P2 - Alexandre B. Cunha

UFRJ
Análise Matemática para Economistas
Professor Alexandre B. Cunha
Resolva 2 (duas) das 3 (três) questões.
P2
2017/0
(1) Considere a sequência de números reais de…nida por xn = 1=(n + 1). Prove que (xn )
é uma sequência de Cauchy utilizando a de…nição desse conceito.
(2) Seja (yn ) uma sequência de números reais. Mostre que se (yn ) é convergente, então
ela é limitada.
(3) Considere a sequência de números reais de…nida recursivamente por zn+1 = zn =3+2=3
e z1 = 6. Prove que (zn ) é convergente.
Respostas
(1) Seja H(") um número natural maior do que " 1 . Observe que se m > n
então
n>
1
1
1
1
)n+1> )
<")0<
"
"
n+1
n+1
1
< " ) jxn
m+1
H("),
xm j < " .
(2) Denote o limite de (yn ) por y. Pela de…nição de limite, existe um número natural K
tal que se n K, então jyn yj < 1. Como
jyn
yj < 1 ) jyn
sabemos jyn j < 1 + jyj para todo n
yj + jyj < 1 + jyj ) jyn j < 1 + jyj ,
K. De…na M de acordo com
M = maxfjy1 j; jy2 j; :::; jyK 1 j; 1 + jyjg .
Por …m, observe que jyn j
M para todo n 2 N.
(3) É su…ciente mostrar que (zn ) é (i) decrescente e (ii) limitada. Utilizaremos o princípio
da indução para estabelecer a veracidade de (i). Observe z1 = 6 > 8=3 = z2 . Assim
sendo, resta mostrar que [zn zn+1 ) zn+1 zn+2 ]. De fato,
zn
2
1
zn+1 ) zn +
3
3
1
2
zn+1 + ) zn+1
3
3
zn+2 .
No tocante a condição (ii), já se sabe que z1 zn para todo n. Logo, resta apenas
estabelecer que existe uma cota inferior para (zn ). Mais uma vez, utilizaremos o princípio
da indução. Como z1 = 6 > 0, podemos encerrar provando que [zn 0 ) zn+1 0].
zn
2
1
0 ) zn +
3
3
1
0 ) zn+1
0.