CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prof

ESTADO DE MATO GROSSO
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Prof. Cristiano da Silva dos Anjos ([email protected]) - Data: 05/11/2016
4ª Lista - Plano tangente, aproximações lineares, diferenciais e regra da cadeia
(Ver respostas dos exercícios em STEWART, 2013, vol. 2, 7ª Edição: Cap.14.5 e 14.4)
1. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
a) 𝑧 = 3𝑦 2 − 2𝑥 2 + 𝑥, (2, −1, −3)
b) 𝑧 = 3(𝑥 − 1)2 + 2(𝑦 + 3)2 + 7, (2, −2, 12)
c) 𝑧 = ln(𝑥 − 2𝑦), (3, 1, 0)
d) 𝑧 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦), (−1, 1, 0)
2. Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥𝑦 cos 𝜋𝑦 em (1,1) e use-a para
aproximar o número f (1.02, 0.97). Use um recurso computacional para traçar o gráfico de f e do
plano tangente.
3. Teoria: (a) qual o significado geométrico da linearização de uma função de duas variáveis, em
um ponto (a,b)? (ver pág. 823-825); (a) Quais as condições necessárias e suficientes para que uma
função de duas variáveis seja diferenciável em um ponto (a,b)? (Ver apostila: definição 7 e teorema
8, pág. 826) (b) Defina Diferencial (pág. 827).
4. Se 𝑧 = 5𝑥 2 + 𝑦 2 𝑒 (𝑥, 𝑦) varia de (1,2) 𝑎 (1.05, 2.1), compare os valores de ∆𝑧 𝑒 𝑑𝑧.
5. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x,y)
da função naquele ponto.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥𝑦 − 5), (2, 3)
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 4 , ( 1, 1)
𝑥
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦 , (2, 1)
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑒 4𝑦 , (3, 0)
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −𝑥𝑦 cos(𝑦), (𝜋, 0)
𝑥
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑦), (0, 3)
6. Determine a diferencial da função.
a) 𝑧 = 𝑒 −2𝑥 cos(2𝜋𝑡)
b) 𝑀 = 𝑝5 𝑞 3
c) 𝑢 = √𝑥 2 + 3𝑦 2
7. O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm,
respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1 cm. Utilize as diferenciais para estimar
o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
8. A função
foi representada em um gráfico na figura ao lado.
Mostre que fx (0, 0) e fy (0, 0) existem, mas f não é
diferenciável em (0, 0).
(b) Explique por que fx e fy não são contínuas em (0, 0).
9. Use a regra da Cadeia para achar
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑜𝑢
𝑑𝑤
𝑑𝑡
:
a) 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦,
b) 𝑧 = cos(𝑥 + 4𝑦),
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑦 = 𝑒 𝑡
1
𝑥 = 5𝑡 4 , 𝑦 = 𝑡
c) 𝑧 = √1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 ,
𝑥 = ln 𝑡,
𝑦 = cos(𝑡)
𝑦
𝑧
d) 𝑤 = 𝑥𝑒 , 𝑥 = 𝑡 2 ,
𝑥 = 𝑡 2 , 𝑦 = 1 − 𝑡, 𝑧 = 1 + 2𝑡
e) 𝑤 = 𝑙𝑛√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) , 𝑦 = cos(𝑡) , 𝑧 = 𝑡𝑔 (𝑡)
 z   z 
10. Use a regra da Cadeia para achar   e  ,
 s   t 
a)
b)
c)
d)
𝑧 = 𝑥2𝑦3,
𝑥 = 𝑠 cos(𝑡), 𝑦 = 𝑠 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑦), 𝑥 = 𝑠 2 + 𝑡 2 , 𝑦 = 1 − 2𝑠𝑡
𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) cos (𝑦) , 𝑥 = 𝑠𝑡 2 , 𝑦 = 𝑠 2 𝑡
𝑠
𝑡
𝑧 = 𝑒 𝑥+2𝑦 , 𝑥 = 𝑡 , 𝑦 = 𝑠
e) 𝑧 = 𝑒 𝑟 cos(Ө), 𝑟 = 𝑠𝑡, Ө = √𝑠 2 + 𝑡 2
𝑢
f) 𝑧 = 𝑡𝑔 (𝑣 ) , 𝑢 = 2𝑠 + 3𝑡, 𝑣 = 3𝑠 − 2𝑡
11. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
12. Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), onde 𝑥 = 𝑠 + 𝑡 𝑒 𝑦 = 𝑠 − 𝑡, mostre que
2
z z
 z   z 
.
     
s t
 x   y 
Ver exemplos resolvidos na apostila. pág. 834 -835
2
13. Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), onde 𝑥 = 𝑟 cos Ө 𝑒 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 Ө:
z
z
a) Determine
e
;
r

2
1  z 
 z   z 
 z 
b) Mostre que:          2  
r   
 x   y 
 r 
14. A temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de
1
modo que sua posição após t segundos é dada por 𝑥 = √1 + 𝑡, 𝑦 = 2 + 3 𝑡, onde x e y são medidos
em centímetros. A função da temperatura satisfaz 𝑇𝑥 (2, 3) = 4 e 𝑇𝑦 (2, 3) = 3. Quão rápido a
temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
2
2
2
15. O comprimento L, a largura W e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um
determinado momento, as dimensões são 𝐿 = 1𝑚 𝑒 𝑤 = ℎ = 2𝑚, 𝐿 𝑒 𝑤 , L e w estão aumentando
em uma taxa de 2 m/s enquanto h está decrescendo em uma taxa de 3 m/s. Nesse instante, encontre
as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
a) O volume;
b) A área da superfície;
c) O comprimento da diagonal;
16. Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor de toda essa produção em
milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas
𝑃(𝐿, 𝐾) = 1,47𝐿0,65 𝐾 0,35
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de
dólares). Suponha que quando L =30 e K= 8, a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa
de 2.000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de $ 500.000 por
ano. Encontre a taxa de variação da produção.
17. A velocidade da propagação do som através do oceano com salinidade de 35 partes por milhar
foi modelada pela equação
𝐶 = 1449,2 + 4,6𝑇 − 0,55𝑇 2 + 0,00029𝑇 3 + 0,016𝐷
onde C é a velocidade do som (em metros por segundo), T é a temperatura (em graus Celsius) e D
é a profundidade abaixo do nível do mar (em metros). Um mergulhador começa um mergulho
tranquilo nas águas oceânicas, e a profundidade do mergulho e a temperatura da água ao redor são
registradas nos gráficos a seguir. Estime a taxa de variação (em relação ao tempo) da velocidade do
som através do oceano experimentada pelo mergulhador 20 minutos depois do início do mergulho.
Quais são as unidades?