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ROSÁRIO LAUREANO
1
PRIMITIVAS
MÉTODOS DE PRIMITIVAÇÃO
––––––––––––––––––––––––––––––––—
––––––––––––––––––––––––––––––––-
Ano letivo: 2013/2014 - 2o Sem.
Turma: GA4
––––––––––––––––––––––––––––––––-
Elaborado por ROSÁRIO LAUREANO
DM — Dpto de Matemática (ISTA)
ROSÁRIO LAUREANO
1
1.1
2
Primitivas (ou antiderivadas)
Primitivas imediatas e quase-imediatas
Seja f uma função real (escalar) na variável real x, f : D ⊆ R → R.
Definição 1 Uma função F (x) é uma primitiva de f (x) (ou uma antiderivada de f(x)), e denota-se por
F (x) = f (x) dx, ou simplesmente, F (x) = P f(x),
se F (x) = f(x) (dx indica a variável de primitivação).
Dado que o cálculo de uma primitiva envolve um processo inverso da
derivação, a primitiva de uma dada função não é única. Vejamos o seguinte
exemplo.
√
Exemplo 2 As funções x3 , x3 + 2 e x3 − 5 são (diferentes) primitivas da
função f (x) = 3x2 pois
√ 3 3
x = x + 2 = x3 − 5 = 3x2 .
Todas estas primitivas da função f (x) = 3x2 diferem por uma constante real
3 + C, com C ∈ R (no 1o caso C = 0, no
e pertencem à família de funções x√
o
o
2 caso C = 2 e no 3 caso C = − 5).
2
2
3
Não devemos escrever
3x dx = x , nem
3x dx = x3 + 2, nem
√
√
2
3x dx = x3 − 5, pois tal levaria às proposições falsas 0 = 2 = − 5.
Na verdade, devemos escrever
2
3x dx = x3 + C [ou ainda, P 3x2 = x3 + C],
para todo C ∈ R (ou seja, ∀C ∈ R), como a expressão geral de todas as
primitivas da função f(x) = 3x2 . Tal expressão é assim x3 + C, qualquer
que seja C ∈ R.
Atendendo à notação da Definição 9, temos F (x) = x3 + C, ∀C ∈ R.
Se soubermos uma condição relativa à função F (x), podemos então calcular
C e obter uma determinada primitiva de f (x). Por exemplo, com F (3) =
10, obtemos 33 + C = 10. Temos então C = 10 − 27 = −17 e obtemos
a primitiva "particular" F (x) = x3 − 17 (aquela que passa no ponto (3, 10)).
ROSÁRIO LAUREANO
3
Se F (x) é uma primitiva de f(x) então também F (x)+C é uma primitiva
de f(x), ∀C ∈ R, pois
[F (x) + C] = F (x) + C = F (x) + 0 = f(x), ∀C ∈ R.
Podemos assim dizer que F (x) + C é a expressão geral das primitivas
de f(x). Assim, todas as primitivas de uma dada função f(x) diferem entre
si por uma constante real C arbitrária.
Exemplo 3 As funções definidas por x + C, com C ∈ R, são as primitivas
da função (constante) f(x) = 1,
1 dx = x + C [ou ainda, P1 = x + C], ∀C ∈ R,
pois
(x + C) = x + C = 1 + 0 = 0.
Exemplo 4 As funções definidas por
x2
+C, com C ∈ R, são as primitivas
2
da função (constante) f(x) = x,
x2
x2
x dx =
+ C [ou ainda, Px =
+ C], ∀C ∈ R,
2
2
pois
x2
+C
2
=
1 2 1
x + C = (2x) + 0 = x.
2
2
Exemplo 5 As funções definidas por sin x + C, com C ∈ R, são as primitivas da função f(x) = cos x,
cos (x) dx = sin (x) + C [ou ainda, P cos x = sin x + C], ∀C ∈ R,
pois
[sin (x) + C] = cos (x) + 0 = cos(x).
Exemplo 6 A família de funções − cos x + C, com C ∈ R, é a família das
primitivas da função f(x) = sin x,
sin (x) dx = − cos (x) + C [ou ainda, P sin x = − cos x + C], ∀C ∈ R,
pois
[− cos (x) + C] = sin (x) + 0 = sin x.
ROSÁRIO LAUREANO
4
Exemplo 7 A família de funções exp (x) + C, com C ∈ R, é a família das
primitivas da função f(x) = exp x,
exp(x)dx = exp(x) + C [ou ainda, P exp x = exp(x) + C], ∀C ∈ R,
pois
[exp(x) + C] = exp x.
Note que usamos a notação exp x com o mesmo significado de ex (exponencial na base de Neper e = 2.7182818284...).
Exemplo 8 A expressão geral das primitivas de f(x) = 1/x é ln |x| + C,
1
1
dx = ln |x| + C [ou ainda, P = ln |x| + C], ∀C ∈ R,
x
x
pois
(ln |x| + C) = 1/x.
O módulo garante, desde logo, que o logaritmo Neperiano (ln) atua sobre
valores positivos (note que x = 0 pelo enunciado), mas verificamos que:
— para x > 0 temos |x| = x, logo
[ln |x| + C] = [ln (x) + C] =
1
1
+0= .
x
x
— para x < 0 temos |x| = −x, logo
[ln |x| + C] = [ln (−x) + C] =
−1
1
+0= .
−x
x
É então válido que, para todo x = 0,
[ln |x| + C] =
1
.
x
Conhecemos as regras de derivação da soma, da diferença e do produto
por uma constante real. São destas regras que resultam as seguintes propriedades operacionais no cálculo de primitivas.
Proposição 9 (Propriedades operacionais da soma, da diferença e
do produto por uma constante) Dadas funções reais f e g na variável
real x e uma constante k ∈ R, são válidas as igualdades
[f (x) ± g(x)] dx = f(x)dx ± g(x)dx
ROSÁRIO LAUREANO
e
5
[k · f (x)] dx = k ·
f(x)dx .
Proof. Das regras de derivação da soma e da diferença
[F (x) ± G(x)] = F (x) ± G (x)
resulta que
F (x) ± G(x) =
F (x) ± G (x) dx.
(1)
Para F (x) = f(x) temos F (x) =
f(x)dx. Para G (x) = g(x) temos
G(x) = g(x)dx. Assim, a igualdade (1) pode ser escrita como
f (x)dx ±
g(x)dx =
[f(x) ± g(x)] dx.
Analogamente, da regra de derivação com uma constante real multiplicativa k,
[k · F (x)] = k · F (x) em que k ∈ R,
resulta que
k · F (x) =
Para
F (x)
= f(x) temos F (x) =
ser escrita como
k·
f(x)dx =
k · F (x) dx.
(2)
f(x)dx. Assim, a igualdade (2) pode
[k · f(x)] dx.
Atendendo às igualdade da Proposição 17, podemos afirmar que a primitiva goza de linearidade, ou seja,
[k · f(x) ± K · g(x)] dx = k · f (x)dx ± K · g(x)dx
para constantes reais k, K ∈ R. Com base nesta propriedade é possível efectuar primitivação por decomposição quando tal for conveniente. Vejamos os seguintes exemplos.
ROSÁRIO LAUREANO
6
Exemplo 10 Considere as seguintes primitivas, em que C1 , C2 , C são números reias arbitrários (∀C1 , C2 , C ∈ R):
[3 + 5 exp(x)] dx = 3 · 1 dx + 5 · exp (x) dx
= 3 · (x + C1 ) + 5 · [exp(x) + C2 ]
= 3 · x + 3 · C1 + 5 · exp(x) + 5 · C2
= 3 · x + 5 · exp(x) + 3 · C1 + 5 · C2
= 3 · x + 5 · exp(x) + C, com C = 3 · C1 + 5 · C2 ,
[sin (x) − 2 cos x] dx =
sin (x) dx − 2 ·
cos (x) dx
= − cos (x) + C1 − 2 · [sin (x) + C2 ]
= − cos (x) − 2 · sin (x) + C1 − 2 · C2
= − cos (x) − 2 · sin (x) + C, com C = C1 − 2 · C2
x
1
1
1
1
+
dx =
· x dx + ·
dx
5 6x
5
6
x
2
1
x
1
=
·
+ C1 + · (ln |x| + C2 )
5
2
6
=
1 x2 1
1
1
·
+ · C1 + · ln |x| + · C2
5 2
5
6
6
=
x2 1
1
1
+ · ln |x| + · C1 + · C2
10 6
5
6
=
x2 1
1
1
+ · ln |x| + C, com C = · C1 + · C2 .
