teoria de propagação de incertezas - robertocolistete.net

Propagação de Incertezas - Laboratório de Fı́sica (2009/1)
Universidade Federal do Espı́rito Santo - Centro de Ciências Agrárias
Departamento de Engenharia Rural
Professor : Roberto Colistete Júnior
1
Introdução
Ao medirmos diretamente algumas grandezas (que podem ser comprimento, temperatura,
etc), incluindo as incertezas (os ∆’s das grandezas são considerados positivos) :
A = a ± ∆a, B = b ± ∆b, etc.
frequentemente necessitamos calcular grandezas obtidas indiretamente (área, volume, etc)
que dependem das grandezas medidas diretamente. Como tais medidas diretas apresentam
incertezas, é fundamental saber como as incertezas se propagam ao calcularmos as grandezas
indiretas.
Vejamos o exemplo de multiplicação, onde P é uma grandeza indireta, A e B são
grandezas diretas,
P = A B.
Nesse exemplo simples, podemos usar substituição direta para obter :
P = (a ± ∆a) (b ± ∆b) = a b ± a ∆b ± b ∆a ± ∆a ∆b ' a b ± (|a ∆b| + |b ∆a|) ,
¯!
ï
¯ ¯
¯ ∆a ¯ ¯¯ ∆b ¯¯
¯
¯
P = p ± ∆p = a b ± a b ¯
+¯
¯ ,
a ¯ ¯ b ¯
onde desprezamos o termo ∆a ∆b pois usualmente ∆a ¿ |a| e ∆b ¿ |b|, e agrupamos os
termos lineares em ∆’s usando módulos para obtermos uma incerteza ∆p = |a ∆b| + |b ∆a|
garantidamente positiva.
2
Método de Derivadas para Propagação de Incertezas
Tal ∆p pode ser obtido por outro método, usando diferenciais e derivadas, que se demonstra
adequado para grandezas indiretas mais complexas de se calcular. Usando a definição de
derivada da função f , em relação a uma variável muda (arbitrária) x :
∆f
∆f
d f (x)
= f 0 (x) = lim
'
,
∆x→0 ∆x
dx
∆x
sendo essa aproximação válida se ∆x é muito pequeno. Ou seja, estamos aproximando os
acréscimos ∆f e ∆x como sendo iguais aos diferenciais d f (x) e d x. Nesse contexto, podemos
escrever :
d f (x)
d f (x)
∆x '
d x = d f (x).
∆f '
dx
dx
1
2.1
Multiplicação
O exemplo da multiplicação P = A B pode ser escrito usando funções para cada grandeza
direta e indireta, i.e., p(x) = a(x) b(x). Assim, usando a regra da derivada de um produto
de funções :
"
#
d p(x)
d [a(x) b(x)]
d a(x)
d b(x)
d p(x) =
dx =
dx =
b(x) + a(x)
d x,
dx
dx
dx
dx
d p(x) = b(x) da(x) + a(x) db(x),
a incerteza ∆p é obtida aproximadamente (considerando ∆a ¿ |a| e ∆b ¿ |b|) ao eliminarmos x e transformarmos os diferenciais em acréscimos (∆’s) garantidamente positivos na
expressão acima para d p(x) :
¯!
ï
¯ ¯
¯ ∆a ¯ ¯¯ ∆b ¯¯
¯+¯
¯ .
∆p ' d p(x) ⇒ ∆p = |b ∆a| +|a ∆b| ⇒ p = a b±(|b ∆a| +|a ∆b|) = a b±a b ¯¯
a ¯ ¯ b ¯
Verificamos que a incerteza relativa após um produto é igual a ∆p/p = |∆a/a| + |∆b/b|, ou
seja, é a soma das incertezas relativas das grandezas A e B.
2.2
Potenciação com Expoente Constante
Usando somente o método de diferenciais/derivadas para o cálculo de ∆e da grandeza E =
e ± ∆e = B α , onde α é uma constante real, traduzimos tal problema em termos de funções
e(x) = [b(x)]α = bα (x) :
#
"
d e(x)
d [bα (x)]
d b(x)
d e(x) =
dx =
d x = α bα−1 (x)
d x = α bα−1 (x) db(x),
dx
dx
dx
∆e ' d e(x)
⇒
¯
¯
¯
¯
∆e = ¯α bα−1 ∆b¯
⇒
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ α−1
¯
α
α ¯ ∆b ¯
E = b ± ¯α b ∆b¯ = b ± b ¯α ¯ .
