Cálculo Diferencial e Integral A

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Cálculo 1
8ª Lista de Exercícios – Revisão de Conteúdos
NÚMEROS, VARIÁVEIS E FUNÇÕES
Números reais: O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto infinito é
representado pelo símbolo  , eles podem ser racionais ou irracionais.
Números racionais: São números que podem ser positivos, negativos, inteiros ou fracionários e podem ser
expressos na forma p q , onde p e q são inteiros positivos ou negativos.
2 2 21 41
,  , , etc.
3 7 13 17
Exemplos:  3,  607 ,13,512 ,  , ,
Números irracionais: São números que não exatos e portanto podem ser postos na forma anterior p q .
Exemplos: , e, 2 , 3 ,  2 ,  7 , , etc.
Variável real: Denomina-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número de um conjunto
de números reais e representado por símbolos genéricos como x, y, z,, s, t , etc.
Variável independente é uma variável que não depende de outra variável e pode assumir qualquer valor real.
Exemplo: x
Variável dependente é uma variável que depende de outra variável, e portanto obedece a alguma lei de
formação.
Exemplo: y  3 x 3
Constante: Denomina-se a um símbolo que represente sempre um mesmo número e representado por símbolos
genéricos como a, b, c,  , etc., enquanto os específicos são sempre os mesmos, tais como , e , , etc.
Exemplos: a  2 ou b  
Intervalo: Denomina-se a um conjunto de valores que uma variável pode assumir, eles podem ser abertos,
fechados, ou abertos de um lado e fechados do outro, e são representados como a segue:
O intervalo aberto de a até b , representado por  a , b  , é o conjunto de todos os números reais x , tais que
a  x  b , onde os pontos extremos não pertencem ao intervalo.
Exemplos:  1, 3  significa que 1  x  3 ou
   ,   significa que
 x.
Intervalo fechado de a até b , representado por  a, b é o conjunto de números reais x , tais que a  x  b .
Onde os extremos a e b pertencem ao intervalo.
Exemplo:   2, 5  significa que  2  x  5 .
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Cálculo Diferencial e Integral I
Intervalo aberto à direita ou fechado à esquerda de a até b , representado por  a , b  é o conjunto de
números reais x , tal que a  x  b , onde o extremo a pertence ao intervalo, mas o extremo b não pertence.
Exemplos:   1,1  significa que  1  x  1 ou
 0,   significa que
0 x.
Intervalo aberto à esquerda ou fechado à direita de a até b , representado por  a, b  é o conjunto de
números reais x , tal que a  x  b , onde o extremo a não pertence ao intervalo, mas o extremo b pertence.
Exemplos:   , 5  significa que    x  5 ou
 2,3  significa que
2  x  3.
Definição: Função  y  f  x  é uma lei, formada por variáveis independentes e parâmetros que fornecem uma
variável dependente.
Definição: Domínio de uma função (ou campo de existência de uma função) y  f  x  é o conjunto de valores
da variável independente  x  para os quais a função é definida ou existe, isto é, possui valor finito e real, ou o
conjunto de todas as abcissas, no gráfico,
para os quais a função é definida.
Definição: Imagem de uma função y  f  x  é o conjunto de valores que a variável dependente
assumir, ou o conjunto de todas as ordenadas da função no gráfico.
 y  pode
Definição: Gráfico de uma função de uma função y  f x é o conjunto de todos os pontos do
conjunto x, y  no plano XY , onde x pertence ao domínio de f  x  e y é a imagem de f  x  .
Exemplo:
Analisar a função y  x  4
Dada a função y  x  4 (Condição de existência x  4  0 ) já que x  4 é definido somente para
x  4  0  x  4 , então o domínio de f  x  é D : x   / 4  x   e a sua imagem é
I : y   /0  y   .
y 4x
Y
x
4
8
13
20
29
y
0
2
3
4
3 = 1,73
2
O
4
X
1
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Cálculo Diferencial e Integral I
LISTA DE EXERÍCIOS:
1o Exercício: Estudar a função abaixo y  3 x  5 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
2o Exercício: Estudar a função abaixo y  3x  3 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
3o Exercício: Estudar a função y  3x  4 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
4o Exercício: Estudar a função y  2  4 x (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
5o Exercício: Estudar a função y  5 x  1 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
6o Exercício: Estudar a função y  4 x  8 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
7o
x2
Exercício: Estudar a função y 
 x (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
2
8o Exercício: Estudar a função y  2 x 2  3x (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
9o Exercício: Estudar a função y  
x2 1
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
2
10o Exercício: Estudar a função y  2 x 2  3x (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
11o Exercício: Estudar a função y  4 x 2  3x (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
12o Exercício: Estudar a função y  4 x 2  8 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
13o Exercício: Estudar a função y 
1 x
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x2
14o Exercício: Estudar a função y 
x
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x2
15o Exercício: Estudar a função y 
x
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x 4
16o Exercício: Estudar a função y 
x
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
2 x
2
2
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Cálculo Diferencial e Integral I
x 1
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x5
3x
18o Exercício: Estudar a função y 
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
4  x2
17o Exercício: Estudar a função y 
19o Exercício: Estudar a função y  3 cos( x) (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).

