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Cálculo Diferencial e Integral I – 5a lista
Profa Dra Maria Aparecida Bená
1. Se lim f ( x)  lim f ( x)  f é contínua em xo ? Justifique

xx  o
x  xo
2. Exemplifique as seguintes situações:
a) uma função que não seja contínua em x  1, mas lim f ( x)  lim f ( x) .
x 1
x 1
b) uma função que seja contínua em todos os reais, exceto nos pontos x  0; x  1.
3. Verifique se f é contínua nos pontos xo’s indicados.
 x3  8

f ( x)   x  2
b)
 12

1  cos x
, se x  0

f ( x)   x
a)
 0
, se x  0
x0  0
, se x  2
, se x  2
x0  2
 2x  4
, se x  2

f ( x)   x  2
d)
 2
, se x  2

1

, se x  0
sen
f ( x)  
x
c)
 0 , se x  0
x0  0
x0  2
4. Determine m para que a função dada seja contínua no ponto dado.
 x 3
, se x  3

a) f ( x)   x  3
m ,
se x  3

em x0  3 .
(R: m 

x 5
, se x  5

b) f ( x)   x  5  10
m ,
se x  5

1
2 3
)
(R: m  2 )
em x0  5 .
5. Determine a e b para que
x2
3x;

f ( x)  ax  b; 2  x  5
 6 x; x  5

(R: a  12; b  30 )
seja contínua em R.
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6. Analise a continuidade da função f no conjunto dos reais.
 x2  x

f ( x)   x  1 , se x  1
2,
se x  1

7. Mostre que as funções f ( x)  3x 5  2 x 4  1 e g ( x)  3 cos  2 x 4  3 x  são contínuas


para todo x real.
Sugestão: Use o teorema sobre a composta de função contínua.
8. Seja f ( x)  x 3  1, x   1, 2 . Se f (1)  L  f (2) , use o Teorema do Valor
Intermediário para mostrar que  c   1, 2 tal que f (c)  L .
(R: c  3 L  1 )
9. Seja f ( x)  x 2  3x  2 . Existe algum x  0, 5 tal que f ( x)  0 ? Sua resposta está
em contradição com o Teorema de Bolzano?
10. Seja f ( x)  x 5  x  1 . Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no
intervalo  1, 0 .
11. Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.
 x

/  2  x  2 admite máximo e mínimo.
12. Prove que o conjunto A  
1  x 2

13. Sejam f , g :  1, 1  R contínuas. Suponhamos f (1)  g (1); f (1)  g (1) . Nestas
condições mostre que a equação f ( x)  g ( x) tem pelo menos uma solução em  1, 1 .
Sugestão: Considere F :  1, 1  R , F ( x)  f ( x)  g ( x) e aplique o Teorema do
Anulamento.
14. Determine os pontos para os quais f é descontínua.
a) f ( x) 
4  x5  x
(R: o intervalo (4,5))
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b) f ( x) 
4
e x  e x
(R: x  0 )
15. Mostre, pelo Teorema de Bolzano, que a equação x 3  4 x 2  x  3  0 tem raiz entre
1 e 2.
16. Determine o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é
25  x 2
contínua: f x  
.
(R: [-5,3) U (3,5] )
x3
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