Determinação de Domínio

Determinação de Domínio
Existem algumas restrições no domínio, são elas:
i - Não existe raiz quadrada de número negativo (e nenhuma outra raiz de índice par);
ii - Não existe divisão por zero;
iii - Não existe logaritmo de número negativo ou de zero;
iv - Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1;
v - Não existe tangente de 90° nem de 270°.
De todas estas restrições para o domínio, as mais importantes e mais pedidas, com
certeza são as duas primeiras.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dada a função
imagem:
, definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua
SOLUÇÃO:
Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0,
} e o contradomínio são todos números
reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que
está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,
então f(-3)=19
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1
- f( )=2.( )²+1, então f( )=11
Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto
imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}
2. Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine:
a) O Domínio:
b) A imagem
c) f(5)
d) f(12)
SOLUÇÃO:
a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada
D={5, 12, 23}.
b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há
relacionamento com o Domínio, então:
Im={7, 14, 25}
c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do
ponto 5. f(5)=7
d) Como no exercício anterior: f(12)=14.
3. UCSal - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) =
2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:
a) -5
b) -4
c) 0
*d) 4
e) 5
SOLUÇÃO:
Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1
Logo, 2.g(x) = - 4x +4  g(x) = -2x + 2
Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4.
Logo, a alternativa correta é a letra D.
4. Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a  a = - 15
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b  b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.
5. Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou
seja: x1 x2  f(x1)  f(x2) .
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
6. Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais  tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).
Solução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u x = u + 5
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40
7. UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,
para todo x R, pode-se afirmar que b/a é igual a
a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3
Solução:
Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, vem, igualando:
a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:
2ax2 + a + b = -2x2 + 2
Então, poderemos escrever: 2a = -2 a = -2 /2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3
Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.
8. Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3  y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.
9. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog  gof .
10. O gráfico a seguir, representa uma função e a sua inversa.
Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
11. A função f: R  R , definida por f(x) = x2 :
a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) =  x
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = -  x
*c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora
SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa.
Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos
distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a
função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.
Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é
o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que
é igual a R. A alternativa correta é a letra C.
12. Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a
igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
*a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc
SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b  fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d  gof(x) = cax + cb + d
Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d
Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b  d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir
que a alternativa correta é a letra A. .
13. Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par.
SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x
= 2 - u.
Substituindo, fica: f(u) = 2(2 - u) + 1  f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.