20o Exercício: Estudar a função y  cos( x  ) (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
2
21o Exercício: Estudar a função y   cos(3x   ) (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
22o Exercício: Estudar a função y  4 sen(

2
23o Exercício: Estudar a função y  sen( x 
x) (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).

2
) (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
24o Exercício: Estudar a função y  sen( 2 x 

4
) (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
LIMITES DE FUNÇÕES
Seja f  x  uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número "a " , exceto
possivelmente no próprio "a " . Então, diz-se que o limite de f  x  quando x tende a "a "  x  a  é L , e
representa-se por lim f  x   L .
xa
Exemplo: Obter o limite da função y 
x 2 16
lim
x  4 x 4
lim
x 4
x 2 16
quando x tende a 4 , isto é, x  4
x 4
y  x4
f x   x  4 , o ponto
 4 , 8  deve ser excluído
do gráfico, pois x  4
Porque o domínio de
f  x  é:
D :  ,4  4, 
I :  ,8  8, 
Y
4
4
y  quanto ?
a substituição direta anula o denominador
( x4)( x4)
 lim ( x4)  8 
x 4
( x4)
8

4
X
3
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Cálculo Diferencial e Integral I
Propriedades dos Limites
1)
Indeterminações de limites:   ,   0,
2)
Limites determinados:
3)
lim u  v  lim u   lim v 
x a
x a
x a
lim C u   C lim u 
5)
lim u  v   lim u   lim v 
6)
 u   lim u 
lim    xa
x a v 
v 
  lim
x a
7)
lim u m  lim u 
8)
lim m u  m lim u 
9)
lim log a u   log a lim u 
10)
lim u v  lim u  x a
x a
x a
 

x a
x a

para u  u x 
m
para u  u  x 

x a

x a
para u  u  x  e v  v x 
para u  u x  e v  vx 
x a
 
 0.
para u  u  x  e v  v x 
x a
x a
x a
   ,    0  k   e  k
para u  u  x  e C é uma constante
xa
x a

,  0 , 0 0 , 1

0
 0, 0   0, 0   ,

4)
x a
0
,
0

lim v 

para u  u  x 
para u  u  x  e v  v x 
LISTA DE EXERÍCIOS:
25o Exercício: Resolver o limite lim
x 1
x 2  6 x7
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x1
x 2  5x  4
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x 1
x 1
26o Exercício: Resolver o limite lim
27o Exercício: Resolver o limite lim
x 1
x 2  x 2
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x1
x 2  3 x 4
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x  4
x 4
28o Exercício: Resolver o limite lim
29o Exercício: Resolver o limite lim
x 2  4 x5
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x5
30o Exercício: Resolver o limite lim
x 2  2 x 3
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
x 2
x 5
x2
4
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Cálculo Diferencial e Integral I
Limite do seno
lim
 0
sen  

1
Exemplo:
sen 2 x 
 2x
sen 2 x 
1  2 x   2
2
x
lim
 lim

x 0 sen 3 x 
x 0 sen 3 x 
1  3x  3
 3x
3x
Limite que define o número “e ”
x
 1
y  lim 1    e
x 
x

Exemplo:
x
a 1
 a

lim 1    e a põe-se
x 
x z
x

 x  az para x    z  
a
x
az
  1 z 
 a
 1
lim 1    lim 1    lim 1     e a
x 
z 
 x
 z
 z  z  
Limites infinitos de funções racionais
Se a função for do tipo y  lim P( x) Q( x) , isto é,
x 
 a x n  a n 1 x n 1    a 2 x 2  a1 x  a 0
y  lim  n m
m 1
x  b x  b
   b2 x 2  b1 x  b0
m 1 x
 m
 
 a xn  0 
 a n nm 
   lim  n


 ,
x
  x  b x m  0   xlim


 m
    bm
 a xn  0  0    0  0  0 
 a xn
  lim  n
y  lim  n m
m

x  b x  0  0    0  0  0 
 m
 x    bm x
Assim, se n  m  y   , se n  m 

a

  lim  n x n  m  .

