Lista 1 de Álgebra

Lista 1 de Álgebra
Professora: Elisandra Figueiredo
1. Sejam E = {1, 3, 5, 7, 9} e F = {0, 2, 4, 6}.
(a) Liste os elementos das seguintes relações de E em F :
R1 = {(x, y)/ y = x − 1}
R2 = {(x, y)/ x < y}
R3 = {(x, y)/ y = 3x}
(b) Estabeleça o domínio e imagem de cada uma.
2. Sendo R = {(x, y)/ 4x2 + y 2 = 4} uma relação sobre R, determine:
(a) o gráco cartesiano de R;
(b) o domínio e a imagem de R;
(c) R−1 .
3. Seja R a relação sobre N∗ denida pela sentença x + 3y = 10. Determine:
(a) os elementos de R;
(b) o domínio e a imagem de R;
(c) os elementos de R−1 .
4. Seja R uma relação binária sobre o conjunto E e R′ a negação de R, isto é,
R′ = {(x, y)/ x não está relacionado com y}.
O que podemos concluir sobre R ∩ R′ e R ∪ R′ ?
5. R é uma relação sobre E = {1, 2, 3, 4, 5} tal que xRy se, e somente se, x − y é múltiplo de 2.
(a) Quais são os elementos de R?
(b) Faça o diagrama de R.
(c) Que propriedades R apresenta?
6. Seja E o conjunto das retas que contem os lados de um hexágono regular ABCDEF.
(a) Quantos elementos tem o conjunto E?
(b) Indique quais são os pares ordenados que constituem a relação R em E assim denida:
xRy ⇔ x é paralela a y.
Nota: x é paralela a y quando x = y ou x ∩ y = ∅, com x e y coplanares.
(c) Quais são as propriedades que R apresenta?
7. Um casal tem 5 lhos: Álvaro, Bruno, Cláudio, Dario e Elizabete. Enumere os elementos da
relação R denida no conjunto E = {a, b, c, d, e} por xRy ⇔ x é irmão de y. Que
propriedades R apresenta?
Nota: x é irmão de y quando x é homem, x ̸= y e x e y tem os mesmos pais.
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8. Seja R uma relação em R e seja Gr seu gráco cartesiano. Qual particularidade Gr apresenta
quando:
(a) R é reexiva?
(b) R é simétrica?
9. Esboce os grácos cartesianos das seguintes relações sobre R :
(a)
(b)
(c)
(d)
R1 = {(x, y)/ x + 2 ≤ 2};
R2 = {(x, y)/ x2 + y 2 ≥ 9};
R3 = {(x, y)/ xy = 12};
R4 = {(x, y)/ x2 + x = y 2 + y}.
10. Das relações do exercício anterior quais são reexivas e quais são simétricas?
11. Provar que se uma relação R é transitiva, então R−1 também o é.
12. Sejam R e S relações no mesmo conjunto A. Prove que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
R−1 ∩ S −1 = (R ∩ S)−1 ;
R−1 ∪ S −1 = (R ∪ S)−1 ;
Se R e S são transitivas, então R ∩ S é transitiva;
Se R e S são simétricas, então R ∪ S e R ∩ S são simétricas;
Para todo R, R ∪ R−1 é simétrica.
13. Seja R uma relação de E em F e S uma relação de F em G. Mostre que (S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1 .
14. Se R é uma relação sobre E, então R ◦ R−1 e R−1 ◦ R são simétricas.
15. Se R é uma relação sobre E e é reexiva, então R ◦ R−1 e R−1 ◦ R também são reexivas.
16. Se R e S são relações simétricas sobre um conjunto E, então:
S ◦ R é simétrica ⇔ S ◦ R = R ◦ S.
17. Verique quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre E = {a, b, c}.
ˆ R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)};
ˆ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)};
ˆ R3 = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)};
ˆ R4 = E × E.
18. Verique quais das sentenças abertas abaixo denem uma relação de equivalência em Z.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
x ≡ y( mod 3);
x|y;
x ≤ y;
mdc(x, y) = 1;
x + y = 7.
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19. Seja E o conjunto dos triângulos do espaço geométrico euclidiano. Seja R a relação em E denida
por:
xRy ⇔ x é semelhante a y.
Prove que R é relação de equivalência.
20. Seja E o conjunto das retas de um plano α. Determine quais das relações denidas abaixo são
relações de equivalência em E.
