2a Lista de exercícios de matemática do 3o Bimestre geral (ou lei de

2
a
o
Lista de exercícios de matemática do 3
Bimestre
Sequências
1. Exiba, em cada caso, os cinco primeiros elementos da sequência denida pela fórmula de termo
geral (ou lei de formação) dada.
(a)
(b)
(c)
(d)
an = n2 para n ∈ N, n ≥ 1;
in = 2n − 1 para n ∈ N, n ≥ 1;
cn = 3 − 4n para n ∈ N, n ≥ 1;
pn = 2n para n ∈ N, n ≥ 1;
(e) tn =
n(n−1)
2
para n ∈ N, n ≥ 1;
2. Exiba, em cada caso, os cinco primeiros elementos da sequência denida pela lei (ou fórmula) de
recorrência dada.
(a)
(b)
(c)
(d)
(
j1 = 1;
jn = jn−1 + 2 para n ∈ N, n ≥ 2;
(
q1 = 2;
qn = 2qn−1 para n ∈ N, n ≥ 2;
(
c1 = 3;
cn = cn−1 − 4 para n ∈ N, n ≥ 2;
(
u1 = 0;
un = un−1 + n − 1 para n ∈ N, n ≥ 2;
3. Descubra, em cada caso, uma denição por lei de formação para a sequência dada.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(4, 8, 12, 16, 20, . . . )
(−3, −6, −9, −12, −15, . . . )
(−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . )
(2, 4, 8, 16, 32, . . . )
(−3, 9, −27, 81, −243, . . . )
4. Descubra, em cada caso, uma denição por lei de recorrência para a sequência dada.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(4, 8, 12, 16, 20, . . . )
(−3, −6, −9, −12, −15, . . . )
(−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . )
(2, 4, 8, 16, 32, . . . )
(−3, 9, −27, 81, −243, . . . )
2
Trigonometria no triângulo retângulo (Razões trigonométricas)
5. A partir dos dados presentes nas guras, determine o que for pedido.
(a)
sen α = ?, cos α = ?, tg α = ?
(b)
sen θ = ?, cos θ = ?, tg θ = ?
6. Um atirador de elite localiza-se no ponto T , no topo de um prédio de altura 40m, e observa o alvo
localizado no ponto A, no solo, de modo que o segmento AT forma com a horizontal um ângulo de
21,8◦ , conforme a gura abaixo. Sabendo que tg 21,8◦ = 0,4, determine x e y .
7. Sabendo que tg α = 4, determine x na gura abaixo.
√
8. Sabendo que cos 63 =
◦
5
, determine sen 63◦ , tg 63◦ , sen 27◦ , cos 27◦ e tg 27◦ .
5
9. Determine x em cada caso:
(a)
(d)
(b)
(e)
Progressões Aritméticas
10. Determine o 50o termo de cada uma das P.A. abaixo:
(
a1 = 3;
(a)
an = an−1 − 4 para n ∈ N, n ≥ 2;
(c)
3
(
b1 = 13;
(b)
bn = bn−1 + 5 para n ∈ N, n ≥ 2;
11. Dada a P.A. (−28, −23, −18, −13, . . . ), determine:
(a) O 25o termo.
(b) O termo geral.
12. Em uma P.A., o 1o termo vale 23 e o 16o vale 173. Qual a razão dessa P.A.?
;)
BONS ESTUDOS!
Soluções de alguns dos exercícios
1.
(a)
Teremos:
a1
a2
a3
a4
a5
= 12
= 22
= 32
= 42
= 52
=1
=4
=9
= 16
= 25
Assim, a sequência é (1, 4, 9, 16, 25, . . . ).
Obs.
Também é possivel organizar as informações na forma de uma tabela:
n
1
2
3
4
5
2.
(b)
an
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
Teremos:
q1
q2
q3
q4
q5
= 2(foi dado)
= 2q1 = 2 · 2 = 4
= 2q2 = 2 · 4 = 8
= 2q3 = 2 · 8 = 16
= 2q4 = 2 · 16 = 32
Assim, a sequência é (2, 4, 8, 16, 32, . . . ).
Obs.
Também é possivel organizar as informações na forma de uma tabela:
n
1
2
3
4
5
3.
(a)
qn
2
2·2=4
2·4=8
2 · 8 = 16
2 · 16 = 32
Veja que todos os números são múltiplos positivos de 4. Assim, poderíamos pensar na seguinte
regra:
an = 4n
(c)
(d)
De fato, usando essa regra, obtemos a1 = 4 · 1 = 4, a2 = 4 · 2 = 8, a3 = 4 · 3 = 12, a4 = 4 · 4 = 16
e a5 = 4 · 5 = 20, portanto a regra an = 4n serve para os termos dados da sequência.
an = (−1)n (verique!)
an = 2n (verique!)
5
4.
(a)
Veja que os números aumentam de 4 em 4, começando com 4. Assim, podemos usar a seguinte
denição por lei de recorrência:
(
a1 = 4;
an = an−1 + 4 para n ∈ N, n ≥ 2;
(c)
De fato, usando essa regra, obtemos a1 = 4, a2 = 4 + 4 = 8, a3 = 8 + 4 = 12, a4 = 12 + 4 = 16
e a5 = 16 + 4 = 20, portanto a denição dada serve para os termos dados da sequência.
an = (−1)an−1 (verique!)
;)
BONS ESTUDOS!