 x   b
 m


y
an
e se m  n 
bm
y  0.
Exemplo:
1)
 5x 2 

 , o resultado daria
(indeterminação)
lim  2
x  2 x  3 



 5x 2 
 5x 2  5
 x2  5
5
  lim  2   lim  2   lim 1 
lim  2
x  2 x  3 
x  2 x
x


x


2



 2
x  2
5
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Cálculo Diferencial e Integral I
LISTA DE EXERÍCIOS:
3x 4  x 3  2 x
x  x 4  6 x 2 1
31o Exercício: Resolver o limite lim
3x 3  4 x 2  x
x 
x 2  3x  1
32o Exercício: Resolver o limite lim
3x 2  x  1
x  x 3  4 x  3
33o Exercício: Resolver o limite lim
x 3  4 x 2  12 x
x  2 x 3  2 x  4
34o Exercício: Resolver o limite lim
35o
3x 2  x  1
Exercício: Resolver o limite lim 3
x  x  4 x  3
3x 5  x 2
x  x 2  3 x  2
36o Exercício: Resolver o limite lim
DERIVADAS
A derivada, por definição é:
f x  
df x 
f x  x   f x 
.
 lim
dx
x
x  0
Primeira fórmula de derivação
Para u  u (x) função de x e A constante


dy
du

 A   nu n 1 
dx
d x 

y  1u n


dy
du

 1   nu n 1 
dx
d x 

y  1x n


dy
d x

 1   nx n 1 
dx
d x 

y  Au n


dy
du

 A   nu n 1 
dx
d x 

y  un

dy
du
 nu n 1 
dx
dx
y  xn

dy
 nx n 1
dx
y  Au n

Para u  u  x  e v  v x  funções de x e A e B constantes
1)
d
A v  A d v
d x
d x
para v  vx 
2)
d
u  v   d u  d v  u   v
dx
dx dx
6
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3)
d
 A u  B v   A d u  B d v  Au   Bv
dx
dx
dx
4)
d
u  v  d u  v  u  d v  u   v  u  v
dx
dx
dx
5)


d
 A u  B v  AB d u  v  u  d v   ABu   v  u  v
dx
d x
d x
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LISTA DE EXERÍCIOS:
1
.
x3
1
.
y
x3
1
.
y
3 3 x2
3 5
y
x .
2
3 3
y
x .
4
1
y   3 x2 .
4
2
y  x  4x
2
f x   2
x
3
x
3x
y

2
2
3
y x
1

f  x    3x    6 x  1
x

37o Exercício: Calcular a derivada da função y  
38o Exercício: Calcular a derivada da função
39o Exercício: Calcular a derivada da função
40o Exercício: Calcular a derivada da função
41o Exercício: Calcular a derivada da função
42o Exercício: Calcular a derivada da função
43o Exercício: Calcular a derivada da função
44o Exercício: Calcular a derivada da função
45o Exercício: Calcular a derivada da função
46o Exercício: Calcular a derivada da função
47o Exercício: Calcular a derivada da função
48o Exercício: Calcular a derivada da função y 
49o Exercício: Calcular a derivada da função y 
x5
x2

x
ab ab
x  13
3
x 2
50o Exercício: Calcular a derivada da função y  x2 x  13x  2
1
.
x3
1
52o Exercício: Calcular a derivada da função y 
.
3
x
1
53o Exercício: Calcular a derivada da função y 
.
3 3 x2
51o Exercício: Calcular a derivada da função y  
7
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54o Exercício: Calcular a derivada da função y  
55o Exercício: Calcular a derivada da função y 
Cálculo Diferencial e Integral I
3 5
x .
2
3 3
x .
4
56o Exercício: Calcular a derivada da função y  
13 2
x .
4
 1 
57o Exercício: Calcular a derivada da função y  sen 
 .
 x
 
58o Exercício: Calcular a derivada da função y  4 x 2 cos 3x 4 .
59o Exercício: Calcular a derivada da função y 
60o Exercício: Calcular a derivada da função y 
2
.
sen  x 
x 1
.
2 x3
61o Exercício: Calcular a derivada da função y  
x
x
2
4

3
.
62o Exercício: Calcular a derivada da função y  x cos 3 x  .
8
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RESPOSTAS DOS EXERÍCIOS




1o Exercício: D  x   / (  x   ) ; I  y   / (  y   )
Y
5
y  3 x  5
2
X
0 1
2o Exercício: D  x   / (  x   ); I  y   / (  y   )
Y
X
0
1
3
y  3x  3
6
3o Exercício: D  x   / (  x   ); I  y   / (  y   )
Y
y  3x  4
X
1
0
1
4
4o Exercício: D  x   / (  x   ); I  y   / (  y   )
Y
0
2
X
1
y  2  4 x
6
9
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Cálculo Diferencial e Integral I
5o Exercício: D  x   / (  x   ); I  y   / (  y   )
Y
0
1
X
1
y  5 x  1
6
6o Exercício: D  x   / (  x   ); I  y   / (  y   )
y  4x  8
Y
1
0
X
4
8


