funções compostas

MATEMÁTICA – A1
Resolução:
Determinando as somas:
AULA 10
f(x) + g(x) = x 2  2x  3 
FUNÇÃO COMPOSTA
Sejam as funções f: A  B e g: B  C, chama-se
função composta de g com f à função h: A  C tal que
h(x) = g[f(x)] = g o f(x).
f(x) + g(x) = x 2 
1
x 1
2
3
x 4
2
e
1
x  1  x 2  2x + 3
2
5
g(x) - f(x) =  x 2  x + 2
2
Analisando as proposições:
1. Falsa, pois f(x) + g(x) é uma parábola e por tanto possui
dois zeros.
2. Verdadeira, pois  a,b[2,5] se a < b tem-se h(a) < h(b)
onde h(x) = f(x) + g(x).
g(x) - f(x) =
3. Verdadeira, pois sendo g(x) – f(x) =
5
 x 2  x + 2 >0
2
para qualquer x que pertence ao intervalo (0,3).
4. Falsa, pois
(fog)(0) = f(g(0)) = f(-1) = 0

5

(gof)(0) = g(f(0)) = g(-3) = - 2
R: Alternativa a
EXERCÍCIOS DE SALA
01) Sejam f e g duas funções reais tais que f(x) = 2x – 1
e g(x) = x2 – 2. Então a função (fog)(x) é igual a:
a) 2x2 – 3
b) 2x2 + 3
2
c)
2x – 5
d) 2x2 + 5
2
e) 2x - 1
03) (ACAFE) Dadas as funções reais f(x) = 2x - 6 e
g(x) = ax + b, se f[g(x)] = 12x + 8, o valor de a + b, é:
a) 10
b) 13
c)
12
d) 20
e) 8
Resolução:
Resolução
(fog)(x)  f(x  2)
g  x   6x  7
2
(fog)(x)  2(x 2  2)  1
Mas,
(fog)(x)  2x 2  4  1
g  x   ax  b
(fog)(x)  2x 2  5
Então :
a  b  13
R: Alternativa c
1.
2.
3.
4.
A função f(x) + g(x) tem exatamente três zeros.
A função f(x) + g(x) é crescente no intervalo [2,5].
A função g(x) – f(x) é positiva no intervalo aberto (0,3).
Quando x = 0, tem-se (fog)(x) = (gof)(x).
a)
b)
c)
d)
e)
Assinale a alternativa correta.
Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.

2g  x   6  12x  8
(fog)(x)  f(g(x))
02) (UFPR) Considere as afirmativas abaixo a respeito
1
das funções f(x)  x 2  2x  3 e g(x)  x  1 , com
2
x  R:

f g  x   12x  8
R: Alternativa b
04) O gráfico abaixo representa a função f(x), definida
no intervalo [–1, 4].
Considerando que g(x) = f(x–2), assinale o que for
correto.
1
MATEMÁTICA – A1
01.
02.
04.
08.
g(1) + g(4) = 1
g(5) = –1
f(g(2)) = 1
g(f(0)) = 0
Analisando o gráfico
01.
g 1  f  1  0
g  4   f  2  1
g 1  g  4   1
 verdadeira 
02. g  5   f  3   1
04.
08.
 verdadeira 
g  2  f 0   1
f  g  2    f 1  1
 verdadeira 
f 0  1
g  f  0    g 1  f  1  0
 verdadeira 
Soma: 15
REGRA PRÁTICA
Dada uma função bijetora f: A  B a sua função
inversa será a função f 1 : B A, cuja sentença é assim
obtida:
1º)
substituí-se na sentença de f, "x" por "y" e "y" por "x".
2º)
isola-se
f 1 (x).
AULA 11
"y"
num
dos
membros,
Obtendo-se
FUNÇÃO INVERSA
EXERCÍCIOS DE SALA
DEFINIÇÃO
Seja f : A  B uma função. Se existir uma função
g: B  A tal que:
f  gx   g  f x   x
a)
Dizemos que g : B  A é a função inversa de f e se
indica por f 1.
2x  5
uma função com
3
domínio sobre a reta real. A função que expressa a
inversa de f é:
3x  5
f 1  x  
2
3x  5
1
f (x) 
2
3x

