Tópicos de Matemática - NECC

Universidade do Minho
2009/2010
Tópicos de Matemática
Lic. em Ciências da Computação
Exercícios
Folha 12
4.1 Das correspondências a seguir apresentadas, diga, justicando, quais as que se tratam de
aplicações:
(a) f1 : N −→ N, f1 (x) = 2x − 1;
1
(b) f2 : Q −→ Q, f2 (x) = ;
x
½
x se x ≥ 1
(c) f3 : R −→ R, f3 (x) =
;
−x se x ≤ 2
(d) f4 : Z −→ Z, f4 (x) = x2 + 1;
½ 2
x se x ≥ 1
(e) f5 : Z −→ Z, f5 (x) =
.
x3 se x ≤ 0
4.2 Seja X um conjunto. Para cada subconjunto S ⊆ X , dene-se a função característica de
S , χS : X −→ {0, 1} por:
½
1,
se x ∈ S
χS (x) =
0,
se x ∈
/S
Sejam A, B ⊆ X . Mostre que χA = χB se e só se A = B .
4.3 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d} .
(a) Dê exemplo de uma correspondência de A para B que não seja função.
(b) Indique, caso exista, uma função de A para B que seja:
i) não injectiva;
iv) não sobrejectiva;
ii) injectiva;
v) bijectiva.
iii) sobrejectiva;
4.4 Seja X um conjunto. Considere φ : P(X) −→ P(X) denida por φ(A) = X\A. Mostre
que φ é bijectiva.
4.5 Considere as seguintes aplicações:
f1 : N −→ N denida por f1 (x) = x + 1, para todo x ∈ N;
f2 : Z −→ Z denida por f2 (x) = x + 1, para todo x ∈ Z;
2
f3 : R −→ R+
0 denida por f3 (x) = x , para todo x ∈ R;
f4 : Z −→ N denida por f4 (x) = |x| + 2, para todo x ∈ Z.
Diga, justicando, quais das aplicações apresentadas são:
(a) injectivas;
(b) sobrejectivas;
(c) bijectivas.
4.6 Sejam g : R −→ R denida por g(x) = x2 , para todo x ∈ R. Determine:
(a) g({−1, 0, 1});
(b) g(R− );
(c) g(R);
(d) g −1 ({−1, 0, 1});
(e) g −1 (R− );
(f) g −1 (R).
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Exercícios
Folha 13
4.7 Sejam A, B conjuntos, f : A −→ B uma função, A1 , A2 ⊆ A e B1 , B2 ⊆ B. Mostre que:
(a) se A1 ⊆ A2 , então f (A1 ) ⊆ f (A2 );
(b) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 );
(c) f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 );
(d) f (A1 ∩ A2 ) = f (A1 ) ∩ f (A2 ), se f é injectiva;
(e) f (A1 )\f (A2 ) ⊆ f (A1 \A2 );
(f) f (A1 )\f (A2 ) = f (A1 \A2 ), se f é injectiva;
(g) se B1 ⊆ B2 , então f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 );
(h) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 );
(i) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 );
(j) f −1 (B1 )\f −1 (B2 ) = f −1 (B1 \B2 );
(k) A1 ⊆ f −1 (f (A1 ));
(l) A1 = f −1 (f (A1 )), se f é injectiva;
(m) f (f −1 (B1 )) ⊆ B1 ;
(n) f (f −1 (B1 )) = B1 , se f é sobrejectiva.
4.8 Sejam f , g e h funções de N0 para N0 denidas por:
f (n) = n + 1, para todo n ∈ N0 ;
g(n) = ½
2n, para todo n ∈ N0 ;
0, se n é par
h(n) =
.
1, se n é ímpar
Determine: f ◦ f , f ◦ g , g ◦ f , g ◦ h, (f ◦ g) ◦ h e f ◦ (g ◦ h).
4.9 Dê exemplo de:
(a) duas funções f, g : R −→ R tais que f e g não sejam constantes e f ◦ g seja constante;
(b) uma função f : R −→ R tal que f 6= idR mas f ◦ f = idR .
4.10 Sejam A, B, C conjuntos, f : A −→ B e g : B −→ C funções. Mostre que:
(a) se f e g são injectivas, g ◦ f é injectiva;
(b) se f e g são sobrejectivas, g ◦ f é sobrejectiva.
4.11 Sejam A, B conjuntos e f : A −→ B e g : B −→ A funções tais que se verica f ◦ g = idB .
Mostre que:
(a) f é sobrejectiva;
(b) g é injectiva;
(c) g é sobrejectiva se e só se f é injectiva.
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Folha 14
4.12 Considere as seguintes funções
f : [−1, 1] −→ [−1, 1]
;
x 7−→ x3
g : R −→ R
;
x 7−→ 2x − 3
h : Z −→ ½
N0
x 7−→
2x,
−2x − 1,
se x ≥ 0
.
se x < 0
Verique que f , g e h são funções bijectivas e determine as respectivas funções inversas.
4.13 Sejam A, B, C conjuntos e f : A −→ B e g : B −→ C funções bijectivas. Mostre que:
¡
¢−1
(a) a função f −1 : B −→ A é bijectiva e tem-se f −1
= f;
(b) a função g ◦ f : A −→ C é bijectiva e tem-se (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 ;
(c) f −1 ({b}) = {f −1 (b)}, para qualquer b ∈ B .
4.14 Seja f : N0 → N0 a função denida recursivamente por f (0) = 1 e f (n + 1) = 2f (n), para
cada n ∈ N0 .
(a) Calcule f (1) e f (2).
(b) Mostre que, para cada n ∈ N0 , f (n) = 2n .
4.15 Seja s : N → Q a função denida por s(1) = 2 e s(n + 1) =
2
s(n) .
(a) Determine s(1), s(2) e s(3).
(b) Determine o contradomínio de s. Prove a sua armação por indução.
4.16 Seja f : N → N uma função.
(a) Prove que a correspondência g : N → N tal que
½
g(n) =
f (1)
f (n) + g(n − 1)
se n = 1
se n > 1
é uma função.
(b) Prove que, para cada n ∈ N, g(n) =
n
X
f (i).
i=1
4.17 Dena recursivamente funções que gerem as seguintes sucessões de números naturais:
2 2
2
(a) 2, 22 , (22 ) , ((22 ) ) , ...
2
(22 ) )
(b) 2, 22 , 2(2 ) , 2(2
, ...
4.18 Seja f : N → N a função denida recursivamente por f (1) = 1, f (2) = 1 e f (n) =
f (n − 1) × f (n − 2) se n > 2..
(a) Calcule os primeiros 5 termos da sucessão de números naturais gerada por f .
(b) Considerando que g representa a função que gera a sucessão de números de Fibonacci,
prove que:
∃m ∈ N ∀n ∈ N (n ≥ m =⇒ f (n) > g(n)).