Descritores 3.1. Identificar, dado um referencial cartesiano, uma

4
Planificação semanal
Funções
22.a semana
127.ª a 130.ª aulas
Sumário
Assíntotas ao gráfico de uma função
Descritores
3.1.
Identificar, dado um referencial cartesiano, uma função real de variável real f e a  , a reta de
equação x = a como “assíntota vertical ao gráfico de f ” quando pelo menos um dos limites laterais
de f no ponto a for infinito.
3.2.
Designar, dada uma função real de variável real f e um referencial cartesiano, a reta de equação
y  mx  b (m, b  ) por “assíntota ao gráfico de f em  ” (respetivamente por “assíntota ao
gráfico de f em  ”) se lim  f  x    mx  b    0 (respetivamente se lim  f  x    mx  b    0 ) e
x 
x 
designá-la, quando m = 0 , por “assíntota horizontal”.
3.3.
Provar, dada uma função real de variável real f , que a condição lim
x 
f  x
 m (respetivamente
x
f  x
 m ) é necessária (mas não suficiente) para que exista uma reta de declive m que seja
x 
x
assíntota ao gráfico de f em  (respetivamente  ).
lim
4.5.
+Resolver problemas envolvendo a determinação de assíntotas ao gráfico de funções racionais e de
funções definidas pelo radical de uma função racional.
Recursos didáticos
• Manual
Páginas 38 a 47 da parte 2 e correspondente resolução no Máximo nas Resoluções
• Caderno de Fichas
Ficha para praticar 17 e correspondentes resoluções no Máximo nas Resoluções
• Máximo do Professor
Miniteste 4.3. e questão-aula 4.3. e correspondentes resoluções
Caderno de Apoio:
Descritor 4.5. – exercícios 1 e 2 – e correspondentes resoluções
• Recursos do e-Manual
Tutoriais: Exercícios 8.6., 9.3., 10 e 39 resolvidos
Animações da Escola Virtual
Assíntota vertical
Assíntota não vertical
Sugestões metodológicas
• Iniciar a aula com a atividade inicial 2.
• Definir assíntota vertical ao gráfico de uma função.
• Definir assíntotas não verticais ao gráfico de uma função.
• Resolver as questões 1 a 12 das páginas 40 a 47.
• Acompanhar a resolução dos exercícios 8.6., 9.3., 10 e 39 com os tutoriais presentes no e-Manual.
• Para trabalho de casa, sugerir a resolução das questões 23 a 29 da página 59 das atividades
complementares.
4
Planificação semanal
Funções
24.a semana
139.ª a 142.a aulas
Sumário
Derivada de uma função num ponto
Descritores
5.1.
5.2.
5.3.
Identificar, dada uma função real de variável real f e dois pontos a e b do respetivo domínio, a “taxa
f b  f  a 
média de variação de f entre a e b” como
.
ba
Justificar, dada uma função real de variável real f e dois pontos a e b do respetivo domínio, que o
declive da reta secante ao gráfico de f nos pontos A a , f  a   e B  b , f  b   é igual à taxa média
de variação de f entre a e b.
Identificar, dada uma função real de variável real f e um ponto x0 do respetivo domínio, a “taxa
f  x   f  x0 
instantânea de variação de f no ponto x0 ” como o limite lim
, quando este existe e é
x  x0
x  x0
finito, designá-lo por “derivada de f no ponto x0 ”, representá-lo por “ f   x0  ” e, nesse caso,
5.4.
5.5.
identificar a função f como “diferenciável em x0 ” ou “derivável em x0 ”.
Justificar, dada uma função real de variável real f e um ponto x0 do respetivo domínio, que o limite
f  x0  h   f  x0 
f  x   f  x0 
existe se e somente se o limite lim
existir e que, nesse caso,
lim
x  x0
h

0
x  x0
h
ambos os limites são iguais.