5
f 1(x) 
2
2x  3
f 1(x) 
5
3x  2
1
f (x) 
5
01) (UDESC)
b)
c)
d)
e)
2x + 5
3
2y + 5
x=
3
3x = 2y + 5
3x - 5 = 2y
3x - 5
=y
2
f (x) =
TEOREMA
Se a função f : A  B admite inversa então,
necessariamente a função f e bijetora.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Os gráficos de f e f 1 são simétricos em relação à
bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º).

f -1(x) =
3x - 5
2
Resposta: a
2
Seja
f(x) 
MATEMÁTICA – A1
02) Determine
a
função
inversa
da
função
f : IR  IR definida por f x   2x  4 e construa os
gráficos das duas funções em um mesmo sistema
de referências.
f(x)  2x  4
x  2y  4
x4
y
2

02) Considere as funções reais f e g tais que f(x) = x + 3
2
e g(x) = x - 4. O valor de f 0 g(2) é:
a) 1
b) 2
c)
3
d) 4
e) 5
g  2   22  4
g  2  0
 
f  g  2  0  3
f  g  2  3
f g  2   F(0)
x4
f 1  x  
2
Resposta: c
03) (UDESC) Se f : IR  {3}  IR  {a} definida por
1
é inversível, então, o valor de a é:
f(x) 
x3
a) 3
b) 5
c)
–3
d) 0
e) 2
03) Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = x + 3 e
2
g(x) = x - 4. O valor da expressão [f(g(2)) + g(f(1))] é
igual a:
a) 0
b) 15
c)
-15
d) 20
e) 12
   
f  g  2    g  f 1   3  g  4 
2
f  g  2    g  f 1   3   4   4
f  g  2    g  f 1   15
f g  2   g f 1  3  g 1  3 
Resolução:
1
1
y
x3
x3
Trocando x por y e y por x:
f(x) 
1
x
y 3
x(y  3)  1
1
1
y   3  f 1(x)   3
x
x
Assim, x  0.
Resposta: b
04) Considere as funções reais f e g tais que f(x) = x + 3
e g(x) = 2x - 5. A função (g 0 f)(x) é definida como
sendo:
a) x + 1
b) 2x + 3
c)
x-1
d) 2x + 5
e) 2x + 1
R: Alternativa d
 
g  f  x    2  3   5
g  f  x    2x  6  5
g  f  x    2x  1
g f  x   g  x  3
EXERCÍCIOS-TAREFA
AULAS 10 e 11
01) Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = x + 3 e
g(x) = x2 - 4. O valor da expressão [f(2) + g(1)] é
igual a:
a) 0
b) 1
c)
-1
d) 2
e) -2
f  2   g 1  2  3  1  4
2
f  2   g 1  5  3
f  2   g 1  2
Resposta: d
Resposta: e
05)
a)
b)
c)
d)
e)
Se f(x + 1) = x2 +2, então f(3) é igual a:
2
4
6
11
18
f  x  1  x 2  2
f  2  x   22  2
f 3  6
Resposta: c
3
MATEMÁTICA – A1
06) A
função
f:
IR

IR
é
f(8x) = 4f(x). Se f(8) = 16, então f(1) vale:
a) 16
b) 4
c)
8
d) 2
e) 1
tal
que
09) (UDESC) Considere as funções f e g de IR em IR
definidas por:
 x  6, se x  0
f x   
2x  5, se x  0
e
2x 2  5, se x  0
gx    3
x , se x  0
f  8x   4f  x 
f  8.1  4f 1
f  8   4f 1
16
 f 1
4
f 1  4
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta: b
07) Seja f: IR  IR uma
f(3x +1) = 1 – x. Então f(a) é:
a) 1 – a
b) 3a + 1
c)
- 3a
4a
d)
3
e) 4 – 3a
função
tal
que
f  3x  1  1  x
3x  1  y
3x  y-1
y 1
x
3
y 1
3
3  y 1
f y 
3
4y
f y 
3
4a
f a 
3
f  y   1
Resposta: d
08) Se f e g são funções de IR em IR tais que
f(x) = 2x - 1 e f(g(x)) = x2 - 1, então:
x2  2
g x 
a)
2
x2
b)
gx 
2
1
c)
g  x   x2 
2
x2
gx 
d)
3
3x 2
g x 
e)
2


