gabarito - Walter Tadeu

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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
Exercícios de Números Complexos – Forma Algébrica – 2012 - GABARITO
1. (UFU) Sejam os complexos z = 2x – 3i e t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o
produto x.y é: a) 6
b) 4
c) 3
d) –3
e) – 6
Solução. Igualando os complexos, temos:
Re( z)  Re( t ) 2x  2
x  1
i) 2x  3i  2  yi  


.
Im( z)  Im( t )
 3  y y  3
ii) x.y  (1).( 3)  3
2. (PUC) O é o quociente de 8  i é igual a:
2i
a) 1 + 2i
b) 2 + i
c) 2 + 2i
d) 2 + 3i
e) 3 + 2i
Solução. Multiplicando o denominador e o numerador pelo conjugado de (2 – i), temos:
8  i 8  i 2  i 16  8i  2i  i² 16  8i  2i  1 15  10i 5(3  2i)

.




 3  2i .
2i 2i 2i
2²  i²
2²  ( 1)
5
5
3. (MACK) Se z é um número complexo e
o seu conjugado, então, o número de soluções da
equação: z  z ² é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Solução. Considerando z = a + bi, temos:
z  a  bi
 a  bi  (a  bi)²  a  bi  a²  2abi  b²i²  (a²  a  b²)  i(2ab  b)  0 

z  a  bi
a²  a  b²  0


b  0


2
ab

b

0

b
(
2
a

1
)

0


1

2a  1  0  a   2


a  0  z 1  0  1ª Solução
1º caso : b  0  a²  a  (0)  0  a(a  1)  0  
a  1  z 2  1  2ª Solução



1

2
z 3    i
1
1
1
1
1
3
3

2
2º caso : a            b²  0  b²     b  






2  2
4 2 4
2
 2
z   1  i

 3

2
3
 3ª Solução
2
3
.
 4ª Solução
2
4. (ITA) Os complexos u e v, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-Gauss por dois
pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação
a)
b)
c)
d)
Solução. Considerando u = a + bi e v = c + di, se possuem o mesmo módulo e os pontos são
simétricos em relação ao eixo real, então a = c e b = - d. Analisando cada opção temos:
v  c  di  v  c  di
a) Falso. 
u  a  bi  c  di
b) Verdadeiro.
 u.v  (c  di).( c  di)  (c  di)²  c ²  d² .
u.v  (c  di).( c  di)  c²  d²i²  c²  d²  v  1.
c) Falso. u  v  (c  di)  (c  di)  2c  2di  0 .
d) Falso.
u.v  (c  di).( c  di)  c²  d²i²  c²  d²  v  1  0 .
5. (CESGRANRIO) O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é:
a) 0
b)
2
2
c) 1
2
d)
e) 2
Solução. Considerando z = a +bi, temos:
z ²  (a  bi)²  a²  2abi  b²i²  (a²  b²)  2abi


z ²  i
a²  b²  0  a  b ou a  b



1
2ab  1  ab  2

z  2  i 2  2  i 2
 1
2
2
2
2
1
1
2

i) a  b  a.a   a²   a  

2
2
2

2
2
2
z 2  
i
 
i
2
2
2


2  2 
2
 i
i
z 3  i

2  2 
2

1
1
2
ii) a  b  a²   a²    a  i

2
2
2
2  2 

z 4  i 2   i 2 i  



2
2
 2


  2 1
 



 2 
 2 
2
2


2
2 
2 
  
  

 1
2
 2 
 2 
i
2
 z3  1
2
2
2
i
 z4  1
2
2
.
6. (UFPA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 10
Solução. Um número complexo é imaginário puro, se sua parte real for nula.
i) (2  mi ).( 3  i)  6  2i  3mi  mi ²  6  2i  3mi  m  (6  m)  (2  m)i
ii) Re6  m)  (2  m)i  0  6  m  0  m  6
7. (MACK) O conjugado de 2  i vale:
i
a) 1 – 2i
b) 1 + 2i
d) –1 – 2i
c) 1 + 3i
.
e) 2 - i
Solução. Multiplicando o numerador e o denominador por i, vem:
2  i 2  i   i   2i  i²  2i  1  2i  1

.  


