Seqüências

05. (Bielo-Rússia/1998) Existe uma seqüência infinita
de números reais positivos x1, x2, ..., xn, ...
satisfazendo
Sequências
(Convergência, Monotonicidade)
– Nível U –
Marcelo Mendes de Oliveira
[email protected]
x n  2  x n 1  x n
para qualquer n1?
Semana Olímpica – Janeiro/2003 – Goiânia
Teoremas
T1. Toda seqüência convergente é limitada.
T2. Toda seqüência monótona limitada é convergente.
T3. Sejam xn  zn  yn para todo nN. Se lim xn = lim yn
= a, então lim zn existe e lim zn = a.
(para demonstrações, veja [1])
06. Existe , 0<<1, tal que há uma seqüência {an}nN
de números positivos com
1+an+1  an+

a n , n1?
n
07. Sejam a e b números reais tais que 0<b<a. A
seqüência é definida por
01. A
seqüência
Problemas
{xn} é definida
por
x0=0,
xn+1= 4  3 x n . Mostre que {xn} é convergente e
x1=b, xn+1=2xn –
x n2
(n1).
a
encontre seu limite.
Demonstrar que {xn} é monótona e limitada.
02. (Vietnã/1991) É dada uma seqüência de números
reais positivos x1, x2, x3, ..., xn, ... definida por
x1=1, x2=9, x3=9, x4=1, e, para n1,
x n  4  n x n x n 1x n  2 x n  3 .
un 1 
Prove que essa seqüência é convergente e
encontre seu limite.
03. (Romênia/1998) Seja (an)n1 uma seqüência de
n
números reais tais que a seqüência xn=
 ak2
k 1
n
seja convergente e a seqüência yn=
08. (Holanda/1993) Uma seqüência de números é
definida como segue: u1=a, u2=b, e para n2
 ak
seja
k 1
Prove que existe
1
un  un 1  .
2
lim un existe e expresse o
n
valor do limite em termos de a e b.
09. Iniciando com um número positivo x0=a, seja
{xn}n0 uma seqüência de números tais que
x 2  1,
se n é par
 n
xn+1= 
.
 x n  1, se n é ímpar
ilimitada. Prove que a seqüência (bn)n1,
bn=yn – yn
Para quais números positivos a existirá termos
dessa seqüência arbitrariamente próximos de 0?
é divergente, onde yn é a parte inteira de yn.
04. (Holanda/1990) Os números a1, a2, a3, ... são
definidos como segue:
a 1=
3a 2  4a n  3
3
e an+1= n
.
2
4a n2
a)
b)
Prove que para todo n ocorre: an>1 e an+1<an.
De a), segue que lim an existe. Determine
c)
esse limite.
Determine lim a1a 2  a n .
n
n
Bibliografia
[1] Lima, E. Curso de Análise, vol. 1. Rio de Janeiro,
Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq,
1976.
[2] Gilbert, G. et al. The Wohascum County Problem
Book. MAA, 1992.
[3] Engel, Arthur. Problem-solving strategies. New
York, Springer-Verlag, 1998.