10 6
5
6
ROSÁRIO LAUREANO
7
REGRAS DE PRIMITIVAÇÃO: Dada uma função real de variável
real u = u(x) e uma constante k ∈ R, são válidas as regras seguintes:
•
k dx = k · x + C , ∀C ∈ R
•
u
dx = ln |u| + C , ∀C ∈ R
u
•
(uα · u ) dx =
uα+1
+C
α+1
•
(au · u ) dx =
au
+C
ln a
— Em particular,
•
•
com a ∈ R+ \ {1}, ∀C ∈ R
(u · exp u) dx = exp(u) + C , ∀C ∈ R
u
u
1
dx
=
arctan
+ C , ∀C ∈ R
a2 + u2
a
a
— Em particular,
com α ∈ Q \ {−1}, ∀C ∈ R
u
dx = arctan (u) + C , ∀C ∈ R
1 + u2
u
u
√
+ C , ∀C ∈ R
dx = arcsin
a
a2 − u2
— Em particular,
u
√
dx = arcsin (u) + C , ∀C ∈ R
1 − u2
•
(u · sin u) dx = − cos (u) + C , ∀C ∈ R
•
(u · cos u) dx = sin (u) + C , ∀C ∈ R
•
u · sec2 u dx =
u
dx = tan (u) + C , ∀C ∈ R
cos2 u
ROSÁRIO LAUREANO
•
•
•
u · csc2 u dx =
8
u
dx = − cot (u) + C , ∀C ∈ R
sin2 u
(u · sec u) dx = ln |sec (u) + tan u| + C , ∀C ∈ R
(u · csc u) dx = ln |csc (u) − cot u| + C , ∀C ∈ R
Exemplo 11 Considere as seguintes primitivas, em que C1 , C2 , C são números reias arbitrários (para quaisquer C1 , C2 , C ∈ R)
1 3
2
2
x + C2
7 + x dx = 7 1 dx + x dx = (7x + C1 ) +
3
1
1
= 7x + x3 + C1 + C2 = 7x + x3 + C ,
3
3
C1 +C2
−2+1
5
1
x
−2
+ C1
dx = 5·
dx = 5· x dx = 5 ·
x2
x2
−2 + 1
−1
x
5
5
= 5·
+ C1 = − + 5 · C1 = − + C ,
−1
x
x
5·C1
x
x
sin (2x) + cos
dx =
sin (2x) dx + cos
dx
3
3
1
1
1
=
· 2 · sin (2x) dx + 3 ·
· cos
· x dx
2
3
3
1
1
=
· [− cos (2x) + C1 ] + 3 · sin
· x + C2
2
3
x 1
1
= − · cos (2x) + 3 · sin
+ · C1 + 3 · C2
2
3
2
x
1
= − · cos (2x) + 3 · sin
+ C
.
2
3
1
·C1 +3·C2
2
ROSÁRIO LAUREANO
1.2
9
Exercícios propostos
1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
(a) f(x) = 5x6 +
(b) f(x) =
3
4
+
x2 x
(3x − 1)2
3x
√
(x + x)2
(c) f(x) =
x5
(d) f(x) = x(x2 + 2)3
(e) [TA] f(x) =
√
√
3
x2 + 2 5 x
(f) [TA] f(x) = (8 − 3x)
√
5
8 − 3x
(g) [TA] f(x) = (x + 1)15
x3
(h) [TA] f(x) = √
5
3 − x4
2. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
(a) f (x) =
3x
1 + x2
(b) f (x) =
3
1 + x2
(c) f (x) =
3
4 + x2
(d) f (x) =
3x2
1 + x2
ROSÁRIO LAUREANO
(e) f (x) =
10
3
(1 + x)2
3. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
5x
(a) f (x) = √
1 − x2
5
(b) f (x) = √
1 − x2
5
(c) f (x) = √
4 − x2
5
(d) [TA] f(x) = √
16 − 9x2
1
(e) f (x) = 2 − (x − 3)2
1
(f) f(x) = √
2
−x + 2x + 3
4. Prove as seguintes igualdades [note que as alíneas 2.c) e 3.c) d) são
casos particulares do que é proposto neste exercício]:
1
1
b
(a)
dx
=
arctan
x + C, ∀C ∈ R;
a2 + b2 x2
ab
a
(b)
1
1
b
√
dx = arcsin
x + C, ∀C ∈ R.
b
a
a2 − b2 x2
5. [TA] Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das
seguintes funções:
x2
(a) f (x) = √
1 − x6
x5
(b) f (x) = √
1 − x6
ROSÁRIO LAUREANO
11
6. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
(a) f(x) = 5x exp x2
(b) f(x) =
exp (1/x)
x2
(c) f (x) = exp [2 sin (x) cos x] cos (2x)
(d) [TA] f(x) =
1
exp(−x) (1 + 4 exp x)
exp (6x)
(e) [TA] f(x) = 1 − exp (6x)
(f) [TA] f(x) = (1 + exp x)2
(g) [TA] f(x) =
exp tan x
cos2 x
7. [TA] Seja v(x) = exp (2x). Determine a expressão geral das primitivas
das funções
f (x) =
v(x)
,
1 + exp (4x)
g(x) =
v(x)
2 − v(x)
e
h(x) =
v(x) − 1
.
exp x
8. [TA] Seja w(x) = ln x. Determine a expressão geral das primitivas
das funções
3
w(x) + sin w(x)
1
1
f (x) =
, h(x) =
e
j(x)
=
.
x · w(x)
x(3 + w2 (x))
x
9. [TA] Considere q(x) =
vas das funções
f (x) =
√
x. Determine a expressão geral das primiti-
1
1
√
, g(x) =
(1
+
x)q(x)
q(x) 1 − x
e h(x) =
1
.
q(x) 1 + q(x)
10. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
ROSÁRIO LAUREANO
12
(a) f(x) = x2 cos x3
(b) f(x) = tan (3x)
(c) f(x) = cot(5x − 7)
(d) f(x) =
cos (5x)
sin (5x)
(e) [TA] f(x) = x sin
x2
3
(f) [TA] f(x) = sin3 (x) cos x
(g) [TA] f(x) =
sin x
cos4 x
(h) [TA] f(x) =
sin (x) + cos x
sin3 x
cos x
(i) [TA] f(x) = √
3
sin2 x
11. Prove as seguintes igualdades (p ∈ Q, p = −1) [note que as alíneas
10.f) - i) são casos particulares do que é proposto neste exercício]
1
(a)
[sinp (x) cos x] dx =
sinp+1 (x) + C, ∀C ∈ R;
p+1
(b)
[cosp (x) sin x] dx = −
1
cosp+1 (x) + C, ∀C ∈ R.
p+1
12. [TA] Considere as funções
f (x) = sin3 x,
g(x) = cos4 x,
h(x) = cos5 x
e
j(x) = sin2 (3x)
definidas por potências (pares ou ímpares) de seno ou de coseno. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma destas funções.
13. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
ROSÁRIO LAUREANO
13
(a) f(x) = x tan x2
(b) f(x) = sec2 (7x)
(c) f(x) =
sec2 x
tan5 x
(d) [TA] f(x) = tan
x
2
sec2
x
2
(e) [TA] f(x) =
1
[2 + 3 tan (5x)] cos2 (5x)
(f) [TA] f(x) =
2 arctan3 x
1 + x2
(g) [TA] f(x) =
x + arcsin x
√
1 − x2
(h) [TA] f(x) =
cos x
1 + sin2 x
(i) [TA] f(x) =
cos (2x)
1 + sin (x) cos x
14. [TA] Seja j(x) = sin (2x) . Determine a expressão geral das primitivas
das funções
f(x) =
j(x)
,
1 + cos2 x
g(x) =
j(x)
1 + cos4 x
e h(x) =
15. Determine a expressão geral das primitivas da função
f(x) =
16. [TA] Seja
f(x)dx = 5 −
ser definida pela expressão:
A f(x) = 2 + exp x
1
B f(x) =
2 + exp x
C f (x) = 2 exp(−x)
j(x)
2 .
sin x
cos2
1
.
x ln (x) ln(ln x)
1
ln [1 + 2 exp(−x)]. A função f(x) pode
2
ROSÁRIO LAUREANO
14
17. [TA] A expressão geral das primitivas da função
cos x
f (x) = + 2 exp(−x)
1 − sin2 x
é:
1 − sin2 x − 2 exp(−x) + C, ∀C ∈ R
B
1 − sin2 x + 2 exp(x) + C, ∀C ∈ R
A
C x − 2 exp(−x) + C, ∀C ∈ R
18. A expressão geral das primitivas da função
3 cos x
f (x) = 3 exp(−x) + 1 − sin2 x
é:
A 3 1 − sin2 x − 3 exp(−x) + C, ∀C ∈ R
B 3x − 3 exp(−x) + C, ∀C ∈ R
C 3 1 − sin2 x + 3 exp(x) + C, ∀C ∈ R
19. Seja
f (x)dx = 3 − ln [1 + 3 exp(−x)]. A função f (x) pode ser
definida pela expressão:
3
A f(x) =
3 + exp x
B
f (x) = 3 exp(−x)
C f (x) = 3 exp x
ln2 x
− 4 cos x2 + 2 uma primitiva de certa função
2
f(x). A função f(x) pode ser definida pela expressão:
ln x
+ 8x sin x2
A f(x) =
x
1
B f (x) =
+ 8x sin x2
x ln x
C f (x) = x ln (x) − 4 cos x2
20. [TA] Seja g(x) =
ROSÁRIO LAUREANO
15
21. A expressão geral das primitivas da função
é:
cos x
f(x) = + exp(−x)
1 − sin2 x
A x − exp(−x) + C, ∀C ∈ R
B
1 − sin2 x − exp(−x) + C, ∀C ∈ R
C x + exp(−x) + C, ∀C ∈ R
ln2 x
− 4 cos x2 + 2 uma primitiva de certa função f(x).
2
A função f (x) pode ser definida pela expressão:
1
A f(x) =
+ 8x sin x2
x ln x
ln x
B f(x) =
+ 8x sin x2
x
C f (x) = x ln (x) − 4 cos x2
√
1
23. [TA] Sabendo que
f (x)dx = sin x3 +2 arctan ( x)+3, a função
3
f(x) pode ser definida pela expressão:
√
x
A f(x) =
+ x2 cos x3
1+x
1
B f(x) =
+ cos x3
1+x
1
√ + x2 cos x3
C f (x) =
(1 + x) x
22. Seja g(x) =
24. [TA] A expressão geral das primitivas da função
f(x) =
é:
4x
1
−
x2 + 1 x2
A 4 ln x2 + 1 − ln x2 + C, ∀C ∈ R
1
B 2 ln x2 + 1 + + C, ∀C ∈ R
x
1
C 2 arctan (x) + + C, ∀C ∈ R
x
ROSÁRIO LAUREANO
16
√
1
f(x)dx = 2 arctan ( x) + sin x3 + 4, a função f(x)
3
pode ser definida pela expressão:
1
+ cos x3
A f(x) =
1+x
√
x
B f (x) =
+ x2 cos x3
1+x
1
√ + x2 cos x3
C f (x) =
(1 + x) x
25. Sabendo que
2x
1
26. A expressão geral das primitivas da função f (x) = 2
+ 2 é:
x +1 x
2
2
A 2 ln x + 1 + ln x + C, ∀C ∈ R
1
B arctan (x) − + C, ∀C ∈ R
x
2
1
C ln x + 1 − + C, ∀C ∈ R
x
1.3
Primitivas de funções racionais
Definição 12 Uma função diz-se racional se é o quociente de funções polinomiais, ou seja, se é uma fração de polinómios.
Exemplo 13 São racionais as funções
f (x) =
2x
,
2
x +1
g(x) =
x3 + 5
x+3
e
h(x) =
10x
.
x+5
Considere a função racional
f (x) =
N (x)
,
D (x)
em que os polinómios N (x) (polinómio numerador) e D (x) (polinómio denominador) são polinómios na variável x (N (x) ≡polinómio numerador;
D (x) ≡polinómio denominador). A função racional f (x) diz-se própria se
N (x) tem grau inferior a D (x). Caso contrário (i.e, se N (x) tem grau
superior ou igual a D (x)), a função racional f(x) diz-se não-própria.
ROSÁRIO LAUREANO
17
Exemplo 14 Temos a seguinte classificação das funções racionais do Exemplo 21:
f(x) — própria,
porque grau(2x) = 1 < 2 =grau x2 + 1 , e
g(x) e h(x) — não-próprias
porque grau(x3 + 5) = 3 > 1 =grau(x + 3) e grau(10x) = 3 =grau(x + 5) .
Relativamente ao cálculo das primitivas de uma função racional f (x), há
que considerar os seguintes procedimentos iniciais (apenas se a primitivação
não for imediata pelas regras de primitivação):
FUNÇÕES PRÓPRIAS Quando a função racional f (x) é própria,
1. determinam-se as raízes do polinómio denominador D (x).
2. procede-se à decomposição de D (x) em factores de grau 1 se as
suas raízes forem reais, e/ou em factores de grau 2 (factores que
são somas de quadrados) se as suas raízes forem complexas (neste
caso são pares de raizes conjugadas).
3. fazem-se corresponder frações simples às raizes encontradas para
D(x) do seguinte modo:
(a) A cada raíz real α de multiplicidade k fazem-se corresponder
k frações simples do tipo
A1
(x − α)
k
,
A2
k−1
(x − α)
, ... ,
Ak−1
Ak
2 e x − α,
(x − α)
(b) a cada par de raízes complexas a ± bi de multiplicidade k
também se fazem corresponder k frações simples do tipo
A1 x + B1
A2 x + B2
Ak−1 x + Bk−1
Ak x + Bk
.
2 e
k , k−1 , ..., (x − a)2 + b2
(x − a)2 + b2
(x − a)2 + b2
(x − a)2 + b2
As constantes presentes Ai e Bi presentes nos numeradores
das frações simples de 3.(a)e 3.(b) são calculadas pelo Método
dos Coeficientes Indeterminados ou por outros métodos conhecidos (por exemplo, o método de Taylor também conhecido
por "método do tapa").
ROSÁRIO LAUREANO
18
4. Procede-se ao cálculo da primitiva de f(x) efectuando primitivação por decomposição. De notar que as frações simples em
3.(a)e 3.(b) são fáceis de primitivar pelas regras de primitivação
usuais.
FUNÇÕES IMPRÓPRIAS Quando a função racional f (x) é imprópria,
1. procede-se à divisão do polinómio N (x) pelo polinómio D (x),
obtendo-se um polinómio quociente Q(x) (chamada parte inteira
de f(x)) e um polinómio resto R(x) com grau inferior ao grau de
D(x) (isto é, grau(R(x))<grau(D (x)). Temos então
de que resulta
f(x) =
N(x) = D(x) · Q(x) + R(x)
N(x)
D(x) · Q(x) + R(x)
D(x) · Q(x) R(x)
=
=
+
,
D(x)
D(x)
D(x)
D(x)
ou seja,
R(x)
D(x)
Como R(x) tem necessariamente grau inferior a D(x), pois é esse
o critério para considerar terminada a divisão de N (x) por D (x),
a nova função racional R(x)/D(x) é própria.
2. procede-se então conforme o indicado nos pontos 2., 3. e 4. para
funções próprias.
f (x) = Q(x) +
Há casos em que a divisão dos polinómios (em funções não-próprias)
pode ser evitada por pequenos "truques" operacionais. Vejamos os seguintes
exemplos.
