x - Universidade dos Açores

UNIVERSIDADE DOS AÇORES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1º Ano
1º Semestre
Licenciaturas em: Economia; Gestão
29/01/2008
Duração: 2h
Matemática I
Exame-época normal
Apresente todas as justificações bem como todos os cálculos que tiver de efectuar.
___________________________________________________________________________________
[1.5] 1. Determine os intervalos de monotonia e extremos da função f ( x ) = ln(1 + x ) − x .
[1.5] 2. Numa fábrica o custo (em euros) para produzir
x artigos por dia é de P ( x) =
e o preço (em euros) de venda de cada artigo é de 50 −
1 2
x + 35 x + 25 ,
4
1
x . Determine qual deverá ser a produção
2
diária para obter um lucro máximo.
3.Calcule
ln(1 + 5 x)
x→+∞ ln(1 + 3 x )
[1.0] 3.1 lim
[1.0] 3.2
lim ( x )
x→+∞
1
x
4. Considere as regiões do plano R1 e R2 , limitadas, pelas curvas indicadas:
R1 : x = 2; y = 0; y =
x
1
;y=
2
1+ x2
[1.0] 4.1 Esboce e sombreie as regiões
R2 : x = 0; y =
1
1
;y=
2
1+ x2
R1 e R2 .
[1.0] 4.2 Utilizando integrais definidos, indique, para cada uma das regiões R1
e R2 , uma expressão
que lhe permita calcular a sua área.
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5. Calcule
1
[1.5] 5.1
e2x
∫ 1 + e x dx,
fazendo e x = t.
0
[1.5] 5.2
∫ (x
2
ln x ) dx , utilizando o método de primitivação por partes.
3 ln 3 x
[1.0] 5.3
∫
e
3
dx .
0
0
6
⎡− 1
⎢− 1 3
4
2
6. Considere as matrizes A = ⎢
⎢0
1
3
⎢
1
⎢⎣ 1 − 2 − 4
[2.0] 6.1 Verifique que
0⎤
⎡− 6 ⎤
⎥
⎢ 5⎥
1
2⎥ e B = ⎢ − 1 ⎥
⎢− 4 ⎥
1⎥
⎥
⎢ 5⎥
1
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎥
2⎦
AB = 3B .
2
[0.5] 6.2 Utilize o resultado anterior para calcular A B.
⎧ x− y =b
⎪
7. Considere o sistema de incógnitas x, y, z : ⎨ x − 2 y = − z .
⎪x + y − 2z = b
⎩
[1.5] 7.1 Discuta-o segundo o parâmetro b .
[1.0] 7.2 Resolva-o quando b = 0.
⎡ 2 − 1 3⎤
⎢
1 1⎥⎥ .
[2.0] 8. Determine os elementos da 1ªlinha da inversa da matriz A = 0
⎢
⎢⎣− 1 − 2 0⎥⎦
⎧z − y + x − 2 = 0
⎪
[2.0] 9. Determine x utilizando a Regra de Cramer, no sistema ⎨ 2 x + y − z = 1 . Deverá usar a
⎪ 3x + 2 = y + z
⎩
Regra de Sarrus no cálculo dos determinantes.
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