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83 - MATEMÁTICA APLICADA À
GESTÃO
15-05-2000
Enunciado de Exame
PARA A RESOLUÇÃO DO EXAME, ACONSELHA-SE QUE
LEIA ATENTAMENTE
• Esta prova é constituída por 7 questões dispostas em 14 páginas, todas elas
numeradas.
O aluno deve verificar se o exemplar que lhe foi distribuído está completo e
termina com a palavra FIM.
• Caso o enunciado esteja incompleto ou apresente qualquer outra deficiência o
aluno deve dirigir-se ao professor vigilante.
• A cotação global do exame é de 20 valores, tendo a seguinte distribuição:
1.- 2 valores
2.- 4.5 valores
3.- 2 valores
4.- 4 valores
5.- 2.5 valores
6.- 3 valores
7.- 2 valores
• É permitida a utilização de máquina de calcular.
• Tem 150 minutos para resolver este teste.
1. Considere os subconjuntos de R,


A = x : x2  2  2
e


B = x : 4x 2  1  0
a) Relativamente a A e B indique, se existirem em R, o supremo, o ínfimo, o
máximo e o mínimo.
b) Mostre que A  B é um conjunto fechado.
1
(Espaço de resposta à pergunta 1.)
2
2. Estude a natureza das seguintes séries:
n2

(i)
 (n  1)!
n 1

(ii)

n 1
e
4  (1) 
n n
4  n2 2
(iii)  (1) .
.2
n!
n 1

n
n
3
(Espaço de resposta à pergunta 2.)
4
3.

a) Demonstre que, se
 un
n 1
com u n >0 é convergente, então a série
n2
. u n também é convergente.
n
n 1


b) Considere a série de funções:

1
1

, x  0, c , c  R
x  1 n  2 ( x  n  1)( x  n )
Determine Sn (x) , função soma parcial de ordem n.
5
(Espaço de resposta à pergunta 3.)
6
4.
a) Seja f uma função real de variável real definida num intervalo  c, c, c  R .
Mostre que g(x)=f(x)+f(-x) é uma função par.
b) Proceda ao estudo completo da função real de variável real , f ( x ) 
apresente um esboço do respectivo gráfico
7
x2  4
,e
x2 1
(Espaço de resposta à pergunta 4.)
8
5. Seja f(x) uma função real contínua e diferenciável em 1, e tal que existe
lim f ( x ).
x  
2
Suponha que f (n )  (1) n . , n  R .
n
a) Prove que a equação f ' ( x )  0 tem infinitas soluções.
b) Determine lim f ( x ).
x  
9
(Espaço de resposta à pergunta 5.)
10
6. Calcule as primitivas das seguintes funções:
a) g ( x ) 
2x  1
, x  1
( x  1) 2
b) h ( x ) 
1 x
, x  1,
x
11
(Espaço de resposta à pergunta 6.)
12
7. Seja f : 0,  R uma função contínua e estritamente crescente. Considere para
x  R que:
x 2 3
g( x ) 

f ( t ) dt
x2
a) Diga qual é o domínio de diferenciabilidade de g e calcule a expressão da sua
derivada.
b) Indique os intervalos de monotonia e os extremos de g.
13
(Espaço de resposta à pergunta 7.)
14
FIM
15