83 – MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO

83 – MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO
CRITÉRIOS DE CORRECÇÃO e algumas indicações de resolução
EXAME de 12 de Setembro de 2006
Obs. Serão dadas algumas respostas e, em alguns casos, mais algumas indicações sobre
o processo de realização do problema. Os esboços de gráficos não estão feitos à escala.
1ª Questão
a) 2 valores.
lim C x  =100
x  
Quanto maior for o número de mesas fabricadas, menor é o custo médio de cada uma e
esse custo, por muitas mesas que se fabriquem, nunca será inferior a 100 euros.
b) 1 valor.
C x   200000
1
<0. Logo C x  é decrescente, como se observa no gráfico da
x2
alínea a), estando de acordo com a explicação dada.
2ª Questão 2 valores
Uma aproximação linear de uma função é dada por f x  f a   x  a f a .
Atendendo aos dados do problema, vem
1/ 2
f ( x)  1  x = 1  x  ;
f 0  1
f x   
1 1
;
2 1 x
f 0   
1
2
1
x.
2
0,9  1  0,1 , tem-se x=0,1. Donde,
Donde, f ( x)  1  x  1 
Como
Procedendo de igual forma, vem
0,9  0,95 .
0,09  0,995 .
3ª Questão 3 valores
1
A série dada é uma série geométrica de razão
x3
. Para a série ser convergente tem
2
x3
 1 . Donde, -5<x<-1, para a série ser convergente. Para estes
2
2
valores de x, a soma da série é dada por s  
. (Ter em atenção que o 1º termo da
x 1
série é 0).
que verificar-se que
4ª Questão 2 valores
Fazer a=2000 e b=2006.
Vem
2006
2006
1
1
=
f
(
t
)
dt

 f (t ) dt .
2006  2000 2000
6 2000
t4
t3
t2
Uma primitiva de f t  é
 7  17  190t .
4
3
2
2006
2006

1  t 4 7 3 17 2
1
=
f
(
t
)
dt
  t  t  190 t  . O cálculo final obtém-se completando a

64 3
2
6 2000
 2000
fórmula de Barrow.
5ª Questão
a) 2 valores
Resp.: 39/2
b) 3 valores
2
1
x2
P
= P x 2 x1  x 2 
2 2

2 u 
(1  x )
v
1
x

 arctg x   C

2
2  1 x

c) 2 valores
Resp.:
x
x
sen t
dt
t
3
. Trata-se de uma indeterminação do tipo 0/0. Pode
x3
x
sen t
x
dt = lim

t
x 3
x 3 x  3 3
aplicar-se a regra de L’Hôpital, achando o limite quando x  3 do quociente da
derivada do numerador (observar que se trata de um produto!) e da do denominador. O
integral é um integral indefinido, pelo que a sua derivada é dada pelo teorema

 x sen t 
sen x
fundamental do Cálculo integral. Ou seja,  
.
dt  
t
x
3

Resp.: sen 3
lim
2
d) 3 valores
Em primeiro lugar é necessário estudar cada uma das funções e representá-las para se
poder definir a área a calcular.
Mostra-se que o gráfico é do tipo seguinte:
Obs: O aluno
tem que indicar
os cálculos
necessários para
chegar aos
gráficos.
A parte tracejada indica a área a calcular, que é dada por:
1
5
0
1
 x ln x  5 ln x dx   5 ln x  x ln xdx .
O primeiro integral é impróprio de 2ª espécie.
1
5
0
a 0 a
 x ln x  5 ln x dx  lim  x  5ln x dx .
 x2

1
Mostra-se que Px  5ln x    5x  ln x  x 2  5x .
4
 2

Resolvendo o integral, verifica-se que é divergente (+). Como o outro integral é
definido, o seu valor é um número real. Assim, o integral dado é divergente.
3