¯ b ¯
α
De onde concluı́mos que a incerteza relativa após uma potenciação é igual a ∆e/e = |α∆b/b|,
ou seja, |α| vezes a incerteza relativa da grandeza B.
2.3
Exponenciação/Potenciação com Base Constante
Para o cálculo de ∆f da grandeza F = f ± ∆f = exp B = eB , traduzimos tal problema em
termos de funções f (x) = exp b(x) = eb(x) :
"
#
d [eb(x) ]
d b(x)
d f (x)
dx =
d x = eb(x)
d x = eb(x) db(x),
d f (x) =
dx
dx
dx
∆f ' d f (x)
⇒
¯
¯
∆f = ¯¯ eb ∆b¯¯
⇒
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ b
¯
b
b ¯ ∆b ¯
F = e ± ¯e ∆b¯ = e ± e ¯b ¯ .
¯ b ¯
b
De onde concluı́mos que a incerteza relativa após uma exponenciação é igual a ∆f /f =
|b∆b/b|, ou seja, |b| vezes a incerteza relativa da grandeza B. Lembrar que para uma base
genérica podemos usar nB = exp(ln nB ) = exp(B ln n) = exp C.
2
2.4
Logaritmo Natural e de Base Genérica
Para o cálculo de ∆f da grandeza F = f ± ∆f = ln B, traduzimos tal problema em termos
de funções f (x) = ln b(x) :
"
#
d f (x)
d [ln b(x)]
1 d b(x)
1
d f (x) =
dx =
dx =
dx =
db(x),
dx
dx
b(x) d x
b(x)
∆f ' d f (x)
⇒
¯
¯
¯1
¯
¯
∆f = ¯ ∆b¯¯
¯
¯
¯
¯
¯ ∆b ¯
¯ 1 ∆b ¯
¯
¯
¯
¯
F = ln b ± ¯ ¯ = ln b ± ln b ¯
¯.
¯ b ¯
¯ ln b b ¯
⇒
b
De onde concluı́mos que a incerteza relativa após uma exponenciação é igual a ∆f /f =
|(ln b)−1 ∆b/b|, ou seja, |1/ ln b| vezes a incerteza relativa da grandeza B. Lembrar que
ln B = loge B e que genericamente logn B = [ln B]/ ln n.
2.5
Seno
Para o cálculo de ∆f da grandeza F = f ± ∆f = sin θ, traduzimos tal problema em termos
de funções f (x) = sin θ(x) :
"
#
d f (x)
d [sin θ(x)]
d θ(x)
d f (x) =
dx =
d x = cos θ(x)
d x = cos θ(x) dθ(x),
dx
dx
dx
∆f ' d f (x)
⇒
∆f = |cos θ ∆θ|
⇒
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∆θ ¯¯
∆θ ¯¯
¯
¯
F = sin θ±¯¯θ cos θ
¯ = sin θ±sin θ ¯θ cot θ
¯.
¯
θ ¯
θ ¯
De onde concluı́mos que a incerteza relativa após um seno é igual a ∆f /f = |θ cot θ∆θ/θ|,
ou seja, |θ cot θ| vezes a incerteza relativa da grandeza θ.
2.6
Cosseno
Para o cálculo de ∆f da grandeza F = f ± ∆f = cos θ, traduzimos tal problema em termos
de funções f (x) = cos θ(x) :
"
#
d [cos θ(x)]
d θ(x)
d f (x)
dx =
d x = − sin θ(x)
d x = − sin θ(x) dθ(x),
d f (x) =
dx
dx
dx
∆f ' d f (x)
⇒
∆f = |sin θ ∆θ|
⇒
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∆θ ¯¯
∆θ ¯¯
¯
¯
F = cos θ±¯θ sin θ
¯ = cos θ±cos θ ¯θ tan θ
¯.
¯
¯
θ ¯
θ ¯
De onde concluı́mos que a incerteza relativa após um seno é igual a ∆f /f = |θ tan θ∆θ/θ|,
ou seja, |θ tan θ| vezes a incerteza relativa da grandeza θ.