Exemplo 15 Considere as seguintes operações válidas em frações:
f(x) =
g(x) =
x−1
x+2−3
x+2
−3
3
=
=
+
=1−
x+2
x+2
x+2 x+2
x+2
x+2+x−3
x+2 x−3
2x − 1
=
=
+
x+2
x+2
x+2 x+2
= 1+
x−3
x+2−5
x+2
−5
=1+
=1+
+
x+2
x+2
x+2 x+2
= 1+1−
5
5
=2−
x+2
x+2
ROSÁRIO LAUREANO
h(x) =
u(x) =
19
x2 − 1
x2 + 2 − 3
x2 + 2
−3
3
=
=
+
=1− 2
x2 + 2
x2 + 2
x2 + 2 x2 + 2
x +2
x2 + 2x + 1
x (x + 2) + 1
x (x + 2)
1
1
=
=
+
=x+
x+2
x+2
x+2
x+2
x+2
v(x) =
x2 + x + 1
x2 + 2x − x + 1
x (x + 2) − x + 1
=
=
x+2
x+2
x+2
x (x + 2) −x + 1
x−1
x+2−3
+
=x−
=x−
x+2
x+2
x+2
x+2
−3
−3
3
x+2
+
=x−1−
=x−1+
.
= x−
x+2 x+2
x+2
x+2
=
Contudo, para a maioria destas funções é mais fácil recorrer à divisão dos
polinómios obtendo-se (obviamente) os mesmos resultados finais (e num só
passo, exceptuando o caso da função v(x)). Confirme os resultados obtidos
mas recoorendo à divisão.
1.4
Exercícios propostos
1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções racionais:
(a) f(x) =
x2 + 1
x3 + 3x
(b) [TA] f(x) =
(c) f(x) =
x2
x+4
+ 8x + 7
x5
1 + x6
(d) [TA] f(x) =
(e) [TA] f(x) =
x
+1
3x4
x2
1
+2
ROSÁRIO LAUREANO
20
2. [TA] Considere os polinómios de grau 2
d1 (x) = x2 + 6x + 9, d2 (x) = x2 + 6x + 8 e d3 (x) = x2 + 6x + 10.
(a) Averigue a possibilidade de factorizar cada um dos polinómios
anteriores em polinómios de grau 1.
(b) Determine a expressão geral das primitivas das funções racionais
f(x) =
1
,
d1 (x)
g(x) =
1
d2 (x)
e
h(x) =
1
.
d3 (x)
(c) Determine a expressão geral das primitivas das funções racionais
j(x) =
x+1
,
d1 (x)
k(x) =
x+1
d2 (x)
e
l(x) =
x+1
.
d3 (x)
3. [TA] Escreva cada uma das funções racionais
f(x) =
x4 + x2 + 5
x3 + 2x2 + x
e
g(x) =
2x3 + 2
8x + 6x2 + x3
com base numa fracção própria e, de seguida, determine a expressão
geral das suas primitivas.
4. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções racionais:
(a) f(x) =
2x + 1
x3 + 6x2 + 10x
(b) f(x) =
x2 − x + 14
(x − 4)3 (x − 2)
(c) [TA] f(x) =
(d) [TA] f(x) =
(x2
x4
3
− 4)2
x
−1
5. [TA] Sabendo que 2 é raíz do denominador da função racional
f(x) =
x3
− 6x2
x
,
+ 12x − 8
determine a expressão geral das primitivas da função f.
ROSÁRIO LAUREANO
21
6. [TA] Mostre que
F (x) = −
1
1
1
2 − x−2 + 4
(x − 2)
é a primitiva de
f(x) =
que passa no ponto (0, 1/2).
1.5
1.5.1
x
(x − 2)3
Métodos de primitivação (por partes e por substituição)
Primitivação por partes
Dadas funções reais de variável real f(x) e g(x), é valida a regra operacional de derivação do produto
(f · g) = f · g + f · g .
Então
f · g + f · g dx = f · g + C.
Esta igualdade é equivalente a
f · g dx = f · g + C,
f · g dx +
ou ainda a
f · g dx = f · g −
Temos então a igualdade com primitivas
(f · g) dx = f · g −
f · g dx + C.
(f · g ) dx .
(3)
A fórmula (3) justifica o método de primitivação por partes que é
efectivamente útil nos casos em que o produto f ·g é mais difícil de primitivar
do que o produto (original) f´· g.
Quando pretendemos aplicar o método de primitivação por partes a um
produto f ·g de funções (que não possa ser visto como primitiva imediata ou
quase-imediata), escolhe-se uma das funções para primitivar (f ) e a outra
ROSÁRIO LAUREANO
22
para derivar (g). Há que escolher f como algo que se sabe primitivar (para
obter facilmente f), tendo em conta que a derivada g de g é sempre fácil de
obter. Conforme já foi referido, esta escolha deve ainda cumprir o objectivo
de encontrar em
(f · g ) dx uma primitiva imediata ou quase-imediata.
Exemplo 16 Pretendemos calcular a primitiva
(x ln x) dx. Tomando
f = x e g = ln x há que calcular
x2
f = f dx = x dx =
2
e
1
.
x
Pela fórmula de primitivação por partes (3) obtemos
2
x2
x 1
x2
1
(x · ln x) dx =
· ln x −
·
dx =
· ln x − · x dx
2
2 x
2
2
x2
1
x2
x2
x2
=
· ln x − ·
+ C1 =
· ln x −
+ C,
2
2
2
2
4
g = (ln x) =
1
com C = − · C1 ∈ R.
2
Exemplo 17 Pretendemos calcular a primitiva
2
x exp x dx. Tomando
f = exp x e g = x2 há que calcular
f=
f dx = exp (x) dx = exp x
e
g = x2 = 2x.
Pela fórmula de primitivação por partes (3) obtemos
2
2
x · exp x dx = exp (x) · x − [exp (x) · (2x)] dx
2
= exp (x) · x − 2 ·
[exp (x) · x] dx.
ROSÁRIO LAUREANO
Notemos que
23
[exp (x) · x] dx ainda não é uma primitiva imediata. Con-
tudo, conseguimos baixar o grau do polinómio que faz produto com a exponencial exp x. É então necessário proceder de novo à aplicação do método
de primitivação por partes, tomando de novo f = exp x e agora g = x.
Temos f = exp x e g = 1 logo
2
x · exp x dx = exp (x) · x2 − 2 · [exp (x) · x] dx
= exp (x) · x − 2 · exp (x) · x − (exp (x) · 1) dx
2
= exp (x) · x2 − 2 · [exp (x) · x − exp (x) − C1 ]
com C = 2 · C1 ∈ R.
= exp (x) · x2 − 2x + 2 + C,
A tabela seguinte fornece algumas sugestões para uma escolha adequada
de f´e de g (note que em muitos casos p(x) é um polinómio):
(f · g)
p (x) · exp x
p (x) · sin x
p (x) · cos x
p (x) · tan x
p (x) · cot x
f
exp x
sin x
cos x
tan x
cot x
p (x) · arctan x
p (x) · arccot x
p(x)
ln x
p (x) · ln x
p (x) · arcsin x
p (x) · arccos x
g
p(x)
arcsin x
arccos x
arctan x
arccot x
Notemos que não decorrem das regras de derivação quaisquer regras
de primitivação para as funções inversas ln, arcsin, arccos, arctan e arccot.
Como tal, estas funções são, em geral, escolhidas como função g, sobre a qual
ROSÁRIO LAUREANO
24
apenas é necessário derivar. Já para as respectivas funções directas exp, sin,
cos, tan e cot são conhecidas algumas regras elementares de primitivação, e
temos em vista aplicá-las sempre que possível.
1.5.2
Primitivação por substituição (ou por mudança de variável)
Para determinar a expressão geral das primitivas F (x) de uma função
f (x),
F (x) = f (x) dx
pode ser conveniente substituir a variável x por uma nova variável t (mudança de variável (m.v.)).
Tomemos x = g(t) em que g é uma função injectiva. Dada F (x) =
f (x) dx temos F uma função na variável x e, por sua vez, x = g(t) uma
função na variável t. Como tal, F pode ser considerada função da variável
t obtida por composição de funções. Atendendo à regra de derivação da
função composta (ou regra da cadeia) temos
dF (g(t))
dF (x) dx
dF dg
dF (x)
=
=
·
=
·
dt
dt
dx
dt
dx dt
e, dada a forma como foi definida a função F (é uma primitiva de f(x))
segue que
dF (x)
dg
= f(x) ·
= f(x) · g (t) = f [g(t)] · g (t).
dt
dt
Isto implica que
F (x) =
ou seja,
f (x) dx =
f [g(t)] · g (t) dt
f [g(t)] · g (t) dt .