Identificar, dada uma função real de variável real f diferenciável em x0  D f e um referencial
ortonormado, a “reta tangente ao gráfico de f no ponto P0  x0 , f  x0   ” como a reta de declive
f   x0  que passa por P0 e justificar, representando por M  x  , x  D f , o declive da reta secante
ao gráfico de f que passa pelo ponto P0 e pelo ponto P  x , f  x   , que lim M  x   f   x0  .
xx0
Recursos didáticos
• Manual
Páginas 66 a 72 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo nas Resoluções
• Máximo na Tecnologia
Aplicação didática 12: Interpretação geométrica da derivada
• Recurso do e-Manual: Animação da Escola Virtual
Derivada de uma função num ponto
Sugestões metodológicas
• Iniciar a aula com a atividade inicial 3.
• Definir taxa média de variação de uma função e respetiva interpretação geométrica.
• Definir taxa instantânea de variação de uma função e derivada de uma função num ponto.
• Utilizar a aplicação do Máximo na Tecnologia que interpreta geometricamente a derivada de uma função
num ponto.
• Resolver as questões 1 a 8 das páginas 66 a 72.
• Para trabalho de casa, resolver as questões 30 a 34 das atividades complementares da página 95.
4
Planificação semanal
Funções
28.a semana
157.ª a 162.ª aulas
Sumário
Aplicação das derivadas ao estudo de funções.
Descritores
8.1.
Provar, dada uma função real de variável real f com domínio contendo um intervalo I  a , b ,
(a < b), e diferenciável em x0  I , que se f atinge um extremo local em x0 então f   x0   0 e dar
um contraexemplo para a implicação recíproca.
8.2.
Saber, dada uma função real de variável real f contínua em [a , b], (a < b), e diferenciável em ]a , b[
que existe c  a , b tal que f   c  
f b  f  a 
, interpretar geometricamente este resultado e
ba
designá-lo por “Teorema de Lagrange”.
8.3.
Justificar, utilizando o Teorema de Lagrange, que se uma função real de variável real f é contínua
num dado intervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b, diferenciável em ]a , b[ e,
x  a , b , f   x   0 (respetivamente, x  a , b , f   x   0 ), então f é estritamente crescente
(respetivamente estritamente decrescente) no intervalo I .
8.4.
Justificar, utilizando o Teorema de Lagrange, que se uma função real de variável real f é contínua
num dado intervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b, diferenciável em ]a , b[ e
x  a , b , f   x   0 (respetivamente, x  a , b , f   x   0 ), então f é crescente em sentido lato
(respetivamente decrescente em sentido lato) no intervalo I .
8.5.
Justificar que se uma função real de variável real f é contínua num dado intervalo I de extremo
esquerdo a e extremo direito b, diferenciável em ]a , b[ e, x  a , b , f   x   0 , então f é constante
em I .
9.3.
+Resolver problemas envolvendo o estudo de funções reais de variável real, a determinação dos
respetivos intervalos de monotonia, extremos relativos e absolutos.
4
Planificação semanal
Funções
28.a semana
Recursos didáticos
• Manual
Páginas 100 a 110 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo nas Resoluções
• Caderno de Fichas
Ficha para praticar 21 e correspondentes resoluções no Máximo nas Resoluções
• Máximo na Tecnologia
Aplicação didática 13: Teorema de Lagrange: Interpretação geométrica
Aplicação didática 14 : Monotonia de uma função e o sinal da derivada
• Máximo do Professor
Caderno de Apoio:
Descritor 8.2. – exercício 1 – e correspondentes resoluções
Descritor 9.3. – exercícios 1 a 4 – e correspondentes resoluções
• Recursos do e-Manual: Animações da Escola Virtual
Estudo da monotonia e extremos de uma função
Resolução de problemas envolvendo reta tangente
Teorema de Lagrange
Sugestões metodológicas
• Iniciar a aula com a atividade inicial 4.
• Apresentar a propriedade da página 101 do manual.
• Utilizar a aplicação do Máximo na Tecnologia para introduzir o Teorema de Lagrange.
• Utilizar a aplicação do Máximo na Tecnologia para o estudo da monotonia de uma função.
• Resolver questões 1 a 8 das páginas 102 a 110 do manual.
• Para trabalho de casa, sugerir a resolução das questões 19 a 24 das atividades complementares da
página 119.