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(Aula01-Top.2) Operações com Funções 5
EXERCITANDO(Aula01-Top2)
Nos exercícios 1 e 2, dadas as funções f e g, encontre f  g , f  g ,
f
,
g
fg,
fof , fog, gog e gof :
1. f ( x)  1  x e g( x)  x 2  1;
2. f (x)  x 2  1 e
2
x 1
2
g(x)  x 2  1 .
x 1
3. Se f ( x )   x 2  x  1 e ( fog )( x )   x 2  3x  1, encontre g ( x ).
4. Sendo f (x)  x 2  2x  1 e (fog)(x)  4x 2  8x  4, ache g ( x ).
5. Para f (x)  x 2  2 e (gof )(x)  2x 4  5x 2  2, determine g ( x ).
6. Diz-se que uma função f é par se f ( x )  f (  x ) e é ímpar se f (  x )   f ( x ), para
todo x e x no domínio de f. Mostre que:
(a) A soma e a diferença de funções ímpares, são funções ímpares;
(b) O produto e o quociente de funções ímpares, são funções pares.
7. Mostre que toda função definida num intervalo do tipo [ a , a ], pode ser escrita como
uma soma de uma função par e uma função ímpar. Sugestão: considere
f (x) + f (- x)
g(x) =
e h(x) = f (x)- 2f (- x) , verifique que g é par e h é ímpar, além disso
2
f (x)  g(x)  h(x). Decomponha a função f ( x )  x 2  x  1 como uma soma de uma
função par e uma ímpar.
8. Duas funções f :A1  B1 e g:A2  B2 são iguais, se A1  A2 , B1  B2 e f ( x )  g ( x )
para todo x em A1 . Mostre que:
(a) A operação composição é associativa;
(b) A inversa de gof é f 1og 1 , se f e g são invertíveis;
(c) Se a inversa de uma função existe, então ela é única.
9. Seja f (x)  2x 2  3x  1 cujo domínio é  , 34  :
(a) Mostrar que f tem inversa;
(b) Achar a inversa, o domínio e a imagem da inversa.
10. Resolva o problema anterior, onde o domínio de f é  34 ,   .
11. Sejam a função f ( x )  3 x 2  2 x  2 e g uma função de y definida por x  g(y),
determine:
(a) O domínio de f;
(b) A maior restrição possível ao domínio de f para que g seja a inversa de f;
(c) A equação que define g e o seu domínio.
+b
12. Sejam A = R - {- dc }, B = R - {- ac } e f : A ® B definida por f (x) = ax
. Mostre
cx + d
que f possui inversa se, e somente se, ad  bc  0. Encontre a inversa da função f.
RESPOSTAS (Exercícios ímpares)
 
1. ( f  g)( x)  x 2  x, ( f  g)( x)   x 2  x  2, ( fg)( x )   x 3  x 2  x  1,  f ( x )   1 ,
g
x 1
( fof )( x )  x , ( fog )( x )   x 2  2 , ( gog )( x)  x 4  2 x 2 e ( gof )( x)  x 2  2 x;
3. g ( x )  x  1 ou g ( x )   x  2;
5. g ( x )  2 x 2  3x;
7. g( x )  x 2  1 e h( x )  x;
(Aula01-Top.2) Operações com Funções 6
9. (b) f 1 (x) 
3  1  8x
,
4
 
 
1
3
D f 1    ,   e I f 1   ,  .
4

 8

11. (a) D(f )  R, (b) (,1] ou [1,), (c) g( y)  1  y 3  1 ou g( y)  1  y 3  1
D(g)  [1,)
e