(4)
A fórmula (4) justifica o método de primitivação por substituição1 .
Após resolver a primitiva do lado direito (resultante da mudança de
variável) procedemos à ”recuperação” da variável original x atendendo a
1
Para x = g(t), onde g é uma função injectiva, temos a taxa de variação
dx
dg
=
= g (t)
dt
dt
ROSÁRIO LAUREANO
25
que t = g−1 (x) (notemos que a função g foi tomada como injectiva). Temos
então
f (x) dx =
f [g (t)] g (t) dt = φ (t) = φ(g −1 (x)) = F (x).
O quadro seguinte indica as substituições apropriadas quando estão presentes certos radicais quadráticos que envolvam uma função u = u(x) e
uma constante real a ∈ R. Estas substituições dizem-se substituições
trigonométricas.
função com
√
a2 − u2
√
a2 + u2
√
u2 − a2
u = g (t)
u = g (t)
u = a · sin t
u = a · cos t
u = a · tan t
u = a · sec2 t
u = a · sec t
u = a · sec t tan t
Exemplo 18 A primitiva
1
exp(5x) dx = ·
5
t = g−1 (u)
u
t = arcsin
a
u
t = arctan
a
u
t = arcsec
a
exp(5x) dx é imediata:
5 · exp(5x)dx =
1
1
· [exp(5x) + C1 ] = · exp(5x) + C,
5
5
com C = C1 /5 ∈ R. No entanto, se efectuarmos a mudança de variável
1
t
dada pela relação 5x = t, temos x = = g(t) logo g (t) = . Pelo método
5
5
de primitivação por substituição (4) temos então
1
1
dt = · exp(t)dt
exp(5x) dx =
exp(t) ·
5
5
=
1
1
· [exp(t) + C1 ] = · exp(t) + C,
5
5
donde dx = g (t)dt, logo
f (x) dx =
f [g (t)] · g (t) dt.
ROSÁRIO LAUREANO
26
com C = C1 /5 ∈ R. Voltando à variável original x, obtemos finalmente
1
exp(5x) dx = · exp(5x) + C.
5
1
Notemos que foi essencial considerar a derivada g (t) = . Caso contrário,
5
obteríamos erradamente
exp(5x) dx = exp(t) dt = exp(t) + C = exp(5x) + C
(note que [exp(5x) + C] = 5 exp(5x) = exp(5x)). Obviamente que, neste
caso de uma primitiva imediata, foi mais fácil recorrer diretamente á regra
de primitivação aplicável (sendo a substituição perfeitamente dispensável!).
√
3
Exemplo 19 Pretendemos calcular a primitiva ( x + 1) dx. Consider√
amos a mudança de variável obtida pela relação x = t. Temos x = t2 =
g(t) logo g (t) = 2t. Pelo método de primitivação por substituição (4) temos
então
√
3
√
3
2
x + 1 dx =
t + 1 · 2t dt =
(t + 1)3 · 2t dt
= 2·
= 2·
= 2·
=
2
t + 2t + 1 (t + 1) · t dt
4
t + 3t3 + 3t2 + t dt
t5
t4
t2
+ 3 + t3 + + C1
5
4
2
2t5 3t4
+
+ 2t3 + t2 + C,
5
2
com C = 2 · C1 ∈ R. Voltando à variável original x, obtemos então
√
√
3
√
2x2 x 3x2
x + 1 dx =
+
+ 2x x + x + C
5
2
√
√
√
√
√
√
√
(atenda a que x5 =√ x2 · x2 · x = x2 · x2 · x = x · x · x = x2 x e a
√
que, analogamente, x3 = x · x). Notemos que, se optarmos por obter a
ROSÁRIO LAUREANO
27
expressão das primitivas sem recorrer a substituição, também temos
√
3
√
2 √
x + 1 dx =
x+1
x + 1 dx
=
=
=
√
√
x+2 x+1
x + 1 dx
√
√
x x + 3x + 3 x + 1 dx
3
1
x 2 + 3x + 3x 2 + 1 dx
5
=
=
x2
5
2
3
+3
x2
x2
+3 3 +x+C
2
2
√
√
2x2 x 3x2
+
+ 2x x + x + C,
5
2
com C ∈ R. Este exemplo é aqui apresentado, tal como o Exemplo 26, também com o objectivo de evidenciar a importância de considerar a derivada
g (t). De facto, se não for considerada essa derivada
√
3
t2 + 1 dt =
(t + 1)3 dt
=
2
t + 2t + 1 (t + 1) dt
=
=
t4
t3
t2
+3 +3 +t+C
4
3
2
=
√
x2
3x √
+x x+
+ x+C
4
2
(t3 + 3t2 + 3t + 1)dt
(com C ∈ R) obtemos um resultado errado. Confirma-se, fazendo o cálculo
da derivada, que
2
√
3
√
x
3x √
+x x+
+ x + C =
x+1 .
4
2
ROSÁRIO LAUREANO
1.6
28
Exercícios propostos
1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
(a) f (x) = x ln (x + 3)
(b) [TA] f (x) = x2 sin x
(c) [TA] f(x) = (x2 + 6x − 2) exp
(d) f (x) = arctan
x
2
(e) [TA] f(x) = x3 exp x2
(f) [TA] f (x) = arcsin (2x)
(g) f(x) = exp(x) sin (2x)
(h) [TA] f(x) = sin
(i) f (x) =
x
cos2 x
x
2
cos (3x)
(j) [TA] f(x) = (x + 3) exp
x
2
(k) [TA] f(x) = (2x2 + 1) exp (3x)
(l) f (x) = x exp (2x)
(m) f(x) = arcsin
(n) f(x =
x
3
x+2
cos (5x)
3
(o) [TA] f(x) = arctan (3x)
x
3
ROSÁRIO LAUREANO
29
(p) [TA] f(x = exp (2x) sin (3x)
(q) [TA] f (x) = (2x − 1) sin (2x)
(r) [TA] f(x) = x7 exp x4
(s) [TA] f (x) =
x
sin2 x
(t) f(x) = sin (2x) cos (3x)
√
(u) [TA] f (x) = ln x + 1 + x2
(v) f (x) = exp (3x) [sin (2x) − cos (2x)]
(w) [TA] f(x) = x arctan2 x
2. [TA] Seja a(x) = ln x. Determine a expressão geral das primitivas das
funções
a(x),
f(x) = xa(x),
a(x)
g(x) = √ ,
x
j(x) = cos [a (x)] , k(x) =
h(x) =
ln [a(x)]
x
a2 (x)
x2
e l(x) = cos2 [a (x)]
√
3. Considere a função f(x) = ( x + 3)4 .
(a) Desenvolva a função f em potências de x e calcule a expressão
geral das suas primitivas.
√
(b) Utilize a mudança de variável dada pela relação x = t para
confirmar a expressão das primitivas obtida na alínea anterior.
4. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
(a) f(x) =
x
√
1+ 3x
ROSÁRIO LAUREANO
(b) [TA] f(x) =
(c) f(x) =
30
1
2 + exp x
1
√
1+ x+1
(d) [TA] f(x) = cos
√
3
x
√
6
x+1
√
(e) f(x) = √
6
4
7
x + x5
(f) [TA] f(x) =
√
x
x+1
√
x
√
(g) f(x) = √
x− 4x
x2 + 3
(h) f(x) = (2x − 5)3
√
x
√
(i) [TA] f(x) =
1+ 3 x
ln x
(j) [TA] f(x) = √
x 1 + ln x
x3
(k) f(x) = (2 + 3x2 )3
√
3x + 1
√
(l) [TA] f(x) =
1 + 5 3x + 1
x
(m) [TA] f(x) = √
3
x−1
5. Utilize substituições trigonométricas para determinar a expressão geral
das primitivas de cada uma das seguintes funções:
ROSÁRIO LAUREANO
31
√
x2 − 4
(a) [TA] f(x) =
x4
√
1 + x2
(b) [TA] f(x) =
x2
1
(c) [TA] f(x) = 4 + (x − 5)2
6. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintes
funções:
x arctan x
(a) f(x) = √
1 + x2
(b) f(x) =
arcsin x
x2
1
(c) f(x) = 2
x
x−1
x+1
Soluções dos exercícios propostos
2
2.1
Primitivas imediatas e quase-imediatas
1. (a)
(b)
5 7 3
x − + 4 ln |x| + C, com C ∈ R
7
x
3 2
1
x − 2x + ln |x| + C, com C ∈ R
2
3
(c) C −
1
4
1
− 2 √ − 3 , com C ∈ R
2
2x
5x x 3x
(d)
1 2
(x + 2)4 + C, com C ∈ R
8
(e)
3 √
5 √
3
x x2 + x 5 x + C, com C ∈ R
5
3
ROSÁRIO LAUREANO
(f) C −
32
√
5
(8 − 3x)2 5 8 − 3x, com C ∈ R
33
(x + 1)16
+ C, com C ∈ R
16
5 5
(h) C −
(3 − x4 )4 , com C ∈ R
16
(g)
2. (a)
3 3 ln 1 + x2 + C = ln 1 + x2 + C, com C ∈ R
2
2
(b) 3 arctan (x) + C, com C ∈ R
(c)
x
3
arctan
+ C, com C ∈ R
2
2
(d) 3 (x − arctan x) + C, com C ∈ R
(e) 3
(1 + x)−1
−1
+C =C −
3
, com C ∈ R
1+x
√
3. (a) C − 5 1 − x2 , com C ∈ R
(b) 5 arcsin (x) + C, com C ∈ R
(c) 5 arcsin
x
+ C, com C ∈ R
2
5
3x
(d) arcsin
+ C, com C ∈ R
3
4
x−3
(e) arcsin √
+ C, com C ∈ R
2
1
1
√
dx = (...) = dx
(f)
2
−x + 2x + 3
4 − (x − 1)2
x−1
= (...) = arcsin
2
+ C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO
33
1
b
4. (a)
arctan
x + C, com C ∈ R
ab
a
1
b
(b) arcsin
x + C, com C ∈ R
b
a
5. (a)
1
arcsin x3 + C, com C ∈ R
3
(b) C −
1√
1 − x6 , C ∈ R
3
5
exp x2 + C, com C ∈ R
2
1
, com C ∈ R
(b) C − exp
x
6. (a)
(c)
1
exp [sin (2x)] + C, com C ∈ R
2
(d)
1
1
ln |1 + 4 exp x| + C = ln (1 + 4 exp x) + C, com C ∈ R
4
4
(e) C −
1
1 − exp (6x), com C ∈ R
3
(f) x + 2 exp (x) +
exp2 x
+ C, com C ∈ R
2
(g) exp tan x + C, com C ∈ R
7.
f (x) dx =
g(x)dx = C −
h(x)dx = exp (x) + exp (−x) + C, com C ∈ R
1
arctan [exp (2x)] + C, com C ∈ R
2
1
ln |2 − exp (2x)| , com C ∈ R
2
ROSÁRIO LAUREANO
8.
9.
f (x) dx = ln |ln x| + C, com C ∈ R
ln x
1
h(x)dx = √ arctan √
+ C, com C ∈ R
3
3
j(x)dx =
√
f (x) dx = 2 arcsin ( x) + C, com C ∈ R
√
g(x)dx = 2 arctan ( x) + C, com C ∈ R
√
h(x)dx = 4 1 + x + C, com C ∈ R
10. (a)
√
3
ln (x) 3 ln x − cos (ln x) + C, com C ∈ R
4
1
sin x3 + C, com C ∈ R
3
(b) C −
1
ln |cos(3x)| , com C ∈ R
3
(c)
1
ln |sin (5x − 7)| + C, com C ∈ R
5
(d)
1
ln |sin (5x)| + C, com C ∈ R
5
3
1 2
3
1 2
(e)
− cos
x
+ C = − cos
x + C, com C ∈ R
2
3
2
3
(f)
(sin x)4
1
+ C = sin4 (x) + C, com C ∈ R
4
4
(g) −
(cos x)−3
1
+C =
+ C, com C ∈ R
−3
3 cos3 x
34
ROSÁRIO LAUREANO
(h) C − cot (x) −
35
1
, com C ∈ R
2 sin2 x
√
(i) 3 3 sin x + C, com C ∈ R
11. (a)
(sin x)p+1
1
+C =
sinp+1 (x) + C, com C ∈ R
p+1
p+1
1
(cos x)p+1
+C =C −
cosp+1 (x) , com C ∈ R
(b) −
p+1
p+1
12.
3
sin (x) dx =
sin (x) sin2 x dx =
= (...) = − cos (x) +
cos4 (x) dx
= (...) =
=
cos5 (x) dx
com C ∈ R
(b)
cos3 x
+ C, com C ∈ R
3
2 2
cos x dx =
1 + cos (2x)
2
2
dx
2 2
2
=
cos x cos x dx =
1 − sin2 x cos x dx
sin2 (3x) dx =
13. (a) C −
sin (x) 1 − cos2 x dx
1
1
1
x + sin (2x) +
x + sin(4x) + C, com C ∈ R
4
2
4
= (...) = sin (x) −
2 3
1
sin (x) + sin5 (x) + C, com C ∈ R
3
5
1 − cos (6x)
1
1
dx =
x − sin (6x) + C,
2
2
6
1 ln cos x2 , com C ∈ R
2
1
tan (7x) + C, com C ∈ R
7
ROSÁRIO LAUREANO
(c) C −
1
, com C ∈ R
4 tan4 x
(d) tan2
x
(e)
+ C, com C ∈ R
1
ln |2 + 3 tan (5x)| + C, com C ∈ R
15
(f) 2
(g)
2
36
arctan4 x
arctan4 x
+C =
+ C, com C ∈ R
4
2
arcsin2 x √
− 1 − x2 + C, com C ∈ R
2
(h) arctan sin x + C, com C ∈ R
(i) ln |2 + sin (2x)| + C = ln [2 + sin (2x)] + C, com C ∈ R
sin (2x)
2 sin (x) cos x
14.
f(x)dx =
dx =
dx
1 + cos2 x
1 + cos2 x
= (...) = − ln 1 + cos2 x + C = C − ln 1 + cos2 x , com C ∈ R
ou
f(x)dx =
sin (2x)
dx =
1 + cos2 x
sin (2x)
dx
1 + cos(2x)
1+
2
= (...) = − ln |3 + cos(2x)| + C = C − ln [3 + cos(2x)] , com C ∈ R
15.
g(x)dx = C − arctan cos2 x, com C ∈ R
h(x)dx = tan sin2 x + C, com C ∈ R
f(x)dx = ln |ln ln x| + C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO
2.2
37
Primitivação de funções racionais
1. (a)
(b)
(c)
(d)
1 3
ln x + 3x + C, com C ∈ R
3
1 2
ln x + 8x + 7 + C, com C ∈ R
2
1 1 ln 1 + x6 + C = ln 1 + x6 + C, com C ∈ R
6
6
√ 1
√ arctan 3x2 + C, com C ∈ R
2 3
1
x
(e) √ arctan √
+ C, com C ∈ R
2
2
2. (a) d1 (x) = (x + 3)2 , d2 (x) = (x + 2) (x + 4) e d3 (x) = (x + 3)2 +1
(b)
(c)
f(x)dx = −
g(x)dx =
h(x)dx = arctan (x + 3) + C, com C ∈ R
j(x)dx = −2
1
+ C, com C ∈ R
x+3
1
1
ln |x + 2| − ln |x + 4| + C, com C ∈ R
2
2
(x + 3)−1
+ ln |x + 3| + C
−1
=
2
+ ln |x + 3| + C, com C ∈ R
x+3
1
3
k(x)dx = − ln |x + 2| + ln |x + 4| + C, com C ∈ R
2
2
l(x)dx =
1 ln (x + 3)2 + 1 − 2 arctan (x + 3) + C, com C ∈ R
2
ROSÁRIO LAUREANO
3. f(x) = x − 2 +
38
4x2 + 2x + 5
.
