Lista 03 - Prof. Lúcio Fassarella

Cálculo Avançado
Problemas sobre Diferenciação
Prof. Lúcio Fassarella
1. O que são “diferencial ” e “diferenciabilidade”? Como esses conceitos estão relacionados?
2. Sejam f : U ! Rm uma aplicação de…nida num aberto U
Rn e p 2 U . Prove:
(a) Se f é diferenciável em p, então f é contínua em p.
(b) Se f é diferenciável em p, então f possui derivadas direcionais em p e vale:
@u f (p) = dfp (u) ; 8u 2 Rn :
3. Prove pela de…nição que toda aplicação linear é diferenciável, mostrando que sua diferencial num ponto é igual
à própria aplicação.
4. Prove que a seguinte aplicação é conforme (i.e, sua diferencial preserva ângulos), exceto na origem:
f (x; y) = x2
5. Sejam h; i : Rn
a aplicação
y 2 ; 2xy :
Rn ! R o produto-interno canônico e A : Rn ! Rn uma aplicação linear simétrica. De…nda
QA : Rn ! R ; QA (x) = hx; Axi :
6. Prove que QA é diferenciável e calcule sua diferencial num ponto arbitrário p 2 Rn .
7. Prove que a função é contínua, possui derivadas direcionais mas não é diferenciável na origem:
p
f : R2 ! R ; f (x; y) = x2 + y 2 :
8. Prove que a função é descontínua mas possui derivadas parciais na origem:1
f : R2 ! R ; f (x; y) =
xy
x2 +y 2
0
; (x; y) 6= (0; 0)
:
; (x; y) = (0; 0)
9. Prove que a função é descontínua mas possui derivadas direcionais na origem:2
(
x3 y
2
x6 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) :
f : R ! R ; f (x; y) =
0
; (x; y) = (0; 0)
10. Prove que a função é contínua, possui derivadas direcionais mas não é diferenciável na origem:3
(
x2 y
2
x2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) :
f : R ! R ; f (x; y) =
0
; (x; y) = (0; 0)
1 Conclusão:
continuidade não é uma condição necessária para que existam derivadas parciais!
continuidade não é uma condição necessária para que existam derivadas direcionais!
3 Neste caso, o fato de f não ser diferenciável na origem se manifesta na não-linearidade da derivada direcional de f em relação ao vetor
de derivação. Conclusão: continuidade e existência de derivadas direcionais não é uma condição su…ciente para garantir diferenciabilidade!
2 Conclusão:
1
11. Prove que a função é contínua, tem restrições deriváveis sobre retas ou curvas deriváveis, mas não é diferenciável
na origem:4
(
x3
2
x2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) :
f : R ! R ; f (x; y) =
0
; (x; y) = (0; 0)
12. Prove que a função é contínua, possui primeiras derivadas contínuas, mas as segundas derivadas não satisfazem
a identidade de Schwarz na origem:5
(
2
2
xy xx2 +yy2 ; (x; y) 6= (0; 0)
2
f : R ! R ; f (x; y) =
:
0
; (x; y) = (0; 0)
4 Para provar que essa função não é diferenciável na origem, podemos mostrar que ela não satisfaz a regra da cadeia! Conclusão:
‘possuir restrições diferenciáveis ao longo de curvas diferenciáveis’(mesmo combinada com ‘continuidade’) não é condição su…ciente para
garantir ‘diferenciabilidade’! Vale destacar que a ‘continuidade’é equivalente à ‘continuidade ao longo de caminhos contínuos’.
5 Conclusão: continuidade, continuidade das derivadas primeiras e existência das derivadas segundas não são condições su…cientes para
garantir a identidade de Schwarz - em geral, é necessário supor a continuidade das segundas derivadas!
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