Ficha3

Matemática II
2013/14
Cursos: Gestão
Departamento de Matemática, ESTG-IPBragança
Ficha Prática 3: Funções de Várias Variáveis (parte 1).
1.
3
Seja f (x, y)  x  3 xy . Determinar as expressões.
(a) f (2,1)
(b) f (1,2)
(d) f (t, t 2 )
(e) f (x  y, x  y)
 1 1
(c) f   ,  
 2 3
(f) f (3a,a)
2.
Determinar g  u(x, y), v(x, y)  se g(x, y)  ysen(x 2 y), u(x, y)  x 2 y3 , v(x, y)  xy .
3.
Seja f (x, y, z)  xy 2 z3  3 . Determinar as expressões abaixo indicadas.
(b) f (3,1,2)
(a) f (2,1, 2)
4.
Esboçar o domínio natural de f. Para cada alínea, indicar um ponto interior, um ponto
exterior e um ponto de fronteira do domínio.
(a) f (x, y)  ln(1  x 2  y 2 )
(d) f (x, y)  xe
5.
(c) f (x, y) 
4  x2
(e) f (x, y)  2
y 3
(f) f (x, y)  x 2
lim
( x,y) (0,0)
3
x  2y2
2
(b)
lim
( x,y) (0,0)
xy
2x 2  y2
(c)
lim
(x,y)  (0,0)
xy
x 2  y2
Usar as leis do limite e as propriedades de continuidade para calcular o limite em cada
caso.
(a)
7.
 y2
1
x  y2
(b) f (x, y)  x 2  y 2  4
Mostrar que o limite não existe, para cada caso, considerando os limites quando
(x, y)  (0,0) ao longo dos eixos coordenados.
(a)
6.
(c) f (t, t 2 ,  t)
lim (4xy 2  x)
( x,y)  (1,3)
(b)
xy3
( x,y) ( 1,2) x  y
(c)
lim
lim
(x,y)  (0,0)
x 3 y3  2x
Esboçar a maior região na qual cada função é contínua.
(a) f (x, y)  yln(1  x)
(d) f (x, y)  xe
ESTG/IPB
 y2
(b) f (x, y)  x  y
(c) f (x, y)  e1 xy
4  x2
(e) f (x, y)  2
y 3
(f) f (x, y)  x 2
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Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar
Matemática II - Gestão
8.
Determinar z
x
ESTG-IPB
e z
y
Ficha Prática 3
.
2 3
(a) z  4ex y
9.
pg 2

3
(c) z 
(b) z  x 3 ln(1  xy 5 )
xy
x  y2
2
Determinar f x (x, y) e f y (x, y) .
(a) f (x, y) 
xy
xy

(c) f (x, y)  x 2 cos(xy)
3
(b) f (x, y)  y 2 arctg( x )
y
10. Seja f (x, y)  4x 2  2y  7x 4 y 5 . Determinar as derivadas parciais abaixo indicadas.
(a) fxx
(b) f yy
(c) f xy
(d) f yx
11. Seja z  xy ln(xy) . Determinar as derivadas parciais abaixo indicadas.
 2z
x 2
(e)
(f)
2 z
y2
(g)
2 z
xy
(h)
2 z
yx
12. Mostrar que a função z  ex sen(y)  e y cos(x) satisfaz a equação de Laplace
z z

 0.
x y
2
2
2
2
13. Calcular z
x
e z
(a) (x 2  y 2  z 2 )
14.
3
2
y
1
usando diferenciação implícita.
(b) ln(2x 2  y  z3 )  x
(c) xz  1
2
2
2
Utilizar derivação parcial implícita para mostrar que o declive da esfera x  y  z  1
2 1 2
3 3 3
na direcção do eixo dos yy, no ponto  , ,  , é igual a 
1
.
2
Bibliografia.
Cálculo (vol. II), H. Anton, I. Bivens, S. Davies
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