3
2
x + 2x
+ x
fracção própria
f(x)dx =
g(x) = 2 +
x2
7
− 2x + 5 ln |x| +
− ln |x + 1| + C, com C ∈ R.
2
x+1
−12x2 − 16x + 2
3
2
x + 6x
+ 8x fracção própria
1
7
63
g(x)dx = 2x − 2 − ln |x| − ln |x + 2| +
ln |x + 4| + C
8
8
8
= 2x +
7
63
1
ln |x| + ln |x + 2| −
ln |x + 4| + C, com C ∈ R.
4
4
4
1
1 1 2
4. (a)
ln |x| −
ln (x + 3) + 1 − 17 arctan (x + 3) + C,
10
10 2
com C ∈ R
13
3
2 + x − 4 + 2 ln |x − 4| − 2 ln |x − 2| + C
2 (x − 4)
x − 4
13
3
+ C, com C ∈ R
=−
+ 2 ln +
x − 2
2 (x − 4)2 x − 4
(b) −
(c) 3 −
1
1
1
1
−
ln |x − 2| −
+
ln |x + 2| + C
16 (x − 2) 32
16 (x + 2) 32
x + 2
1
1
1
1
+ C, com C ∈ R
=3 −
+
+
ln
16 x − 2 x + 2
32 x − 2 (d) ln |x − 1| +
=
5. −
1
1 ln |x + 1| − ln x2 + 1 + C
4
4
1 |(x − 1) (x + 1)|
ln
+ C, com C ∈ R
4
x2 + 1
1
1
2 − x − 2 + C, com C ∈ R.
(x − 2)
ROSÁRIO LAUREANO
2.3
39
Métodos de primitivação (por partes e por substituição)
x2
1
1. (a)
ln (x + 3) −
2
2
=
x2
− 3x + 9 ln (x + 3) + C
2
x2
1 2
x − 9 ln (x + 3) −
+ 3x + C, com C ∈ R
2
2
(b) −x2 cos (x) + 2x sin (x) + 2 cos (x) + C
= 2 − x2 cos (x) + 2x sin (x) + C, com C ∈ R
(c) 3(x2 + 6x − 2) exp
x
− 9 (2x + 6) exp
x
+ 54 exp
3
3
x
= 3x2 − 6 exp
+ C, com C ∈ R
3
x
(d) x arctan
− ln 4 + x2 + C
2
x
= x arctan
− ln 4 + x2 + C, com C ∈ R
2
(e)
3
+C
x2
1
1 2
exp(x2 ) − exp(x2 ) + C =
x − 1 exp(x2 ) + C, com C ∈ R
2
2
2
(f) x arcsin (2x) +
(g)
x
1√
1 − 4x2 + C, com C ∈ R
2
[exp(x) sin (2x)] dx = (...)
= exp(x) sin (2x) − 2 exp(x) cos(2x) − 4 [exp(x) sin (2x)] dx
logo
[exp(x) sin (2x)] dx
=
1
[exp(x) sin (2x) − 2 exp(x) cos(2x)] + C
5
=
1
exp (x) [sin (2x) − 2 cos(2x)] + C, com C ∈ R
5
ROSÁRIO LAUREANO
40
x
x
(h)
sin
cos (3x) dx = (...) = −2 cos
cos (3x)
2
2
x
x
−12 sin
sin (3x) + 36
sin
cos (3x) dx
2
2
x
−2
x
cos (3x) dx =
cos
cos (3x)
sin
2
−35
2
x
12
sin
sin (3x) + C
−35
2
x
2 x
=
cos
cos (3x) + 6 sin
sin (3x) + C, com C ∈ R
35
2
2
−
(i) x tan x + ln |cos x| + C, com C ∈ R
(j) 2(x + 3) exp
com C ∈ R
(k)
(l)
x
2
− 4 exp
x
2
+ C = (2x + 2) exp
2
+ C,
1
4
41
(2x2 + 1) exp (3x) − x exp (3x) +
exp (3x) + C
3
9
93
2
2x + 1 4
4
=
− x+
exp (3x) + C, com C ∈ R
3
9
27
x
11
exp(2x) −
exp(2x)+C =
2
22
x 1
−
exp(2x)+C, com C ∈ R
2 4
x2
1
x +3 1−
+C
(m) x arcsin
3
9
√
1
= x arcsin
x + 9 − x2 + C, com C ∈ R
3
(n)
x
1
x+2
sin (5x) +
cos (5x) + C, com C ∈ R
15
75
(o) x arctan(3x) −
1 ln 1 + 9x2 + C
6
= x arctan(3x) −
1 ln 1 + 9x2 + C, com C ∈ R
6
ROSÁRIO LAUREANO
(p)
(q)
(r)
41
[exp (2x) sin (3x)] dx = (...)
1
3
9
=
sin (3x) − cos (3x) exp (2x) −
[exp (2x) sin(3x)] dx
2
2
4
1 2 sin (3x) − 3 cos (3x) exp (2x) + C
[exp (2x) sin(3x)] dx = 13
2
4
=
1
[2 sin (3x) − 3 cos (3x)] exp (2x) + C,com C ∈ R
13
1 − 2x
1
cos (2x) + sin(2x) + C, com C ∈ R
2
2
1
x4
exp x4 − exp x4 + C
4
4
=
1 4
x − 1 exp x4 + C, com C ∈ R
4
(s) −x cot (x) + ln |sin x| + C, com C ∈ R
(t)
1
[sin (2x) cos (3x)] dx = (...) = − cos(2x) cos (3x)
2
3
9
− sin(2x) sin (3x) +
4
4
[sin(2x) cos (3x)] dx
[sin(2x) cos (3x)] dx
4
1
3
= − − cos(2x) cos (3x) − sin(2x) sin (3x) + C
5
2
4
=
2
3
cos(2x) cos (3x) + sin(2x) sin (3x) + C, com C ∈ R.
5
5
√
√
(u) x ln x + 1 + x2 − 1 + x2 + C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO
(v)
42
[exp (3x) (sin (2x) − cos (2x))] dx = (...)
1
exp (3x) [sin (2x) − 5 cos (2x)]
9
4
−
[exp (3x) (sin(2x) − cos(2x))] dx
9
=
1
9 exp (3x) sin (2x)
[exp (3x) (sin(2x) − cos(2x))] dx = 13
9
− exp (3x) 5 cos (2x) + C
=
(w)
1
[exp (3x) (sin (2x) − 5 cos (2x))] + C, com C ∈ R
13
arctan2 x
x2
1 + 1 arctan2 (x)−x arctan (x)+ ln 1 + x2 −
+C
2
2
2
1 2
1 x + 1 arctan2 (x) − x arctan (x) + ln 1 + x2 + C,
2
2
com C ∈ R
=
2.
a(x)dx = x ln (x) − x + C = x [ln (x) − 1] + C, com C ∈ R
x2
1 x2
x2
1
f(x)dx =
ln (x) −
+C =
ln (x) −
+ C, com C ∈ R
2
2 2
2
2
√
√
x1/2
g(x)dx = 2 x ln (x) − 2
+ C = 2 x [ln (x) − 2] + C, com C ∈ R
1/2
1
h(x)dx = − ln2 (x) + 2 ln (x) + 2 + C, com C ∈ R
x
j(x)dx = (...) = x cos ln x + x sin ln x − cos ln x dx
(...)
