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PARTE 1
7
NÚMEROS COMPLEXOS
Durante muitos séculos, equações do 2o grau com
<0 como x2 + 1 = 0 , x2 + 4 = 0 e x2 + 5x + 7 = 0
ficaram sem solução, já que não existe a solução
delas em .
Em Bolonha, por volta de 1.572, Raffaelli
Bombelli publicou seu tratado de Álgebra,
falando sobre raízes quadradas de números
negativos e três séculos mais tarde, esses estudos
culminaram com a teoria dos números complexos.
Assim, surgiu um novo conjunto chamado de
Conjunto dos números complexos “ C ” e criouse
o símbolo i, como notação para os números
imaginários , para denotar que i=  1 .
Onde:

a é chamado de parte real  a = Re(z)

b é a parte imagináriab = Im(z)
Assim :

se a = 0  z= 0 + bi  z = bi é um
número imaginário puro

se b=0  z= a + 0i  z = a é um número
real
Exemplo 1
Encontre as raízes das equações.
Observamos que:
a) x 2  1  0

i2 = 1 ;
x 2  1

i3 = i2 .i = 1.i = i ;
x    1  x  i ou x  i

i4 = i2.i2=(1).(1)=1 ;

i5=i assim por diante.
S   i , i
b) x 2  25  0
x 2  25
x    25   25.  1  x  5i ou x   5i
S  - 5i ,5i
Podemos então escrever o conjunto dos
números complexos como sendo:
C = {z/ z = a + bi ; a є  e b є }
c) x 2  2 x  2  0
Cálculo de   b 2  4ac
   22  4.1.2   4
2   4 2  2i 21  i 
x


1 i
2
2
2
daí x  1  i ou x  1  i e S  1 - i ,1  i 
Exemplo 2
Determine p para que z = ( 2p + 7 ) + 3.i seja
um número imaginário puro.
Resolução:
a = 2p + 7=0  p  
7
2
Logo, números com i tais como 2i ,  3i , 2 + 3i ,
4  2i são chamados de números complexos.
7.1
FORMA ALGÉBRICA
z = a+bi com a є  e b є 
Exemplo 3
Determine m para que o número complexo
z = 2 + ( m 3 ) i seja um número real.
Resolução:
b = m 3 = 0  m = 3
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PARTE 1
7.2
IGUALDADE
DE
NÚMEROS
COMPLEXOS
Dois números complexos são iguais se e somente
se suas partes reais e imaginárias são
respectivamente iguais.
a + bi = c + di  a = c e b = d
Exemplo 4
Determinar x e y de modo que:
(2x +y ) + 6i = 5 + ( x + 4y) i.
z2 = 2y i. Calcule x e y de modo que:
z1 + z2 = 3 5i.
Resolução:
Seja z1 + z2 = 1 + (x3)i + 2y i
= 1 + xi – 3i + 2y – i
= 1 + 2y + xi – 4i
= (1 + 2y) + (x 4)i
Devemos ter: (1+ 2y) + ( x 4)i = 3 5i.
Resolução:
Devemos ter:
2 x  y  5

x  4 y  6 (-2)
Exemplo 6
Sejam os números complexos z1 =1 + (x3)i e

2x + y = 5
2x  8y = 12
7y = 7 (1)
y=1
Substituindo y em qualquer uma das equações
temos:
2x + y = 5
2x + 1 = 5
2x = 4  x = 2
Portanto : x = 2 e y = 1
7.3 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM C
Dados z1 = a + bi e z2 = c + di com a,b,c,d є 
definimos:
Do conceito de igualdade de números
complexos:
1 + 2y = 3  2y = 2  y = 1
x 4 = 5  x =1
Portanto: x = 1 e y = 1
7.4 MULTIPLICAÇÃO EM C
Dados dois números complexos:
z1 = a + bi e z2 = c +di
e sabendo que:
i2 = 1, temos:
z1 . z2 = ( a + bi).( c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= ac + ( ad + bc)i bd
= (ac bd) + ( ad + bc)i
Portanto:
z1.z2 = (a + bi).(c + di) = (ac  bd) + (ad + bc)i
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d)i
z1  z2 = (a + bi)  (c +di) = (a  c) + (b  d)i
Exemplo 7
Efetuar:
a) (2 + 4i).( 1 + 3i) = 2 + 6i + 4i + 12i2
Exemplo 5
Sejam z1 = 3 - 5i e z2 = 4 + 4i.
Calcule z1 + z2 e z1z2
Resolução:
z1 + z2 = (35i) + (4+4i) = (3+4) + (5+4)i = 7i
z1z2 = (35i) (4+4i) = (34) + (54)i =19i
= 2 + 10i 12
= 10 + 12i
b) (3 2i)2 = (3 2i).(3 2i)
= 9 6i 6i + 4i2
= 9 12i 4
= 5 12i
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PARTE 1
Exemplo 8
Determinar x de modo de (3x i)2 seja um número
imaginário puro.
z = a + bi  z  a  bi
Resolução:
Desenvolvendo o quadrado, temos:
(3x i)2 = 9x2 6xi + i2
= 9x2 6xi 1
= (9x21) 6xi
Para que o número complexo seja imaginário puro,
devemos ter Re(z) = 0 e Im (z)  0.
Re(z): 9x 1 = 0
9x2 = 1
x 0
2
x= 
Dado um número complexo z = a + bi, o
conjugado deste número é z  a  bi , isto é:
e
Im(z): 6x0  0
Exemplo 10
Obter o conjugado dos números complexos:
a) z = 1 + 2i  z  1  2i
b) z = 3 i  z  3  i
c) z = 5  z  5
d) z = 6i  z  6i
Definição
Dados dois números complexos z1 = a+bi e z2 =
c+di sendo z2  0 ,definimos z1/z2 como
sendo:
1
3
z1 z1 z 2 a  bi  c  di 

