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INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Unidade
Métodos Matemáticos 1
Curricular
Departamento Matemática
Curso T.D.M.
Ano
1º
Semestre
Ano
Lectivo
1º
2006/2007
Ficha nº 2.0
1. Determine, utilizando a definição, a derivada das funções nos pontos indicados:
1.1-
1.2-
f ( x ) = 1 − x + 12 no ponto x = −3 .
f ( x) = 3 x no ponto x = 0 .
⎧⎪ x 2
se
1.3- f ( x) = ⎨
⎪⎩ x − 2 se
x<2
x≥2
, no ponto x = 2 .
2. Determine, utilizando a definição, a função derivada de cada uma das funções:
2.1-
⎧ 2
se
⎪−
2.2- f ( x) = ⎨ x
⎪ x + 5 se
⎩
f ( x) = cos x ;
2
1
⎧ 2
⎪ x sen
3. Seja f ( x) = ⎨
x
⎪⎩0
se
se
x≠0
x ≤ -1
.
x > −1
. Mostre que f (x) tem derivada no ponto x = 0 .
x=0
4. Seja f uma função tal que a sua derivada, no ponto 2, é igual a 3. Indique o valor de
lim
x→2
f ( x) − f (2)
.
4 − x2
(A) 0
(C) −
(B) 3
3
4
(D)
4
3
5. A recta de equação y = x é tangente ao gráfico de uma certa função f, no ponto de abcissa 0.
Qual das seguintes expressões pode definir a função f?
(A) x2+ x
(B) x2+ 2x
(C) x2 + 2x + 1
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(D) x2 + x + 1
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2006/2007
6. Na figura estão representadas três funções, a função f ′, f ′′ e f ′′′ . Faça corresponder a cada uma
das funções o respectivo gráfico.
7. Aplicando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das funções
definidas por:
(
)
2
7.2- y =
7.1- y = 4 x 3 − 2 .
(
7.3- y = ln x + 1 + x 2
).
( x + 4 )2 .
x+3
(
)
7.4- y = e x 1 − x 2 .
7.5- y = e x ln (sen x ) .
7.6-
y = a ln x .
7.7- y = x ln x .
7.8-
y = log 2 (3 x 5 − 2) .
8. Considere a função real de variável real definida por
⎧ln(3 − x ) − 1
f ( x ) = ⎨ x−2
⎩− e
se
se
x<2
x≥2
.
8.1. Verifique que a função tem derivada no ponto de abcissa 2.
8.2. Defina a derivada da função f .
8.3. Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.
9. Considere a função real de variável real definida por f ( x) = ln 4 x + 3 cos x .
9.1. Mostre que a recta tangente à curva que representa o gráfico da função, no ponto de abcissa
π , tem equação y = −4 + ln 4π +
x
π
.
9.2. Escreva uma equação da recta normal à curva do gráfico da função no ponto de abcissa π .
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10. Calcule a derivada de ordem n das funções cujas expressões são:
10.1. y = cos x
10.2. y = log a x
10.3. y =
1
ax + b
11. Escreva a fórmula de Taylor de grau n com resto no ponto a para as seguintes funções:
11.1. f ( x ) =
1
, com a = 0 e n = 3;
1− x
11.2. f ( x ) = 1 + x , com a = 0 e n = 3;
11.3. f ( x ) =
1
, com a = 5 e n = 5.
( x − 4) 2
11.4. f ( x ) = e − x , com a = 0 e n = 5;
11.5. f ( x ) = senx , com a = 0 e n = 4.
x
12. Considere a função f definida por f ( x ) = e 2 .
−
12.1. Calcule a derivada de ordem n, da função f.
12.2. Determine o polinómio de Taylor de f , de grau 3 com resto de Lagrange centrado no
ponto 1.
d
2e 2 x
2x
(ln(1 + e )) = 1 + e 2 x
usando:
13. Mostre que dx
13.1. O teorema da função composta.
13.2. O teorema da função inversa.
14. Sendo g ( x) = 3 − 4 x e h( x) = x 2 + 2 x − 1 , calcule:
( )′
′
14.1. (h o g ) .
14.2. g −1 .
15. Calcule as derivadas das seguintes funções, utilizando o teorema da derivada da função composta:
15.1.
h = f o g , com f ( x) = 4 x 2 − 1 e g ( x) = x 2 − x .
15.2.
f − x2
[(
) ] ⋅ g [sen (3x )].
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16. Calcule, caso exista, cada um dos seguintes limites:
e x tgx
.
x → 0 sen (2 x )
ln(sen 5 x)
.
π
2x − π
x→
16.2- lim
16.1. lim
2
e senx − e cos x
16.4- lim
.
π
x → senx − cos x
2⎞
⎛ 2
− ⎟ .
16.3- lim⎜ x
x →0 e − 1
x⎠
⎝
4
⎛
1
x +1⎞
⎟ .
−
x →0 ln( x + 1)
x ⎟⎠
⎝
16.5- lim⎜⎜
16.6- lim x ln x .
ln x
16.7- lim 2
.
x → +∞ x + 3
⎛ 1 ⎞x
16.8- lim ⎜ ⎟ .
x → +∞ x
⎝ ⎠
x →0
1
tgx
1
⎛1⎞
16.9- lim+ ⎜ ⎟ .
x →0 ⎝ x ⎠
16.10- lim x 1+ ln x
x → +∞
1
16.11- lim t
t → +∞
ln t
16.13- lim+ (1 + t )
t →0
1
2 senx
16.12- lim+ (1 + x )
.
ln t
.
x →0
16.14- lim+ (cos 2 x)
.
x →0
1
16.15- lim (e x + 3 x) 2 x .
+
x →0
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1
x
.
.
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Lectivo
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