Lista 2 - Probabilidade condicional e independência. Ex 1 Mostre

Lista 2 - Probabilidade condicional e independência.
Ex 1 Mostre que se A e B são eventos independentes, então também são independentes
a) Ac e B;
b) A e B c ;
c) Ac e B c .
Ex 2 Um casal tem três filhos, cada uma dos quais é igualmente provável ser menino
ou menina, independentemente dos demais. Considere os seguintes eventos:
A = {todas as crianças são do mesmo sexo}
B = {Há no máximo um menino}
C = {há um menino e uma menina na família}
a) Mostre que A é independente de B, e B é independente de C.
b) A é independente de C?
Ex 3 Prove que
P(A ∪ B ∪ C) = 1 − P(Ac |B c ∩ C c )P(B c |C c )P(C c )
Ex 4 Mostre que se A é independente de B, então B é independente de A.
Ex 5 Uma variável aleatória X tem função de distribuição F . Qual é a função
de distribuição e densidade de probabilidade de Y = aX + b em que a e b são constantes reais com a 6= 0.
Ex 6 Se X é tal que P(X = 0) = 1 − p e P(X = 1) = p. Sejam Y = 1 − X
e Z = XY . Encontre P(X = x, Y = y) e P(X = x, Z = z) para x, y e z ∈ {0, 1}.
Ex 7 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição de probabilidade dada por P(X = x) = 2−x 1{1,2,...} (x). Calcule:
a) P(min {X, Y } ≤ x)
b) P(Y > X)
c) P(X = Y )
1
d) P(X ≥ kY ), k ∈ N∗ .