Lista de exercícios sobre derivadas, gradientes e - DM

Lista de exercícios sobre derivadas, gradientes e similares
1. Seja f : R2 → R, uma função com derivada parcial contínua, tendo regiões de R2 , separado pela
equação f (x, y) = 0. Justique que, se ∇f (x, y) 6= ~0 sobre a curva f (x, y) = 0 então somente um
dos lados da curva satisfaz a desigualdade f (x, y) < 0. Usando isto, justique o critério do caso de
cônicas não degeneradas e o caso do gráco das funções na qual poderá determinar a região denida
pela inequação, testando somente um dos pontos de uma das regiões.
2. Sendo f (x, y, z) = cos y + eyz + ez ln x.
(a) Encontre ∇f (x, y, z), f 0 (x, y, z), df (x, y, z), 4f (x, y, z) e o Taylor de primeira ordem de f no
ponto (a, b, c).
2
3
∂ f
∂ f
(b) Obtenha ∂x∂y
e ∂x∂z∂z
(c) Obtenha o valor aproximado de f (1.1, 3, −0.1) de ordem 1, usando o acréscimo e depois o Taylor.
Justique a escolha do ponto inicial.
3. Uma região D ⊂ Rn é dito convexa quando qualquer dois pontos podem ser ligados pelo segmento
inteiramente contido no conjunto. Seja f : D ⊂ Rn → R, uma função de classe C 1 (primeiras derivadas
contínuas). Mostre o teorema de valor médio f (Y ) − F (X) = h∇f (Z), Y − Xi para algum Z ∈ XY .
Dica: Use o teorema de valor médio para (f ◦ r)(t) para r(t) = X + t(Y − X).
4. Seja f : D ⊂ Rn → R, uma função que oferece um valor para cada X medido pelo equipamento.
Suponha que ||∇f (X)|| ≤ M para todo ponto X ∈ D. Qual é a precisão mínima necessária do
equipamento para que o valor calculado tenha erro inferior a 0.1 unidade? Dica: |h~u, ~v i| ≤ k~uk · k~v k.
5. Seja f (x, y) = x2 + y 2 denido no domínio D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3}. Qual é a razão
máxima entre erro do valor de f relativamente ao erro no dado de entrada (x, y)?
6. Caso particular da regra de cadeia. Dica: use o diferencial ou a regra de cadeia matricial.
(a) Seja f : Rn → R e γ : R → Rn . Mostre que (f ◦ γ)0 (t) = h∇f (γ(t)), γ 0 (t)i.
(b) Seja f : Rn → R e g : R → R. Mostre que ∇(g ◦ f )(X) = g 0 (f (X))∇f (X).
7. Prove seguinte casos especiais da regra de produto
(a) Seja f : R → R3 e g : R → R3 . Mostre que (hf, gi)0 (t) = hf 0 (t), g(t)i + hf (t), g 0 (t)i.
(b) Seja Seja f : R3 → R e g : R3 → R. Mostre que ∇(f · g)(X) = ∇f (X) · g(X) + f (X) · ∇g(X).
8. Sejam f (x, y) = (xy, x + y), g(x) = (x2 , x3 ) e h(x, y) = xy . Usando a regra de cadeia, obter seguintes
derivadas, caso existam: (f ◦ g)0 (2), (f ◦ h)0 (1, 2), (h◦ f )0 (3, 2), (g ◦ f )0 (3, 1) e (h◦ g)0 (t + 1). Justique, caso
contrário.
9. Obtenha (f ◦ g)0 (3), sabendo que f (x, y) = xy 2 , g(3) = (1, 1) e g 0 (t) = (t2 , t3 ).
10. Encontre a taxa de variação de f (x, y) = xy + ln(x + y) em (1, 2), na direção de (5, 1).
11. Seja y(x) denido implicitamente por x3 − xy − ey−1 = 5 com y(2) = 1.
(a) Encontre a reta tangente ao gráco de y no ponto x = 2.
(b) Encontre uma aproximação de y(1.7).
(
x2 + y 2
12. Seja y(x) denida implicitamente por
y
de segunda ordem em torno de x = 1.
=2
. Usando a derivação implícita, obtenha o Taylor
>0
13. Armações são verdadeiras ou falsas? Comente
(a) Se γ : R → R3 é uma curva diferenciável, γ 0 (t0 ) é tangente ao traço da curva γ no ponto γ(t0 ).
(b) Se ∇f (a, b) existir, então f 0 (a, b) existe.
∂f (a, b)
=< ∇f (a, b), ~v >.
∂~v
(d) Se f 0 (a, b) existir, f é contínua em (a, b).
(c) Se ∇f (a, b) existir, então
(e)
(f)
(g)
(h)
Não existe intersecção entre curvas de níveis de nível diferente.
Se y(x) é denido por f (x, y) = c, então sempre podemos obter y 0 (x, y) pela derivação implícita.
Se não tem derivada, não é contínua.
Se o limite de f sobre todas retas que passam em (a, b) coincidem, então f possui o limite em
(a, b).
(i) Se limite de f existe em (a, b), então é contínua em (a, b).
(j) Se f e g são diferenciáveis e (f ◦ g) existe, então a derivada obtida diretamente pela composta
sempre coincide com a derivada obtida pela regra de cadeia.
(k) A matriz hessiana (segunda derivada) de f : R3 → R, quando existe, é sempre uma matriz
simétrica.
Entregar 3 execícios do livro ou da lista que não seja 13, considando um ítem como um exercício.