Transformações Lineares e Matrizes I

Álgebra Linear II
2◦ semestre de 2009
Transformações Lineares e Matrizes I
1 Transformações Lineares, núcleo e imagem
Exercício 1 Em cada caso verique se existe uma transformação linear fi de R2 em R2 que
verica as condições dadas:
a) f1 ((1, −1)) = (2, 3)
f1 ((2, −2)) = (3, 2);
b) f2 ((1, −1)) = (2, 3)
f2 ((1, 1)) = (3, 2);
c) f3 ((1, −1)) = (2, 3)
f3 ((3, −3)) = (6, 9).
Exercício 2 Seja
Rn [X] o espaço dos polinômios de grau ≤ n. Determine se é linear
f : Rn [X] → Rn [X] denida por:
a) (f (P ))(X) = P (X + 1);
b) (f (P ))(X) = P 0 (X) + 1;
c) n = 2 e (f (P ))(X) = cX 2 + aX + b se P (X) = aX 2 + bX + c.
Exercício 3 Determine dim(Im(f )) sabendo que:
a) f : R5 → R4 com dim(Nuc(f )) = 3.
b) f : R5 → R7 com f injetiva.
Exercício 4 Determine dim(Nuc(f )) sabendo que:
a) f : V → W com f sobrejetiva, dim(V ) = 5, dim(W ) = 3.
b) f : R4 → R4 sabendo que existe a inversa de f
Exercício 5 Calcule a imagem e o núcleo de cada uma das TLs abaixo:
a) f : R3 [X] → R3 [X], denido por f (P ) = P 00 (segunda derivada).
b) f : R2 [X] → R denida por f (P ) = P (3).
c) f : R2 [X] → R3 [X] denida por (f (P ))(X) = XP (X).
d) f : C 1 (R; R) → F (R; R) denida por f (f ) = f 0 .
Exercício 6 Sejam V um espaço vetorial real de dimensão 3, (e1 , e2 , e3 ) uma base de V e λ
um número real.
Monstre que as relações:
ϕλ (e1 ) = e1 + e2 ,
ϕλ (e2 ) = e1 − e2 ,
denem uma transformação linear ϕλ de V em V .
Como escolhar λ para que ϕλ seja injetiva? sobrejetiva?
1
ϕλ (e3 ) = e1 + λe3
2 Matrizes de Transformações Lineares
Exercício 7 Considere f : R2,3 → R2 e T a matriz que a representa nas bases canônicas.
a) Se f (x,[y) = (3x
] + 7y, 5x − 4y), então T =?; b) se f (x, y)
[ = (y, −x)
] , então T =?;
1 0
0 −1
, então f (x, y) =?;
d) se T =
, então f (x, y) =?;
3 0
8 3
e) se f (x, y, z) = (2x − y + z, 3x + y − 2z), então T =?. Utilize T para calcular f (3, −4, 2).
c) se T =
Exercício 8 Sejam a transformação linear
f : R3 → R2 ,
f (x, y, z) = (2x − y + z, 3x + y − 2z)
e as bases A = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (0, 0, 1)} e B = {w1 = (2, 1), w2 = (5, 3)} do
R3 e do R2 , respetivamente
a) Determine T , a matriz de f nas bases A e B .
b) Se v = (3, −4, 2) (vetor com coordenadas em relação a base canônica), calcule [f (v)]B
utilizando a matriz T .
Exercício 9 Seja fi a transformação linear de Rn em Rm cuja matrize em relação às bases
canônicas de Rn em Rm é Ti :
[
T1 =
[
T4 =
−1 3
2 1
1 −2 −1
−1 5
4
]
]

3
T2 =  −1 
0


T3 =

1 −1 λ

T5 = 0 3 −1 
2 0
2
[
2 5 −1

1
 2
T6 = 
 0
−1
]
3 1
5 2
1 0
3 −1

1
1 

1 
λ
a) Em cada caso precise os valores de n e m.
b) Para i = 1, 2, 3 calcule fi (u) (na forma matricial) por u = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
c) Determine Nuc(fi ) e Im(fi ) para 1 ≤ i ≤ 6 (examine em relação aos valores de λ).
Exercício 10 Sejam V e W dois espaços vetoriais de dimensão respetivamente n e m. Seja
g uma transformação linear de V em W de posto r.
a) Determine como obter uma base (v1 , . . . , vn ) de V e uma base (w1 , . . . , wn ) de W tais que:
g(vi ) = wi se 1 ≤ i ≤ r
e
g(vi ) = 0 se r ≤ i ≤ n
Qual é a matrize de g em relação a esta dupla de bases?
b) Seja f o operador de R3 denido por:
f (x, y, z) = (2x + y + z, −y + z, x + y)
((x, y, z) ∈ R3 )
Escreve a matrize de f em relação a base canônoca. Determine uma dupla de bases por f
assim como na questão a).
2