f g  x   x2  1
2g  x   1  x 2  1
x2
2
Alternativa b
gx 
4
Calcule gf 3  .
8
16
27
25
-8
g  3  6 
g 3
33
27
Resposta: c
10) (UDESC)
A
função
f
é
f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas
f(3x + 2), é igual a:
9
1
a)
x
2
2
b)
2x  3
2
c)
x 1
3
d)
3x  2
e) 3x – 2
tal
que
condições,
2x  3  y
2x  y  3
y3
x
2
f  2x  3   3x  2
Então:
 y3
f y  3 
2
 2 
3y  9
f y 
2
2
3y  9  4
f y 
2
3y  5
f y 
2
Resposta: a
f  3x  2  
3  3x  2   5
2
9x  6  5
f  3x  2  
2
9x  1
f  3x  2  
2
11) Uma função f de variável real satisfaz à condição
f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da
variável x. Sabendo que f(2) = 1, podemos concluir
que f(5) é igual a:
1
a)
2
b)
1
5
c)
2
d)
5
e)
10
MATEMÁTICA – A1
f(x +1) = f(x) + f(1)
1
x = 1  f(2) = 2f(1)  f(1) 
2
1
3
x  2  f(3)  f(2)  f(1)   1 
2
2
3 1
x  3  f(4)  f(3)  f(1)    2
2 2
1 5
x  4  f(5)  f(4)  f(1)  2  
2 2
R: Alternativa C.
12) (UFSC) Seja f uma função polinomial do primeiro
grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1.
Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f
corta o eixo x.
Resolução:
Se a função f é de primeiro grau e decrescente, então:
f  x   ax  b
14) Os gráficos das funções reais definidas por
2
x
f(x) = x – 1 e g(x)= k , 1  k > 0, se interceptam num
ponto de abscissa 3. O valor de f(g(k)) é:
ff(x)  x  1
a2 x  ab  b  x 2  1
a2 x  ab  b  x 2  1
a  ab  b  1
Mas, b  2  3a então :
a2  1
a  a  2  3a   2  3a  1
a  1  a  1
2
bb 1
2
a)
b)
c)
d)
e)
2b  1
1
b
2
R: Alternativa E.
16) (ACAFE)
Sendo
f : IR  IR ,
definida
por
f  x   2x  2 , todas as alternativas estão corretas,
a)
b)
exceto.
f(x) é uma função crescente.
O valor de f(0) é igual a 2.
c)
A função inversa de f é dada por f 1  x  
numérico de f  g  1  g  f  1 é:
d)
2
1
0
e)
3
x2
.
2

O gráfico f(x) é uma reta que intercepta o eixo OX no
ponto (1,0).
f(x) é positiva para x  1
 f(x)  2x  2  y  2x  2
3
x  2y  2
1
x2
x2
 f 1(x) 
2
2
 x  1  f(1)  2.1  2  4
R: Alternativa D.
y
g( 1) 3 1  1
f(g( 1))  f(1)  13  2  1
f( 1)  ( 1)2  2  3
g(f( 1))  g( 3) 3
f(x)  ax  b
a(ax  b)  b  x  1
2
13) (UDESC) Sejam as funções f e g dadas por
f  x   x 3  2 e g  x   3 x  2 ; portanto, o valor
k2
   
f  g  2   f  4 
f  g  2    42  1
f  g  2    15
f g  2   f 22
15) Os valores positivos de a e b, sabendo que
(ff) (x) = x + 1 e que f(x) = ax +b são
respectivamente:
a) 1 e 2
b) 3 e 4
c)
2e2
d) 1 e 3
e) 1 e 1/2
a a  b  b  1
R: 05
23  k 3
P  3,8 

f x  0  x  5
8  k3
f 3  8
f f 1  1
2a  a  1  0
Resolvendo a equação:
1
a' = -1 ou a" = (nãoserve)
2
Logo : b  5
Assim : f(x)   x  5, que corta o eixo x em
g 3  k3
f  3   32  1
Como f  3   2  3a  b  2  b  2  3a