(a) xRy se, e somente se, x ∥ y;
(b) xRy se, e somente se, x ⊥ y.
21. Considere a relação R denida sobre N × N denida por:
(a, b)R(c, d) ⇔ a + b = c + d.
Prove que R é uma relação de equivalência.
22. Considere a relação S denida sobre Z × Z∗ denida por:
(a, b)S(c, d) ⇔ ad = bc.
Prove que R é uma relação de equivalência.
23. Seja R uma relação reexiva sobre um conjunto E. Mostre que R é uma relação de equivalência
se, e somente se, R ◦ R−1 = R.
24. Seja R uma relação reexiva sobre um conjunto E com as seguintes propriedades:
(i) D(R) = E;
(ii) (∀a, b, c ∈ E ) (aRc e bRc ⇒ aRb).
Mostre que R é uma relação de equivalência.
25. Seja E = {x ∈ Z/ − 5 ≤ x ≤ 5} e seja R a relação sobre E denida por
xRy ⇔ x2 + 2x = y 2 + 2y.
(a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
(b) Descreva as classes de equivalência 0, −2 e 4.
26. Sejam E = {x ∈ Z/ |x| ≤ 3} e R a relação sobre E denida por
xRy ⇔ x + |x| = y + |y|.
(a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
(b) Descreva o conjunto-quociente E/R.
27. Considere o conjunto E = {x ∈ Z/ 0 ≤ x ≤ 10} e sobre ele a relação R de congruência módulo 4,
que é de equivalência.
(a) Descreva as classes de equivalência de 0 e 1.
(b) Descreva o conjunto-quociente E/R.
28. Seja R a relação sobre Q denida da seguinte forma:
xRy ⇔ x − y ∈ Z.
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(a) Prove que R é uma relação de equivalência.
(b) Descreva a classe 100.
(c) Descreva a classe 0, 5.
29. Considere a relação T sobre C denida por
(x + yi)T (z + ti) ⇔ x2 + y 2 = z 2 + t2 ,
com x, y, z, t ∈ R.
(a) Prove que T é uma relação de equivalência.
(b) Descreva a classe 1 + i.
30. Qual a relação de equivalência associada a partição F = {{a}, {b}, {c, d}}?
31. Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C.
Considere a relação R sobre C denida por:
xRy ⇔ a ≤ c e b ≤ d.
(a) Mostre que R é uma relação de ordem parcial sobre C.
(b) C é totalmente ordenado por R?
32. Prove que se R é uma relação de ordem parcial sobre E, então R−1 também é.
Nota: Nesse caso, R−1 é denominada ordem oposta de R.
33. Prove que a relação S sobre N∗ × N∗ tal que (a, b)S(c, d) se, e somente se, a|c e b|d é uma relação
de ordem. A relação S ordena totalmente N × N?
34. Seja A = {x ∈ Q/ 0 ≤ x2 ≤ 2} um subconjunto de Q, em que se considera a relação de ordem
habitual. Determine os limites superiores, os limites inferiores, o supremo, o ínmo, o máximo e
o mínimo de A.
35. Considere a relação R denida em N∗ × N da seguinte forma:
(a, b)R(c, d) ⇔ a|c e b ≤ d.
(a) Prove que R é uma relação de ordem parcial.
(b) Determine os limites superiores, os limites inferiores, o supremo, o ínmo, o máximo e o
mínimo de A = {(1, 2), (2, 1)}.
36. Mostre que R = {(a + bi, c + di) ∈ C2 / a < c ou (a = c e b ≤ d)} é uma relação de ordem
total no conjunto C.
Nota: esta relação é denominada ordem lexicográca.
37. Considere em Z a relação de equivalência: xRy ⇔ x ≡ y(mod 2).
(a) Descreva as classes de equivalência desta relação e determine o conjunto quociente Z/R.
(b) Determine a partição de Z denida por esta relação.
38. Determine os limites superiores, os limites inferiores, o máximo, o mínimo, o supremo e o ínmo
dos subconjuntos abaixo.
{
}
(a) A = 1 − n1 ∈ Q/ n ∈ N∗ , sendo A subconjunto de Q e a relação de ordem usual de Q.
(b) A = {2, 3, 6}, sendo A subconjunto de E = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36} e a relação de ordem
é a divisibilidade em N∗ .
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