=
cos ln x dx =
1
[x cos ln x + x sin ln x] + C
2
x
[cos ln x + sin ln x] + C, com C ∈ R
2
ROSÁRIO LAUREANO
43
k(x)dx = ln (x) ln ln x − ln (x) + C = ln (x) [ln ln x − 1] + C,
com C ∈ R
x
l(x)dx = x cos2 ln x − 2 [cos ln x + sin ln x] + C
2
= x cos2 ln x − cos ln x − sin ln x + C, com C ∈ R
√
√
3. (a) f(x) = x2 + 12x x + 54x + 108 x + 81
(b)
f(x)dx =
=
√
√
x3 24x2 x
+
+ 27x2 + 72x x + 81x + C, com C ∈ R
3
5
x3
x5/2
x2
x3/2
+ 12
+ 54 + 108
+ 81x + C
3
5/2
2
3/2
f(x)dx = 2
t5
t4
t3
t2
t6
+ 12 + 54 + 108 + 81
6
5
4
3
2
+C
t6 24t5
+
+ 27t4 + 72t3 + 81t2 + C
3
5
√
√
x3 24x2 x
=
+
+ 27x2 + 72x x + 81x + C,, com C ∈ R
3
5
=
4. (a) 3
t5 t4 t3 t2
− + − + t − ln |t + 1| + C
5
4
3
2
√
√
√
3
3
3
√
x5
x4 x
x2 √
=3
−
+ −
+ 3 x − ln | 3 x + 1| + C
5
4
3
2
√
3 √
3 √
3√
3
3
x2 + 3 3 x
= x x2 − x 3 x + x −
5
4
2
√
−3 ln | 3 x + 1| + C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO
44
1
1 t + 2 (b) − (ln |t + 2| − ln |t|) + C = − ln +C
2
2
t 1 exp (x) + 2 1
2
= − ln + C = − ln 1 +
+C
2
exp x 2
exp x
2
1
+ C, com C ∈ R
= − ln 1 +
2
exp x
Note que esta primitiva pode ser resolvida como quase-imediata.
(c) 2 (t − ln |t + 1|) + C = 2
=2
√
√
x + 1 − ln x + 1 + 1 + C
√
√
x + 1 − ln x + 1 + 1 , com C ∈ R
2
(d) 3
t · cos t dt = (...) (por partes)
= 3t2 sin (t) + 6t cos (t) − 6 sin (t) + C
√
√
√
√
√
3
= 3 x2 sin ( 3 x) + 6 3 x cos ( 3 x) − 6 sin ( 3 x) + C, com C ∈ R
(e) Visto o m.m.c. (6, 4) = 12, consideramos a mudança de variável
x = t12 .
√
6
x+1
A B C
D
√
√
dx = 12
+ + +
dt = (...)
6
4
t3 t2
t
1+t
x7 + x5
√
√
(f) 2 [t − arctan t] + C = 2 ( x − arctan x) + C, com C ∈ R
t4 t3 t2
(g) 4
+ + + t + ln |t − 1| + C
4
3
2
4
= t4 + t3 + 2t2 + 4t + 4 ln |t − 1| + C
3
=x+
√
√
√
4√
4
x3 + 2 x + 4 4 x + 4 ln | 4 x − 1| + C, com C ∈ R
3
ROSÁRIO LAUREANO
1
(h)
4
t3
t−1
+ 10t + 37
3
−1
45
1
+K =
4
t3
37
+ 10t −
3
t
+C
√
√
1 (2x − 5) 2x − 5
37
=
+ 10 2x − 5 − √
+C
4
3
2x − 5
1
=
4
2x + 25 √
37
2x − 5 − √
3
2x − 5
+ C, com C ∈ R
(i) Visto o m.m.c. (2, 3) = 6, consideramos a mudança de variável
x = t6 .
7
√
t
t5 t3
x
√ dx = 6
− + − t + arctan t + C
7
5
3
1+ 3 x
√
√
√
6
6
√
x7
x5
x √
=6
−
+
− 6 x + arctan 6 x + C
7
5
3
√
√
√
6 √
6√
6
= x 6 x−
x5 + 2 x − 6 6 x + 6 arctan ( 6 x) + C, com C ∈ R
7
5
(j) m.v. ln x = t seguida de m.v.
ln x
√
dx = 2
x 1 + ln x
2
=
3
√
1+t =z
√
z3
2
(1 + t)3 − 2 1 + t + C
− z +C =
3
3
√
(1 + ln x)3 − 2 1 + ln x + C
√
√
2
(1 + ln x) 1 + ln x − 2 1 + ln x + C
3
√
2
(1 + ln x) − 2
1 + ln x + C
=
3
=
=
2
4 √
ln (x) −
1 + ln x + C, com C ∈ R
3
3
ROSÁRIO LAUREANO
46
(k) Embora a mudança de variável 2 + 3x2 = t2 permita resolver
a primitiva, é mais conveniente efectuar
por partes
primitivação
−3/2
−3/2 3
2
2
2
considerando x 2 + 3x
= x · x · 2 + 3x
1/2
−3/2 x2
2 1 2 + 3x2
3
2
x 2 + 3x
+C
dx = − √
+
1/2
3 2 + 3x2 3 6
x2
2√
=− √
+
2 + 3x2 + C, com C ∈ R
2
9
3 2 + 3x
(l) Visto o m.m.c. (2, 5) = 10, consideramos a mudança de variável
3x + 1 = t10
√
3x + 1
√
dx
1 + 5 3x + 1
10 t13 t11 t9 t7 t5 t3
=
−
+ − + − + t − arctan t + C
3 13
11
9
7
5
3
10 13 10 11 10 9 10 7 2 5 10 3 10
10
t − t + t − t + t − t + t− arctan t+C
39
33
27
21
3
9
3
3
10 10
10 10
10 10
(3x + 1)13 −
(3x + 1)11 +
(3x + 1)9
=
39
33
27
√
10
2√
10 10
10 10
− 10 (3x + 1)7 +
3x + 1 −
(3x + 1)3 +
3x + 1
21
3
9
3
=
√
10
arctan 10 3x + 1 + C
3
√
10
10
=
(3x + 1) 10 (3x + 1)3 −
(3x + 1) 10 3x + 1
39
33
10
10 10
2√
+ 10 (3x + 1)9 −
(3x + 1)7 +
3x + 1
27
21
3
√
10 10
10 10
−
(3x + 1)3 +
3x + 1
9
3
−
−
√
10
arctan 10 3x + 1 + C, com C ∈ R
3
ROSÁRIO LAUREANO
(m) 3
t5
5
+
t2
2
47


3
3
5
(x − 1)
(x − 1)2
+C
+ K = 3
+
5
2
33
3
3
2
(x − 1)2 + C
= (x − 1) (x − 1) +
5
2
x−1 1 3
2x + 3 3
=3
+
(x − 1)2 + C = 3
(x − 1)2 + C
5
2
10
3
1 (x2 − 4)
1
1 sin t
+K =
sin3 t + C =
+ C, com C ∈ R
5. (a)
4 3
12
12
x3
3
1
1
+ ln |sec (t) + tan t| + C = −
+ ln |sec t + x| + C
sin t
sin t
√
√
1 + x2
=−
+ ln 1 + x2 + x + C, com C ∈ R
x
(b) −
2
4 + (x − 5)
x
−
5
+C
+
(c) ln |sec (t) + tan t| + K = ln 2
2
= ln
6. (a)
x − 5 + 4 + (x − 5)2 2
+ C, com C ∈ R
√
f(x)dx = (...) = 1 + x2 arctan (x) −
1
√
dx
1 + x2
mas o cálculo desta última primitiva exige uma mudança de variável (m.v.) por substituição trigonométrica:
1
√
dx = (...) = ln |sec (t) + tan t| + C
1 + x2
√
= ln 1 + x2 + x + C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO
(b)
1
f(x)dx = (...) = − arcsin (x) +
x
48
1
√
dx
x 1 − x2
Efectuamos a mudança de variável dada por
√
1 − x2 = t, (...)
1
1
√
dx = (...) = − [− ln |1 − t| + ln |1 + t|] + C
2
2
x 1−x
1
1 1 − t = [ln |1 − t| − ln |1 + t|] + C = ln +C
2
2
1 + t
√
1 1 − 1 − x2 √
= ln +C
2 1 + 1 − x2 (c) 4
2
−2 t2
dt
=
4
t
·
t
t
+
1
dt = (...)
(t2 + 1)2
−2t
+ 2 arctan (t) + C
(por partes) = 2
t +1
x−1
−2
x−1
x+1
=
+ 2 arctan
+C
x−1
x+1
+1
x+1
√
x − 1 (x + 1)
x−1
√
= −2
+ 2 arctan
+C
x+1
2x x + 1
√
√
x−1 x+1
x−1
=−
+ 2 arctan
+ C, com C ∈ R
x
x+1