MATEM1TICA II 8 de Janeiro de 2008 $ Epoca Normal

MATEMÁTICA II
LICENCIATURA EM ECONOMIA, FINANÇAS E GESTÃO
8 de Janeiro de 2008 - Época Normal - Duração: 2 horas
Apresente os cálculos de resolução e justi…que devidamente as suas respostas.
Grupo I
( Cotação: 2 + 2 + 2 +2 )
O Grupo I possui carácter eliminatório.
1. Considere a função real de…nida em R2 por f (x; y) = x3
classi…que-os.
3xy + y 3 : Determine os pontos críticos de f e
2. Determine:
a) a solução da equação de diferenças yn+3 + 5yn+2 = 12 tal que y2 = 77;
b) a solução geral da equação diferencial y 00 (x) 10 y 0 (x) + 25 y (x) = 50x:
Z Z
3. Calcule
2yex + 6x2 y 2 dxdy; sabendo que A = f(x; y) 2 R2 : 0 y 1; y 2
2y 2 g:
x
A
4. Considere a forma quadrática Q(x; y; z) = 5x2 + y 2 + kz 2 + 4xy
2xz
a) Indique a matriz simétrica que lhe está associada.
2yz, onde k 2 R
b) Determine os valores de k para os quais Q(x; y; z) é de…nida positiva.
Grupo II
( Cotação: 3 + 4 + 3 + 2 )
1. Considere a função de…nida em R2 por
8 2 3
xy +x sin y
>
se (x; y) 6= (0; 0)
< px2 +y2 ;
f (x; y) =
>
:
0;
se (x; y) = (0; 0):
@f
@f
(0; 0) e
(0; 0) :
@x
@y
b) Mostre que f é uma função diferenciável em (0; 0):
p
x2 + y 2 1
2
2. Considere a função de…nida em R por f (x; y) =
:
ln (4 x2 y 2 )
a) Determine analiticamente o seu domínio D e faça o respectivo esboço geométrico.
a) Calcule
b) Indique a aderência de D, ad(D), e diga justi…cando se D é fechado.
Z Z
c) Seja A = ad(D)\ (x; y) 2 R2 : x 0; y 0 . Calcule
y dxdy:
A
3. Considere a função real de…nida em
função f no elipsóide x2 + y 2 + 2z 2 = 2:
R3
por f (x; y; z) = x
y + 2z: Calcule o máximo e o mínimo da
4. Sejam g uma função de classe C 1 em R2 e f de…nida por f (u; v; w) = g(u2 + v; u
o gradiente de f , 5f:
2w) + ev
2
w
: Calcule