Progressões Aritméticas Progressão aritmética é uma seqüência

Progressões Aritméticas
Progressão aritmética é uma seqüência numérica na qual, a partir do segundo,
cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão.
Exemplos:
(a) (2, 3, 4, 5, ...)  PA crescente, r = 1
(b) (-1, -1, -1, -1, ...)  PA constante, r = 0
(c) (8, 6, 4, 2, ...)  PA decrescente, r = -2
Observação: em qualquer PA poderemos afirmar que o dobro de um termo será sempre
igual a soma do seu antecessor com o seu sucessor.
Observe a PA genérica: (an-1 , an , an+1)  assim 2.an = an-1 + an+1
Exemplo: Na PA (2, 4, 6, 8, ...) veja que:
2.4 = 2 + 6
2.6 = 4 + 8

Fórmula do termo geral de uma PA: an = a1 + (n – 1).r
Onde:
a1 = 1º termo da seqüência
a2 = 2º termo da seqüência
a3 = 3º termo da seqüência
an = termo qualquer da PA
r = razão da PA
n = números de termos da PA

Soma dos termos de uma PA:
(a
Sn 
1
 an ). n
2
Exemplos:
(1)
Dada
a
P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.
Solução:
Nesta PA temos:
a1 = -19
r = -15 – (-19) = -15 + 19 = 4 PA crescente
usando a fórmula do termo geral,
an = a1 + ( n – 1).r
an = -19 + ( n – 1).4
an = -19 + 4n – 4
an = 4n – 23
este é o enésimo termo
(2)
Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
Solução:
(-8, _, _, _, _, _, _, 13)
Com essa seqüência temos:
a1 = -8
a8 = 13
n=8
Usando a fórmula do termo geral temos:
an = a1 + (n – 1).r
13 = -8 + (8 – 1).r
13 = -8 + 7r
13 + 8 = 7r
21 = 7r
r = 3  com a razão igual a 3 formamos a PA: -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13
(3)
Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que são múltiplos de 3.
Solução:
O primeiro múltiplo de 3 que está neste intervalo é o 15 e o último deste intervalo é o 246.
Com isso formamos uma PA onde o a1 = 15 , o an = 246 e a razão é 3, usando a fórmula do
termo geral temos:
an = a1 + (n – 1).r
246 = 15 + (n – 1).3
246 = 15 + 3n – 3
246 – 15 + 3 = 3n
234 = 3n
n = 78
(4)
Encontre o valor de x para que a seqüência (2x, x + 1, 3x) seja uma progressão
aritmética.
Solução:
Pela observação comentada na teoria, podemos afirmar que:
2.(x + 1) = 2x + 3x
2x + 2 = 5x
2 = 5x – 2x
2 = 3x
2
x=
3
Exercícios:
1) A cada dia, um atleta em treinamento deseja correr x metros a mais que no dia anterior.
Considere que, no primeiro dia, ele correu 10 km e pretende correr 42 km no 21 o dia.
Nessas condições, o valor de , x em metros, deverá ser de:
2) Num período de 10 meses consecutivos, uma fábrica deseja produzir 60.000 pares de
calçados, de modo que a produção a cada mês (a partir do segundo) seja 900 pares a
mais, em relação ao mês anterior. Nessas condições, determine a produção ao final do
primeiro mês.