leibniz:
2.0 Técnicas de Diferenciação
2.1 Técnicas Básicas
2.2 Derivadas de Funções Trigonométricas
2.3 Regra da Cadeia
2.4 Derivadas de Funções Logarítmicas e Exponenciais
2.5 Derivada de Funções Trigonométricas Inversas
3.0 Aproximação Linear Local
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Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o gráfico de y
= f(x) coincidir com alguma porção do gráfico da equação.
Para realizar uma diferenciação implícita, derivam-se os dois lados da equação.
4.0 Diferenciabilidade da Função Inversa

Suponha que o domínio de uma função f seja um intervalo aberto I e que f seja
diferenciável e injetora nesse intervalo. Então, f-1 é diferenciável em qualquer ponto da
imagem de f no qual f’(f-1(x)) ≠ 0 e sua derivada é:
5.0 Regra de L’Hospital
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Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis em um intervalo aberto que contenha x =
a, exceto, possivelmente, em x = a, e que o limite de g e f, quando x → a seja zero. Se
existe o limite da divisão das duas funções, ou se esse limite seja mais ou menos infinito,
então:

Usa-se esta regra somente quando o limite encontra-se nas formas indeterminadas 0/0 e
∞/∞.
6.0 Derivada em Gráficos
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Se f é diferenciável em um intervalo aberto I, então dizemos que f é côncava para cima e I
se f’ é crescente em I e côncava para baixo em I se f’ é decrescente em I.
6.1 Ponto de Inflexão
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Se f é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto x0 e muda de concavidade no
ponto (x0)(f(x0)), então dizermos que o ponto do domínio é o ponto de inflexão de f.
Os pontos de inflexão marcam os lugares da curva y = f(x) em que a taxa de variação de y
em relação a x muda de crescente para decrescente, ou vice-versa.
Os “candidatos” a este ponto são aqueles em que f’’(x) = 0.
6.2 Extremos Relativos
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Dizemos que x0 é ponto de máximo local de f se existe uma vizinhança V de x0 (V contido
no Domínio) tal que f(x) ≤ f(x0), para todo x pertencente a V.
Dizemos que x0 é ponto de mínimo local de f se existe uma vizinhança V de x0 (V contido
no Domínio) tal que f(x) ≥ f(x0), para todo x pertencente a V.
Um ponto é chamado de ponto crítico de f se f’(x) = 0 ou f’(x).
6.2.1 Teste da Derivada Primeira

Uma função f tem um extremo relativo naqueles pontos críticos em que f’ troca de sinal.
Se f’(x) > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 e f’(x) < 0 em um intervalo
aberto imediatamente à direita de x0, então f tem um máximo relativo em x0.
Se f’(x) < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 e f’(x) > 0 em um intervalo
aberto imediatamente à direita de x0, então f tem um mínimo relativo em x0.
Se f’(x) tem o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 e
quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x0, então f não tem extremo
relativo em x0.
6.2.2 Teste da Derivada Segunda
6.3 Extremos Absolutos
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Dizemos que x0 é ponto de máximo absoluto de f se f(x) ≤ f(x0), para todo x pertencente ao
Domínio.
Dizemos que x0 é ponto de mínimo absoluto de f se f(x) ≥ f(x0), para todo x pertencente ao
Domínio.
Teorema do Valor Extremo: Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito
[a,b], então f tem um máximo e um mínimo absolutos em [a,b].
Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto (a,b), então ele deve ocorrer em
um ponto crítico de f.
6.4 Método de Newton
6.5 Teorema de Rolle
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Seja f diferenciável no intervalo aberto (a,b) e contínua no intervalo fechado [a,b]. Se
f(a) = f(b) = 0, então há pelo menos um ponto c em (a,b), tal que f’(c) = 0.
6.6 Teorema do Valor Médio
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Seja f contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). Então
existe pelo menos um ponto c em (a,b), tal que
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Ou seja, a reta tangente é paralela à reta secante.
6.7 Teorema da Diferença Constante
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Se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo I e se f’(x) = g’(x) para cada x de I, então
f = g é constante em I: Existe uma constante k tal que f(x) – g(x) = k.
Ou seja, f e g são translações verticais um do outro.
7.0 Construção de Gráficos
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Primeiro Passo: Definir o Domínio.
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Segundo Passo: Interseção com o eixo x (Raízes da função).
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Terceiro Passo: Interseção com o eixo y.
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Quarto Passo: Pontos Críticos.
Calcular a primeira derivada, igualá-la a zero e quando não existe. Objetivo: achar os
possíveis pontos críticos.
Estudar o sinal de f’(x). Objetivo: Verificar se os pontos críticos são máximos ou
mínimos relativos, se não são nada, ou se são assíntotas verticais.
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Quinto Passo: Pontos de Inflexão.
Calcular a segunda derivada e igualá-la à zero. Objetivo: achar possíveis pontos de
inflexão.
Estudar o sinal de f’’(x). Objetivo: verificar se existem pontos de inflexão.
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Sexto Passo: Assíntotas.
Calcular o limite tendendo ao domínio. Objetivo: Checar se existem assíntotas
horizontais e verticais e se existem máximos e mínimos absolutos.
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Sétimo Passo: Compilação do gráfico.