Lista de Exercícios 3. - IME-USP

20
1
1.1
Lista de Exerc
cio de MAT0133 (Noturno)
Parte 1
VII- Integrac~
ao
Esboce a regi~ao A limitada pelas curvas y =
2
y = x e encontre a area de A.
Problema 1.1.
x2 + 4x e
Esboce a regi~ao limitada pela parabola y 2 = 2x + 6 e pela
reta y = x 1, decida se e melhor integrar em relaca~o a x ou y e calcule a
area da regi~ao.
Problema 1.2.
O volume de um solido de revoluc~ao obtido pela rotac~ao ao
redor do eixo y da regi~ao limitada por y = 0 e y = f (x) (onde f e positiva e
denida em intervalo [a; b] com a 0) e
Problema 1.3.
V =
Z b
a
2xf (x)dx
(1) Esboce a regi~ao A limitada por y = 2x2 x3 e y = 0 e ache o volume
do solido obtido pela rotac~ao da regi~ao A em torno do eixo y .
(2) Esboce a regi~ao A limitada por y = x e y = x2 e ache o volume do
solido obtido pela rotaca~o da regi~ao A em torno do eixo y .
A capacidade cardaca do coraca~o e o volume de sangue
bombeado pelo corac~ao na aorta por unidade de tempo. A capacidade car possivel
diaca pode ser medida pelo metodo da diluica~o de contraste. E
mostrar que a capacidade cardiaca F pode ser dada por
Problema 1.4.
F = RT
0
1
A
c(t)dt
onde A mede a quantidade de contraste e c(t) e a concentrac~ao de contraste
no tempo t. Suponha que A = 8mg e as concentrac~oes de contrastes, em mg
s~ao modeladas por c(t) = 41 t(12 t) com 0 t 12, onde t e medido em
segundos. Calcule a capacidade cardaca.
Calcule:
Problema 1.5.
(1)
(2)
(3)
(4)
R1
0
x(x2 + 1)3 dx
R =2
0
R3
sin3 (x) cos(x) dx
p
0
x 1 + x dx
1
p2xx
R5
dx
1
Calcule
Problema 1.6.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
R2
1
p
t2 t3 + 1 dx
R1
pyy
3
0
( 2 +2y )
3 +3y 2 +4
R 15
0
w
dw
3
(1+w ) 4
R5
2
jx
R1 p
1
dx
3j dx
jxj
R3
p
x dx
(x + 2) x + 1 dx
0
R 2 x3 +2x2 +x+2
dx
1
R1
0
(x+1)2
sin(x) cos(x) dx
R p
d 3
dx x
R
d x
dx
x
sin(t) dt
1
3+t2
dt
2
(11)
d
dx
(12)
d
dx
R x3
p
t2 + 1 dt
3
1
R tan(x)
2
1
1+t2
dt
Utilizando o teorema do valor medio e o teorema fundamental do C
alculo I prove que se f : [a; b] ! R e contnua ent~ao existe c 2 (a; b)
Rb
tal que a f (x) dx = f (c)(b a)
Problema 1.7.
Problema 1.8.
(1)
(2)
R
R
Calcule:
x exp(x) dx
ln(x) dx
(3) x2 sin(x) dx
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
R
R
R
R
R
R
2x
(x+1)2
dx
tan(x) dx
cos2 (x) dx
sin2 (x) dx
cos3 (x) dx
sin3 (x) dx
Problema 1.9.
(1)
(2)
(3)
(4)
R x exp(x)
R
R
R
(1+x)2
Calcule:
dx
x2 exp(x) dx
t ln(t) dt
exp(x)(x + 1)2 dx
3
(5)
(6)
(7)
(8)
R
R
R
R
x+1
(x+1)2 +4
dx
exp(x) cos(x) dx
x2 exp( x) dx
ln(x+1)
px+1 dx
Esboce a regi~ao limitada pelas curvas dadas. Decida
quando integrar em relaca~o a x ou a y e calcule a area da regi~ao.
Problema 1.10.
(1) y = x + 1, y = 9
(2) y = 12
x2 , x = 1, x = 2:
x2 , y = x2
6
(3) x = 2y 2 , x + y = 1
(4) x = 1
y2 x = y2
1
O atomo de hidrog^enio e composto por um proton no
nucleo e um eletron, que se move ao redor do nucleo. Na teoria qu^antica de
estrutura at^omica sup~oe-se que o eletron n~ao se mova em uma orbita bem
denida. Ao contrario, ele ocupa um estado conhecido como orbital, que
pode ser pensado como uma "nuvem" de carga negativa rodeando o nucleo.
No estado de energia mais baixa, chamado estado fundamental presume-se
que o formato do orbital e uma esfera com nucleo. Essa esfera e descita em
termos da funca~o de densidade de probabilidade
Problema 1.11.
f (r) =
4 2
r exp( 2r=a0 )
a30
com r 0 e onde a0 e o raio de Bohr (a0 = 5; 59 10
P (r ) =
Z r
0
11
m). A integral
f (s)ds
da a probabilidade do eletron ser encontrado dentro da esfera de raio r centrada no nucleo.
4
(1) Calcule limr!1 f (r). Para que valor de r a funca~o f (r) tem seu valor
maximo?
(2) Calcule a probabilidade do eletron estar dentro da esfera de raio 4a0
centrada no nucleo.
1.2
Respostas da Parte 1
Problema 1.1: 83 :
Problema 1.2: 18
Problema 1.3
(1)
16
5
(2)
6
Obs: Problema 1.3 resolvido na Se
c~
ao 6.3 do livro Stewart
Problema 1.4: 19 L=s
Problema 1.5
(1)
15
8
(2)
1
4
(3)
116
15
(4)
16
3
Problema 1.6
p
(1) 29 (27
(2) 2
p
3
2 2)
2
5
(3)
104
5
(4)
29
2
(5)
2
3
(6)
256
15
(7)
11
6
(8) 0
(9)
(10)
p
2
p
sin(x)
2
3+x2
p
(11) 3x2 3 x6 + 1
(12) 1
Problema 1.7: Dena F (x) =
existe c tal que
Rx
a
f (t) dt. Pelo teorema do valor medio
F (b) F (a)
b a
Rb
f (x)dx
= a
b a
F 0 (c) =
Por outro lado, o teorema fundamental do Caculo I implica que
F 0 (c) = f (c)
O resultado segue ent~ao das equaco~es acima.
Problema 1.8
(1) x exp(x)
(2) x ln(x)
(3)
exp(x) + C
x+C
cos(x)x2 + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C
6
2
(4) 2 ln jx + 1j + jx+1
j +C
ln j cos(x)j + C
(5)
(6)
x
(7)
x
2
x)
+ sin(2
+C
4
sin(2x)
4
2
(8) sin(x)
+C
sin3 (x)
3
+C
3
cos(x) + cos3(x) + C
(9)
Problema 1.9:
(x)
(1) exp
+C
1+x
(2) exp(x)(x2
(3) 12 (t2 ln(t)
2x + 2) + C
t +C
1 2
4
(4) exp(x)(x2 + 1) + C
(5)
1
2
ln((x + 1)2 + 4) + C
(6)
1
2
exp(x)(sin(x) + cos(x)) + C
(7)
exp( x)(x2 + 2x + 2) + C
(8) 2(x + 1)1=2 (ln(x + 1)
2) + C
Problema1.10
(1) 19; 5
(2) 72
(3) 9=8
(4) 8=3
Problema 1.11
(1) 0; a0
(2) 1
41 exp( 8)
7