Lista de exercícios 1

Lista de exercícios 1
MCZB030 – Teoria axiomática de conjuntos
Quadrimestre 2017.1
1. Seja P um conjunto de pares ordenados. Mostre que existem conjuntos
A e B tais que P é uma relação de A em B.
2. Sejam X um conjunto parcialmente ordenado e A ⊆ X. Prove que:
(a) se A possui um elemento mínimo, então ele é único;
(b) todo elemento mínimo de A é minimal;
(c) se A possui um elemento máximo, então ele é único;
(d) todo elemento máximo de A é maximal.
3. Seja (X, 4) uma ordem parcial. Prove que existe um conjunto A tal que
as ordens parciais (X, 4) e (A, ⊆) são isomorfas.
[Sugestão. Procure um A ⊆ ℘(X) satisfazendo essa condição.]
4. Sejam X = {∅, {∅}} e f = {(∅, {∅}), ({∅}, ∅)} ⊆ X × X. Determine:
(a) f (∅)
(c) f ({∅})
(e) f −1 (∅)
(g) f −1 ({∅})
(b) f [∅]
(d) f [{∅}]
(f ) f −1 [∅]
(h) f −1 [{∅}]
5. Sejam X, Y, A, A0 , B, B 0 e I conjuntos tais que A ∪ A0 ⊆ X 6= ∅, B ∪ B 0 ⊆
Y 6= ∅ e I 6= ∅; Sejam ainda f : X → Y uma função, {Ai : i ∈ I} ⊆ ℘(X) e
{Bi : i ∈ I} ⊆ ℘(Y ).
Para cada item a seguir, determine se são válidas as inclusões ⊆ e ⊇.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
(h)
(i)
(j)
f −1 [f [A]]
f [f −1 [B]]
f [X \ A]
−1
f [Y \ B]
S
f
A
i
Si∈I f −1 i∈I Bi
T
A
f
i
Ti∈I f −1 i∈I Bi
f [A \ A0 ]
f −1 [B \ B 0 ]
A
B
Y \ f [A]
X \ f −1 [B]
S
f [A ]
Si∈I −1 i
f [Bi ]
Ti∈I
f [A ]
Ti∈I −1 i
[Bi ]
i∈I f
f [A] \ f [A0 ]
f [B] \ f [B 0 ]
6. Refaça o Exercício 5 sob a hipótese adicional de que f é injetora.
7. Refaça o Exercício 5 sob a hipótese adicional de que f é sobrejetora.
8. Dizemos que duas funções f e g são compatíveis se, para todo x ∈
dom(f ) ∩ dom(g), tem-se que f (x) = g(x).
Mostre que, se F é um conjunto de funções duas a duas compatíveis,1
S
então F é uma função.
9. Sejam x e y conjuntos não vazios e f : x → y uma função. Prove que:
(a) f é injetora se, e somente se,
∀z 6= ∅ ∀g1 , g2 ∈ z x (f ◦ g1 = f ◦ g2 → g1 = g2 ).
(b) f é sobrejetora se, e somente se,
∀z 6= ∅ ∀g1 , g2 ∈ y z (g1 ◦ f = g2 ◦ f → g1 = g2 ).
1
I.e., ∀f, g ∈ F (f e g são compatíveis).
[Obs.: Dados conjuntos a e b, escrevemos
a
b = {f ⊆ a × b : f é função e dom(f ) = a}.]