7o Exercício: D  x   / (  x   ); I  y   / (1,5  y  )
y
x2
x Y
2
 2 1
1
0
2 X
1
 1,5
2


8o Exercício: D  x   / (  x   ); I  y   / (  y  1)
Y
 2 1
y  2 x 2  3x
0,75
2 X
0
1
 1,125
2
10
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
Cálculo Diferencial e Integral I

9o Exercício: D  x   / (  x   ) ; I  y   / (  y  3,5)
Y
 2 1
2
1
0
X
 3,5
y

x2 1
2

10o Exercício: I  y   / (  y  1) D  x   / (  x   )
Y
 2 1
0,75
2 X
y  2 x 2  3x
0
1
 1,125
2

11o Exercício: D  x   / (  x   ); I  y   / (0,5625

 y  )
Y
y  4 x 2  3x
 0,375
X
0 0,5625




12o Exercício: D  x   / (  x   ) ; I  y   / (8  y   )
8
2
1 0
Y
y  4x 2  8
2
X
1
4
8
11
Prof. Amintas Paiva Afonso
Notas de aula


Cálculo Diferencial e Integral I


13o Exercício: D  x   / ((  y  2 )(2  y   ) ) ; I  y   / (  y   )








14o Exercício: D  x   / ( x  2 ) ; I  y   / (  y   )
15o Exercício: D  x   / ( x  0) ; I  y   / (  y   )



16o Exercício: D  x   /    x  2  2  x    ; I  y   / (  y   )



17o Exercício: D  x   / (2  x  2) ; I  y   / (0  y  2 )




18o Exercício: D  x   / (  x  2)  (2  x  ) ; I  y   / (0  y   )






19o Exercício: D  x   / (  y   ) ; I  y   / (3  x  3 )
y3
Y
X
y  3




20o Exercício: D  x   / (  y   ) ; I  y   / (1  x  1 )
y2
Y
X
y  2




21o Exercício: D  x   / (  y   ) ; I  y   / (5  x  5 )
y5
Y
X
y  5




22o Exercício: D  x   / (  y   ) ; I  y   / (4  x  4 )
y4
y  4
Y
X
12
Prof. Amintas Paiva Afonso

Notas de aula
Cálculo Diferencial e Integral I






23o Exercício: D  x   / (  y   ) ; I  y   / (1  x  1 )
y 1
y  1

24o Exercício: D  x   / (  y   ) ; I  y   / (1  x  1 )
y 1
y  1
25o
Exercício: 8
37o Exercício:
dy 3

dx x 4
27o Exercício: 3
dy
3 1

dx
2 x5
dy
2
39o Exercício:

dx 9 3 x 5
28o Exercício: -5
40o Exercício:
dy
15 3

x
dx
4
29o Exercício: 6
41o Exercício:
dy 9

x
dx 8
30o Exercício: 
42o Exercício:
dy
1 1

dx
63 x
43o Exercício:
dy
 2x  4
dx
26o Exercício: 3
38o Exercício:
31o Exercício: 3
32o Exercício: 
33o
Exercício: 0
34o Exercício:
1
2
35o Exercício: 0
36o Exercício: 
44o Exercício: f x   
2
x3


45o Exercício:
dy
3 2

x 1
dx
2
46o Exercício:
dy
1
 3
dx
3 x2
47o Exercício:
df x 
1
 32 x  2  3
dx
x
13
Prof. Amintas Paiva Afonso
Notas de aula
I
4
48o Exercício:
dy 5 x
2x


1
dx a  b a  b
dy 3 x  12  x  1
49o Exercício:

dx
2x 5
2


Cálculo Diferencial e Integral
56o Exercício:
dy
1 1
 3
dx
6 x
57o Exercício:
dy
1
 1 

cos 

3
dx
 x
2 x
58o Exercício:
 
 
dy
 8 x cos 3 x 4  48 x 4 sen 3x 4
dx
50o Exercício:
dy
 2 9x 2  x  1
dx
51o Exercício:
dy
3
 4
dx x
59o Exercício:
52o Exercício:
dy
3 1

dx
2 x5
x
60o Exercício: dy  3 
2
dy
2
53o Exercício:

dx 9 3 x 5
54o
dy
15 3

x
Exercício:
dx
4
55o Exercício:
2 cos x 
dy

dx
sen 2 x 
dx
4x
x
2
61o Exercício: dy  2x  2
5
dx
x
2
 4
62o Exercício:
dy
 cos 3 x   3x cos 2 x sen x 
dx
dy 9

x
dx 8
1