 1  2i .
i
i  i
 i²
 ( 1)
1
8. Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] ÷ i96.240.
Solução. Aplicando as propriedades das potências de i, temos:
i) (1  i)²  1  2i  i²  1  2i  1  2i



ii) (1  i)80  (1  i)82  i 96 .2 40  (1  i) 2



  (1 i) 
40
2 40

 2i  2i .(1  i) 2  1.2 40  2i  2i .( 2i)  2 40 
40
40
40
40

 
.(1  i) 2  i 4
24
.2 40 
.
2 .i (1  2i)
 (i 4 )10 (1  2i)  1  2i
40
2
40 40
9. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w é um número
real e z.w é um imaginário puro, pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
Solução. Efetuando e utilizando o fato que número real possui a parte imaginária for nula, temos:
i) Im (2  5i)  (a  bi)  0  Im (2  a)  i( 5  b)  0  5  b  0  b  5
ii) Re(2  5i).( a  5i)  0  Re2a  10i  5ai  25i²   0  2a  25  0  2a  25  a  
 25 
iii) b²  2a  (5)²  2 
  25  25  50
 2 
10. Determine o número complexo z tal que
i.z  2.z  1 i  0 .
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação, temos:
25 .
2
z  a  bi
 i(a  bi)  2(a  bi)  1  i  0  ai  bi²  2a  2bi  1  i  0  (2a  b  1)  i(a  2b  1)  0 

z  a  bi
.
2a  b  1  (  2)  4a  2b  2


 3a  3  a  1
a  2b  1
a  2b  1
Logo, ( 1)  2b  1  2b  2  b  1. Então, z  1  i
11. (UEFS) Encontre o valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 – i.
c) 5  5 i
2 2
b) 1 – i
a) -3i
d) 5  3 i
2 2
e) 1  3 i
2 2
Solução. Desenvolvendo, temos:
x  1  i
1
1 1 i 
1 i
1 i
1  i  4i 1 3 .
E 
 (1  i)² 
.
 1  2i  1 
 2i 
  i
  1  2i  i² 

1
1

i
1

i
1

i
1

i
²
2
2
2 2
E

x

x
²



12. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i
b) 1 + 2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i
Solução. Utilizando as propriedades das potências de i, temos:
i 7  i 5  (i³  2i 4 )²  i³  i  (i  2)²  i  i  (i)²  4i  4  1  4i  4  3  4i .
13. (FUVEST) Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária. Suponha z ≠ i.
Para quais valores de z tem-se z  i  2 ?
1  iz
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação, temos:
zi
 2  z  i  2  2iz  z  2  i  2iz  0  (a  bi)  2  i  2i(a  bi)  0  a  bi  2  i  2ai  2bi²  0 
1  iz
a  2b  2  (2) 2a  4b  4
 a  bi  2  i  2ai  2b  0  (a  2b  2)  i(b  2a  1)  0  


.
 2a  b  1
 2a  b  1
 5b  3  b 
R:z 
3
3
3
8
8 1 4
. Logo,  2a   1  2a   1  2a   a  .  .
5
5
5
5
5 2 5
4 3
 i
5 5
14. (FGV) A figura indica a representação dos números Z1 e Z2‚ no plano complexo. Se Z1.Z2‚ = a + bi, calcule
a + b.
Solução. Observando o gráfico podemos escrever z2 = x + iy. Os ângulos u e v são os argumentos.
Temos:
z 1  2 3  2i

i) 
2
1
3


 u  30º  v  60º
tgu 
3
2 3
3


 1
x  2. cos v  2. cos 60º  2. 2   1
.
 

ii) 
 z 2  1  i 3
y  2.senv  2.sen60º  2. 3   3
 2 




z .z .  2 3  2i .  1  i 3  2 3  6i  2i  2 3  4 3  4i
iii)  1 2

z 1.z 2 .  a  bi
a  4 3

 a  b  4 3  4  4 1  3
b  4





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