Lista zero de exercícios - revisão de conceitos básicos

Lista de exerícios - Análise Real - 2013/2
1
Conceitos topológicos
Dena topologia. Dena a topologia usual de Rn . Seja D ⊆ Rn e τ a topologia usual de Rn ,
dena a topologia τD induzida por D em τ .
Questão 1.
Questão 2.
Seja f : D → Rn com D ⊆ Rm , prove que as seguintes duas armações são equivalentes:
1. ∀x0 ∈ D ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x ∈ D ∧ ∥x − x0 ∥ < δ =⇒ ∥f (x) − f (x0 )∥ < ε
2. Para todo aberto O, f −1 (O) é aberto na topologia relativa a (ou induzida por) D.
Questão 3.
Seja f : R → R contínua, mostre que o conjunto
E = {x ∈ R : f (x + 1) < f (x)}
é aberto.
Questão 4.
Seja f : D → Rn com D ⊆ Rm contínua, prove que f (K) é compacto para todo K compacto.
Questão 5.
Seja K ⊆ Rn compacto e f : Rn → R a distância de x a K denida como
f (x) = inf ∥x − y∥.
y∈K
Prove que f (x) = 0 se e somente se x ∈ K .
Questão 6.
Seja K1 ⊆ Rn e K2 ⊆ Rn compactos disjuntos. Prove que a distância entre eles denida por
δ=
inf
x∈K1 , y∈K2
∥x − y∥
é positiva.
Seja K ⊆ Rn compacto e F ⊆ Rn fechado. Prove que se F e K são conjuntos disjuntos, então a
distância entre eles denida por
Questão 7.
δ=
inf
x∈K, y∈F
∥x − y∥
é positiva.
Mostre que existem dois conjuntos fechados disjuntos, F1 ⊆ Rn e F2 ⊆ Rn tais que a distância
entre eles, denida por
Questão 8.
δ=
inf
x∈F1 , y∈F2
∥x − y∥
é nula.
Questão 9.
denida por
Dois conjuntos E1 ⊆ Rn e E2 ⊆ Rn são ditos bem-separados quando a distância entre eles,
δ=
inf
x∈E1 , y∈E2
∥x − y∥
é positiva. Mostre que se dois conjuntos são bem-separados, então são desconexos, i.e., existem abertos
disjuntos O1 e O2 tais que E1 ⊆ O1 e E2 ⊆ O2 .
Questão 10.
Sejam F1 ⊆ Rn e F2 ⊆ Rn , dois conjuntos fechados disjuntos. Prove que F1 e F2 são desconexos.
1
Dena função uniformemente contínua. Seja f : K → Rn com K ⊆ Rm contínua. Mostre
que se K é compacto, então f é uniformemente contínua. Dê um exemplo de função contínua que não é
uniformemente contínua denida em um domínio fechado. Dê um exemplo de função contínua que não é
uniformemente contínua denida em um domínio limitado.
Questão 11.
Dena função α-Hölder contínua para α ∈ (0, 1]. Dena função Lipschitz-contínua. Mostre que
toda função Hölder-contínua é uniformemente contínua. Mostre que se o domínio é limitado então C α ⊆ C β
quando α ≥ β
Questão 12.
Questão 13.
Seja f : D → Rn com D ⊆ Rm , dena o suporte de f .
Seja f : D → Rn com D ⊆ Rm , uma função contínua. Mostre que o suporte de f é da forma Ō
onde O é um aberto em D. Ademais, mostre que se O é um aberto em D, então existe uma função contínua
cujo suporte é dado por Ō.
Questão 14.
Seja O um conjunto aberto em R, mostre que O pode ser escrito como a união contável (nita
ou innito enumerável) de intervalo abertos disjuntos.
Questão 15.
Seja O um conjunto aberto em Rn , mostre que O pode ser escrito como a união contável (nita
ou innito enumerável) de conjuntos abertos disjuntos.
Questão 16.
Questão 17.
Seja O um conjunto aberto em Rn e x ∈ O, mostre que existem r ∈ Qn e δ ∈ Q tais que
x ∈ B̄(r, δ) ⊆ O
onde B̄(r, δ) é a bola fechada centrada em r de raio δ . Conclua que O pode ser escrito como a união enumerável
de compactos.
Questão 18.
Considere a função f : R → R dada por
{
f (x) =
0,
x≤0
−1/x2
e
, x>0
Mostre que f (x) é uma função de classe C ∞ (R, R) (função suave). Use esta função para construir uma função
suave g : Rn → R de suporte compacto.
2
Sequências, limites, integral de Riemann
Seja fn uma sequência de funções fn : [a, b] → R integráveis a Riemann no intervalo [a, b],
convergindo uniformemente a função f . Mostre que f é integrável a Riemann no intervalo [a, b] e que
Questão 19.
∫
lim
n→∞
∫
b
fn (x)dx =
a
b
f (x)dx.
a
Dada uma sequência de reais {an }∞
n=1 , construa uma sequência de funções fn : [a, b] → R
integráveis a Riemann no intervalo [a, b], convergindo pontualmente a zero em todo intervalo mas que
Questão 20.
∫
b
fn (x)dx = an .
a
Dada uma sequência de reais {an }∞
n=1 , construa uma sequência de funções fn : [0, ∞) → R
integráveis a Riemann no intervalo [0, ∞), convergindo uniformemente a zero em todo intervalo mas que
Questão 21.
∫
b
fn (x)dx = an .
a
2
Questão 22.
(
(
Questão 23.
)α
Mostre que se 0 < x < α, então 1 − αx
x )n
1−
≤
n
(
1−
é crescente em α. Conclua que se n > 0 e 0 ≤ x ≤ n
x
n+1
≤ e−x
Analise com todos os detalhes a convergência da sequência dada por
∫
n
(
an =
1−
0
Dica: Se 0 < M < n, então
Questão 24.
)n+1
∫n
0
f (x)dx =
∫M
f (x)dx +
0
∫n
M
x )n
dx.
n
f (x)dx
Prove a existência e obtenha o valor de
∫
π
lim
x→∞
e−x sen(θ) dθ.
0
Mostre que se fn : R → R é uma sequência de funções equilimitadas localmente integráveis à
Riemann convergindo uniformemente para f (x), então
Questão 25.
∫
∞
−x2
lim
n→∞
Questão 26.
−∞
fn (x)e
∫
∞
dx =
f (x)e−x dx
2
−∞
Mostre que se α > 0 e s > 0 então a integral imprópria dada por
∫
∞
I(α, s) =
tα−1 e−st dt
0
está bem denida. (Dica: Lembre do caso 0 < α < 1)
Questão 27.
Use indução matemática em n para mostrar que se n é um inteiro positivo e s > 0 então
∫
∞
tn e−st dt =
0
n!
sn+1
Dica: Lembre de justicar todo procedimento e da denição de
Questão 28.
.
∫∞
0
f (x)dx.
Mostre que se f : [a, b] → R com a < b é uma função contínua, então
∫
b
f (x)2 dx = 0 ⇐⇒ f (x) ≡ 0.
a
Questão 29.
Mostre que se f : [a, b] → R com a < b é uma função contínua satifazendo
∫
b
f (x)xn dx = 0, ∀n ∈ N
a
então f ≡ 0. Dica: Use o teorema da aproximação de Stone-Weierstrass.
Questão 30.
Mostre que se f : (a, b) → R com a < b é uma função contínua satisfazendo
∫
d
f (x)dx = 0, ∀a < c < d < b.
c
então f ≡ 0.
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