g  x   k2
f  g  P  3, y 
1  1
| f(g( 1))  g(f( 1)) |  | 1  ( 1) | 0
17) Consideremos a função inversível f cujo gráfico é
visto abaixo.
R: Alternativa C.
A lei que define f 1  x  é:
a)
b)
y = 3x + 3/2
y = 2x - 3/2
5
MATEMÁTICA – A1
c)
d)
e)
y = (3/2)x -3
y = (2/3)x +2
y = -2x - 3/2
01. Verdadeira
y  x  3
y  03
y3
P1(0,2)
P2 (3, 4)
 0,3 
02. Falsa, f é uma função decrescente pois a< 0.
Na inversa :
04. Verdadeira
P1(2,0)
g  x   x2  1
P2 (4,3)
2a  b  0
f 1(x)  ax  b  
 4a  b  3
2a  3
a
3
 b  3
2
g x  0
x2  1  0
x2  1
x  1
08. Verdadeira
3x
3
2
R: Alternativa C.
f 1(x) 
18) A função inversa de uma função cujos pares são
(x, y) é uma outra função em que os pares são
invertidos, isto é, x da original passa a ser y e vice2x  1
versa. Encontre a função inversa de y 
.
3x
3x  1
a)
y 1 
2x
3x
b)
y 1 
2x  3
2x  1
c)
y 1 
x
1
1
d)
y 
2x
1
1
e)
y 
3x  2
2x  1
3x
2y  1
x
3y
x.3y  2y  1
y
f 1  x    x  3
32. Verdadeira
g f 1  g  1  3 
 
g  f 1   g  2 
g  f 1   22  1
g  f 1   3
b
xv  
2a
0
xv  
2
xv  0
y  3x  2   1
 1 
y

 3x  2 
1
3x  2
19) (UFSC) Sejam f e g funções de R em R definidas
por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 – 1. Determine a soma
dos números associados à(s) proposição (ões)
VERDADEIRA(S).
01. A reta que representa a função f intercepta o eixo das
ordenadas em (0,3).
02. f é uma função crescente.
04. –1 e +1 são os zeros da função g.
08. Im(g) = {y  R / y  -1}.
16. A função inversa da f é definida por f 1( x )   x  3 .
32. O valor de g( f (1)) é 3.
64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0,0).
6
16. Verdadeira
y  x  3
x  y  3
y  x  3
64. Falsa.
3xy  2y  1
Logo: y 1 
Im  g  y   / y  1
V  0, 1
yv  
yv

4a
0

2
 4.1.  1
4
4
y v  1
yv  
Resposta: (VFVVVVF) 61.
4.1

MATEMÁTICA – A1
20) (UFSC) – Sendo f : IR  1  IR  1 definida por
x
, determine a soma dos números
f (x)  y 
x 1
associados às afirmativas VERDADEIRAS.
01. O gráfico de f(x) é uma reta.
02. f ( x ) é uma função injetora.
x
04. Sua inversa é f 1 
.
x 1
08. f ( x ) é uma função par.
16. O valor de f(2) é igual a 2.
32. f ( x ) é uma função bijetora.
01.
Falsa.
02. Verdadeira. Como x1  x 2  f  x1   f  x 2  a função é
GABARITO
AULAS 10 e 11
01) D
02) C
03) B
04) E
05) C
06) B
07) D
08) B
09) C
10) A
11) C
12) 05
13) C
14) 15
15) E
16) D
17) C
18) E
19) 61
20) 54
injetora.
04. Verdadeira.
x
y
x 1
y
x
y 1
x.y  x  y
x.y  y  x
y  x  1  x
y  f x 
08.
x
x 1
Falsa.
f  x   f  x 
x
x

x  1 x  1
x
x

x  1   x  1
x
x

x 1 x 1
16. Verdadeira
2
f  2 
2 1
f  2  2
32. Verdadeira.
Im    1 e o CD    1 a
Como
função
é
sobrejetora.
Como a função é injetora, a função é bijetora.
Resposta: (FVVFVV) 54.
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