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CÁLCULO DIFERENCIAL
Definição: Seja f (x) uma f. r. v. r., define-se derivada da função f no
ponto de abcissa a e representa-se por f ′ (a) ao limite,
f ( a + h) − f ( a )
h
h →0
lim
ou
f ( x) − f (a )
.
x−a
x→a
lim
′ existe, diz-se que f é derivável (diferenciável) em a ou que f
Nota: Se f (a)
tem derivada em a.
Definição: Seja f ( x) uma f. r. v. r., define-se derivada à esquerda da
função f no ponto de abcissa a e representa-se por f ′ (a - ) ao limite,
f ( a + h) − f ( a )
h
h →0 −
lim
ou
f ( x) − f (a )
.
−
x
−
a
x→a
lim
Definição: Seja f ( x) uma f. r. v. r., define-se derivada à direita da função
f no ponto de abcissa a e representa-se por f ′ (a + ) ao limite,
f ( a + h) − f ( a )
h
h →0 +
lim
ou
f ( x) − f (a )
.
x−a
x→a +
lim
Teorema: Diz-se que uma função tem derivada no ponto a sse existem e são
iguais as derivadas laterais nesse ponto. O valor comum dessa derivadas é a
derivada da função no ponto.
Exemplo: Calcule, se possível, as seguintes derivadas, no ponto de abcissa
a=0:
a) f ( x) = sen( x) ;
b) f ( x) = 3 x ;
c) f ( x) = 3 x 2 .
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se diferenciável num intervalo ]b, c[ sse é
diferenciável em todos os pontos do intervalo.
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se diferenciável num intervalo [b, c] sse é
diferenciável em todos os pontos do intervalo aberto e diferenciável à direita
de b e à esquerda de c.
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se diferenciável sse é diferenciável em todos
os pontos do seu domínio
Definição: Seja f ( x) uma f. r. v. r., define-se função derivada de f(x) e
representa-se por f ′ (x) , à função de x, definida por todos os pontos onde
existe derivada finita, tal que
f ( x + h) − f ( x )
h
h →0
f ′( x) = lim
ou
f ( x) − f ( x0 )
.
x
−
x
x → x0
0
f ′( x) = lim
Exemplo: Para as seguintes f. r. v. r., calcule a respectiva função derivada.
a) f ( x) = x n ;
b) f ( x) = sen( x) ;
c) f ( x) = e x .
Teorema: Toda a função que admite derivada finita num ponto é contínua
nesse ponto.
Exemplo: Seja f ( x) = x − 1 . Averigúe a existência de continuidade e
diferenciabilidade desta função no ponto de abcissa a=1.
OBSERVAÇÃO: O recíproco deste teorema é FALSO
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Teorema: Sejam f ( x ) e g ( x) duas f. r. v. r. que admitem derivada no
respectivo domínio então:
1. [ f ( x) ± g ( x)]′ = f ′( x) ± g ′( x) ;
2. [ f ( x) ⋅ g ( x)]′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + g ′( x) ⋅ f ( x) ;
′
 f ( x) 
f ′( x) ⋅ g ( x) − g ′( x) ⋅ f ( x)
3. 
.
=

2
(
)
g
x
[g ( x ) ]


Teorema: Sejam f ( x ) e g ( x) duas f. r. v. r. deriváveis no respectivo
domínio. A derivada da função composta h( x) = ( f g )( x) é dada por:
h′( x) = f ′( g ( x) )g ′( x) .
Teorema: Se f ( x ) tiver derivada no seu domínio, então
([ f ( x)]n )′ = n[ f ( x)]n −1 f ′( x) , n racional.
Teorema: Se f ( x ) for uma f. r. v. r. invertível, com derivada finita e não
nula no seu domínio, então a sua inversa é também diferenciável com
derivada dada por:
[ f −1( y)]′= f ′1( x) , com y = f ( x) .