05. (Bielo-Rússia/1998) Existe uma seqüência infinita de números reais positivos x1, x2, ..., xn, ... satisfazendo Sequências (Convergência, Monotonicidade) – Nível U – Marcelo Mendes de Oliveira [email protected] x n 2 x n 1 x n para qualquer n1? Semana Olímpica – Janeiro/2003 – Goiânia Teoremas T1. Toda seqüência convergente é limitada. T2. Toda seqüência monótona limitada é convergente. T3. Sejam xn zn yn para todo nN. Se lim xn = lim yn = a, então lim zn existe e lim zn = a. (para demonstrações, veja [1]) 06. Existe , 0<<1, tal que há uma seqüência {an}nN de números positivos com 1+an+1 an+ a n , n1? n 07. Sejam a e b números reais tais que 0<b<a. A seqüência é definida por 01. A seqüência Problemas {xn} é definida por x0=0, xn+1= 4 3 x n . Mostre que {xn} é convergente e x1=b, xn+1=2xn – x n2 (n1). a encontre seu limite. Demonstrar que {xn} é monótona e limitada. 02. (Vietnã/1991) É dada uma seqüência de números reais positivos x1, x2, x3, ..., xn, ... definida por x1=1, x2=9, x3=9, x4=1, e, para n1, x n 4 n x n x n 1x n 2 x n 3 . un 1 Prove que essa seqüência é convergente e encontre seu limite. 03. (Romênia/1998) Seja (an)n1 uma seqüência de n números reais tais que a seqüência xn= ak2 k 1 n seja convergente e a seqüência yn= 08. (Holanda/1993) Uma seqüência de números é definida como segue: u1=a, u2=b, e para n2 ak seja k 1 Prove que existe 1 un un 1 . 2 lim un existe e expresse o n valor do limite em termos de a e b. 09. Iniciando com um número positivo x0=a, seja {xn}n0 uma seqüência de números tais que x 2 1, se n é par n xn+1= . x n 1, se n é ímpar ilimitada. Prove que a seqüência (bn)n1, bn=yn – yn Para quais números positivos a existirá termos dessa seqüência arbitrariamente próximos de 0? é divergente, onde yn é a parte inteira de yn. 04. (Holanda/1990) Os números a1, a2, a3, ... são definidos como segue: a 1= 3a 2 4a n 3 3 e an+1= n . 2 4a n2 a) b) Prove que para todo n ocorre: an>1 e an+1<an. De a), segue que lim an existe. Determine c) esse limite. Determine lim a1a 2 a n . n n Bibliografia [1] Lima, E. Curso de Análise, vol. 1. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1976. [2] Gilbert, G. et al. The Wohascum County Problem Book. MAA, 1992. [3] Engel, Arthur. Problem-solving strategies. New York, Springer-Verlag, 1998.