Simulado Discursivo III - ITA

Simulado Discursivo III - ITA
1. Dados dois conjuntos A e B, define-se
A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A)
Prove que dados três conjuntos arbitrários X, Y e Z
X ∩ (Y ∆ Z) = (X ∩ Y) ∆ (X ∩ Z)
2. Seja f uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida por
h : IR2 Æ IR2
(x, y) Æ (x3, x – f (y))
Verifique se h é bijetora e calcule uma relação g, tal que
g o h (x, y) = (x, y)
h o g (x, y) = (x, y),
∀ x, ∀ y ∈ IR
3. Considere os seguintes conjuntos de números complexos:
A = {z ∈ C ⎢ z = 1, Im (z) > 0}
B = {z ∈ C ⎢ Re (z) = 1 , Im (z) > 0}
onde Re (z) e Im (z) são as partes real e imaginária do número complexo z, respectivamente.
2z
pertence a B.
z +1
2z
b) Mostre que cada ω ∈ B pode ser escrito da forma
para algum z ∈ A.
z +1
a) Mostre que para cada z ∈ A, o número
4. Demonstre a identidade
⎛ 3 + cos 4x ⎞
⎟⎟ .
tg2x + ctg2x = 2 ⎜⎜
⎝ 1 − cos 4x ⎠
5. Seja Mn(R) o conjunto de matrizes quadradas de ordem n, de coeficientes reais. Define-se a função,
Ψ : Mn(R) x Mn(R) Æ Mn(R)
Ψ (A,B) = AB – BA
Calcule:
Ψ (Ψ(A,B);C) + Ψ (Ψ(B,C),A) + Ψ(Ψ(C,A),B)
6.
a) Obtenha a expressão para tg 3α em função de tg α = x.
b) Utilize o item anterior para determinar as soluções da equação
x3 – 3mx2 – 3x + m = 0
onde m é um número real dado.
7. Calcule o coeficiente do termo em x3, no desenvolvimento de:
(2x – 3)4(x + 2)5:
8. Determine a equação e o raio do círculo de menor diâmetro, que possue com o círculo
x2 + y2– 8x – 25 = 0 eixo radical y – 2x – 5 = 0.
9. Demonstre que, num triângulo ABC
cotg
A
sen B + sen C
=
2
cos B + cos C
10. Secciona-se um cubo de aresta a por planos passando pelos pontos médios das arestas concorrentes em cada vértice.
Considere o sólido formado ao retirar-se as oito pirâmides obtidas.
Calcule a soma das arestas, a área e o volume deste sólido.
Gabarito:
1.
2.
g : IR 2 → IR 2
( x, y) a g ( x , y) = (3 x , f −1(3 x − y))
3.
4.
5. 0n
6.
a ) tg (3α) =
3tgα − tg 3α
1 − 3tg 2α
⎛1
⎞
b) x = tg ⎜ arctg m ⎟
⎝3
⎠
7. 168
2
8.
2
13 ⎞
36
6⎞ ⎛
⎛
⎜x + ⎟ + ⎜y − ⎟ =
5
5
5
⎝
⎠ ⎝
⎠
9.
10.
2p = 12a 2
S = a 2 (3 + 3 )
5
V = a3
6