.

.
z 2 z 2 z 2 c  di  c  di 
Portanto: x = 1/3 e x = 1/3.
Exemplo 9
Calcule i67.
Resolução:
Como já vimos:
i2 = 1
i3 = i
i4 = 1
i5 = i assim por diante.
Vamos dividir 67 por 4 para descobrir qual o
maior múltiplo de 4 menor que 67 e qual é o resto:
67
4
3
16
 67 = 16.4 + 3
Então: i67 = i64 + 3 = i64 .i3 = (i4)16.i3 = 164.(i) = i
mais resumidamente: i67 = i3 = i
Exemplo 11
Efetuar as seguintes divisões:
Observação: Lembrese que i2 = 1.
3  2i
a)
1 i
Resolução :
3  2i (3  2i) 1  i  3  3i  2i  2i 2

.

1 i
(1  i) 1  i 
(1  i)1  i 
3i  2 5-i 5 1


  i
2
2 2
1  i2
3i
b)
i
Re solução :
3  i 3  i (i)  3i  i 2

.

i
i (i)
 i2
 3i  1

 1  3i
1
7.5
DIVISÃO EM C
Antes de vermos como se obtém a divisão de um
número complexo
por outro, veremos um
conceito muito importante utilizado na divisão de
dois números complexos que é o conjugado de
um número complexo
Exemplo 12
Determine o valor real de x de modo que
Conjugado de um número complexo
z
1  2i
seja um número imaginário puro.
1  xi
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PARTE 1
Resolução:
z

(1  2i) (1  xi)
.

(1  xi) (1  xi)
1  ( x  2)i  2x
Dessa forma, cada número complexo z =a +bi
pode ser escrito como o par ordenado (a,b) e
corresponde a um único ponto P(a,b) do plano
como vemos na Fig. 1.
1  xi  2i  2xi2
1  x 2i 2
(1  2x )  ( x  2)i

1  x2
1  2x  x  2 
i

 
1  x2 1  x2 
y = Im(z)
1  x2
b
P(a,b)
Para que z seja um número imaginário puro,
devemos ter Re(z) = 0 e Im(z)  0, ou seja:
0
Re( z)  0 
1  2x
 0  1  2x  0  x 
1 x2
Im(z)  0  x  2  0  x  2
Portanto: x 
1
2
1
2
a
x = Re(z)
Figura 1
0 x  eixo real
0y  eixo imáginário
P (a,b)  imagem geomét rica
ou afixo do complexo
z  a  bi
Exemplo 13
Determinar o número complexo z tal que
2z  zi  7  i .
Resolução:
Fazendo z = a + bi e, portanto, z = a  bi, temos:
2z + z i = 7  i  2 (a + bi) + (a bi)i = 7 i
2a + 2bi + ai – bi2 = 7 – i
(2a + b) + (a + 2b)i = 7 – i
2a  b  7
Então: 
a  2 b  1
Exemplo 14
Na Fig. 2 estão marcados os afixos dos
complexos.
z1= 4 + 2i ;   P1(4,2)
z2= 5i ;    P2(0,5)
z3= 3 + 4i;   P3(3,4)
z4= 5 ;    P4(5,0)
z5=15i ;    P5(1,5)
z6=33i ;    P6(3,3)
y
onde a solução é a = 5 e b = 3.
Portanto z = 5 – 3i
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM
NÚMERO COMPLEXO
Um número complexo z = a + bi pode ser
representado por um ponto no plano cartesiano
x0y tomandose a parte real a como a abscissa e a
parte imaginária b como a ordenada. Esse plano é
chamado de plano complexo ou plano de
Argand-Gauss, dois matemáticos, que, embora
trabalhando independentemente, propuseram uma
interpretação geométrica para os números
complexos no final do século XVIII e início do
século XIX.
P3
P2
P1
7.6
P4
x
P6
P5
Figura 2
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