3
3
Estabilidade Numérica
Várias relações matemáticas que são equivalentes deixam de o ser se há propagação de
incertezas. Por exemplo :
¯
µ
¯¶
¯
Ã
¯!
1
1
1 1 ¯¯ ∆a ¯¯
1 1 ¯¯ ∆b ¯¯
F = − = f ± ∆f ⇒ F =
± ¯
± ¯ ¯
¯ −
A B
a a a
b b¯ b ¯
¯
¯!
¯
¯
¯
¯ ¯
µ
¶ ï
¯ b ¯ ¯¯ ∆a ¯¯ ¯¯ a ¯¯ ¯ ∆b ¯
¯ 1 ∆a ¯ ¯¯ 1 ∆b ¯¯
1 1
∆f
¯
¯
¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
F =
−
± ¯
+¯
¯
⇒
=¯
¯
+
¯
¯,
¯b − a¯ ¯ a ¯ ¯b − a¯ ¯ b ¯
a b
a a ¯ ¯b b ¯
f
B−A
= (B − A)(A B)−1 = f ± ∆f
AB
¯!#
"
ï
¯ ¯
1
1 ¯¯ ∆a ¯¯ ¯¯ ∆b ¯¯
+¯ ¯
F = [b − a ± (|∆a| + |∆b|)]
±
ab ab ¯ a ¯ ¯ b ¯
¯#
¯
"
¯
¯ ¯
¯
¯ ¯
b − a b − a |∆a| + |∆b| ¯¯ ∆a ¯¯ ¯¯ ∆b ¯¯
∆f
|∆a| + |∆b| ¯¯ ∆a ¯¯ ¯¯ ∆b ¯¯
F =
+¯ ¯
⇒
+ ¯ ¯.
±
+¯
=
+¯
ab
ab
|b − a|
a ¯ ¯ b ¯
f
|b − a|
a ¯ ¯ b ¯
F =
A diferença dos quadrados também não é equivalente ao produto da soma com a diferença :
¯
¯!
¯
¯¶ Ã
¯ ∆b ¯
¯ ∆a ¯
¯
¯
2
2
¯ − b ± b ¯2
F = A − B = f ± ∆f ⇒ F = a ± a ¯¯2
¯
¯ b ¯
a ¯
¯!
¯
ï
¯ ¯¯
¯
¯ ¯¯
¯
¯
³
´
¯
¯
¯
¯
∆a
2a∆a
∆b
∆f
2b∆b
¯
¯
¯
¯
¯ + ¯2b2
¯
¯+¯
=
F = a2 − b2 ± ¯¯2a2
¯
¯,
⇒
¯ ¯
¯ 2
¯ ¯ 2
2
2
¯
a
b
f
a −b
a −b ¯
µ
2
2
2
F = (A − B)(A + B) = f ± ∆f
³
´
⇒
³
2
F = [a − b ± (|∆a| + |∆b|)] [a + b ± (|∆a| + |∆b|)]
´
!
Ã
|∆a| + |∆b| |∆a| + |∆b|
⇒
+
F = a2 − b2 ± a2 − b2
|a − b|
|a + b|
¯
¯ ¯
¯
¯ ∆a (|a + b| + |a − b|) ¯ ¯ ∆b (|a + b| + |a − b|) ¯
∆f
¯
¯ ¯
¯
= ¯¯
¯+¯
¯.
¯ ¯
¯
f
a2 − b2
a2 − b2
Com exponencial de uma diferença, a propagação de incertezas não varia :
F = exp(A − B) = f ± ∆f
F = exp (a − b ± |∆a + ∆b|) = exp (a − b) ± exp (a − b) |∆a + ∆b| ⇒
exp(A)
= f ± ∆f
exp(B)
exp (a) ± exp (a) |∆a|
exp (a) exp (a)
F =
=
±
|∆a + ∆b|
exp (b) ± exp (b) |∆b|
exp (b)
exp (b)
∆f
= |∆a + ∆b| ,
f
F =
⇒
∆f
= |∆a + ∆b| .
f
Portanto tente rescrever a expressão da grandeza indireta F de tal forma que tenha a
menor propagação de incertezas.
4