z - Engenharia Eletrica
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TE210 FUNDAMENTOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Números Complexos Introdução histórica. Os números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. A necessidade dos números complexos. Sua relação com o mundo físico real. Definição. O plano complexo. Propriedades algébricas. Módulo e conjugado. Propriedades do valor absoluto. Desigualdade do triângulo. Exercícios. Números complexos Introdução histórica Naturais Racionais Negativos (Inteiros) Irracionais (reais) Imaginários (Complexos) Os números complexos e o mundo real. Como é possível que exista a (-1)½ ? Lembremos que (2)½ levou aos números reais (relacionados com a realidade física) Complexos: Em 1545 foram introduzidos como uma combinação do tipo z = a+ib onde a e b são reais. Soma, diferença, multiplicação e divisão! Exemplos. Todas as regras da álgebra são satisfeitas pelos complexos! Todos os números agora possuem raiz! (incluindo raiz 999, ou π, ou i) Teorema Fundamental da álgebra! (toda eq. Polinomial tem solução) (2) Números complexos Tudo começou com a procura de soluções para as equações cúbicas (Cardano, 1545). Estudo da convergência de séries e outros. Definição Os números complexos ficam determinados pelas seguintes regras: 1. i2 = -1 2. ai = ia 3. a+bi = c+di significa que a=c e que b=d 4. (a+bi) + (c+di) = (a+c) + i (b+d) 5. (a+bi) (c+di) = (ac-bd) + i (ad+bc) Exercícios: (1-5i) (3+2i) = ? 13(1-i) 1 2 − i 50 = ? 1/3 - 10i 18 (3) Números complexos O Plano Complexo Dado um número complexo z= x+iy sua parte real é Re z = x e sua parte imaginária é Im z = y. Conjunto das representações de todos os números complexos z= x+iy pelos pontos P = (x,y) do plano. Desta forma os números complexos se somam e subtraem utilizando as conhecidas regras aplicáveis a vetores. Módulo e Complexo Conjugado Definição: o módulo do número complexo z= a+ib é o número não negativo: 2 2 z = a +b Como se observa é a distância do ponto z à origem O. O complexo conjugado de z= x+iy é definido como sendo: z = x − iy Calcule zz = ? (4) Números complexos Esta propriedade nos permite calcular os cocientes de números complexos! z1 z1 z 2 x1 x2 + y1 y2 + i ( y1 x2 − x1 y2 ) = = 2 2 z2 z2 z2 x2 + y 2 Verificar: z = z z+z Re z = 2 z1 + z 2 = z1 + z2 z1 z2 = z1 z2 z−z Im z = 2i z1 z1 = z2 z2 (5) Exercícios 1. Reduzir à forma a+ib as seguintes expressões: 2i 7 − 2i 2 − 5 (4 − 2i )2 2. Mostre que, conforme a divisão de N por 4 seja zero, 1, 2, ou 3 teremos que: N n i ∑ = "1" ou "1 + i" ou " i" n =0 3. Reduzir à forma a+ib as seguintes expressões: 1+ i 1− i 1 4 − 3i 4. Mostre que: [ 2 ] 3−i 2i − 1 Re − i (2 − 3i ) = −12 (6) Exercícios para casa 1. Reduzir à forma a+ib as seguintes expressões: i 6 1 + − + 3i 3 5 2. Mostre que: (1 + i )3 2 2 (x + iy ) (x − iy ) 1 + 2i + 3i 2 + 4i 3 + 5i 4 + 6i 5 ( 2 = x +y ) 2 2 3. Reduzir à forma a+ib as seguintes expressões: 1 (1 + i )2 4. Mostre que: 1− i 1+ i 1− i 1+ i 1− i 3 Im i − 2 ( 30 ) = 2(1 + 2 3 ) 2 5 (7) Representação Polar ou Trigonométrica z = r (cos ϕ + i sen ϕ) r = |z| ϕ - argumento de z (o problema do valor de ϕ!) Fórmulas do produto e do quociente z1 = r1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) z2 = r2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2) z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) (cos ϕ2 + i sen ϕ2) = = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 - sen ϕ1 sen ϕ2) + i (sen ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sen ϕ2) = z1 z2 = r1 r2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sen (ϕ1 + ϕ2)] Obter a formula da divisão! z1/z2 = r1/r2 [cos (ϕ1 - ϕ2) + i sen (ϕ1 - ϕ2)] (8) Fórmula de De Moivre No caso da multiplicação de n fatores teremos: z1 z2 z3 z4 ...zn = ? z1 z2 = r1 r2 [cos (ϕ1 + ϕ2 +...+ ϕn) + i sen (ϕ1 + ϕ2 +...+ ϕn)] Quando os fatores são iguais obtemos a fórmula de Moivre (cos ϕ + i sen ϕ)n = cos nϕ + i sen nϕ No caso de expoentes negativos.... (cos ϕ + i sen ϕ)-n = cos (-nϕ) + i sen (-nϕ) (9) Exercícios 1. Determine o argumento dos números complexos a seguir, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente. − 2 + 2i 1− i −4 3 −i 2. Reduzir os complexos z1 e z2 à forma polar, determine as formas polares de z1/z2 e z1z2. Represente os quatro números num gráfico. z1 = 1 − i z 2 = −1 + i 3 3. Provar que: cos3θ = cos3θ - 3 cosθ sen2θ (10) Exercícios para casa 1. Determine o argumento dos números complexos a seguir, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente. − 1+ 3i − 3 − 2i 1 −1 − i 3 2. Reduzir os complexos z1 e z2 à forma polar, determine as formas polares d z1/z2 e z1z2. Represente os quatro números num gráfico. z1 = 1 + 2i z1 = 1 + i z2 = 2 + i z2 = 3 + i z1 = −1 − i z 2 = −1 − i 3 z1 = 1 − i z 2 = −1 + 2i 3. Provar que: sen3θ = -sen3θ + 3 cos2θ senθ 4. Obter formulas análogas para o cos4θ e o sen4θ (11) Propriedades do valor absoluto As seguintes propriedades são de verificação imediata |z| ≥ 0 |z| = 0 ⇔ z = 0 |z| = |-z| |Re z| < |z| |Im z| < |z| A propriedade |z1z2| = |z1||z2| 2 ( ) ( )( ) 2 segue da seguinte observação: z1 z 2 = (z1 z 2 ) z1 z 2 = z1 z1 z 2 z 2 = z1 z 2 e extraindo a raiz temos a demonstração 2 A propriedade |z1+z2| ≤ |z1|+|z2| Demonstrar! (12) Propriedades do valor absoluto A propriedade |z1+z2| ≤ |z1|+|z2| ( ) ( ) ( ) ( ) segue de: z1 + z 2 2 = (z1 + z 2 ) z1 + z 2 = z1 z1 + z 2 z 2 + z1 z 2 + z1 z 2 = 2 2 2 ( ) 2 2 2 = z1 + z 2 + z1 z 2 + z1 z 2 = z1 + z 2 + 2 Re z1 z 2 ≤ z1 + z 2 + 2 z1 z 2 = z1 + z 2 + 2 z1 z 2 = ( z1 + z 2 ) e extraindo a raiz temos a demonstração 2 2 Interpretação: 2 z1+z2 z2 z1 E para |z1-z2| ? |z1-z2| ≤ |z1|+|z2| Pois |-z2|=|z2| (13) Propriedades do valor absoluto Outra propriedade muito importante é |z1|-|z2| ≤ |z1+z2| Demonstrar e interpretar! z1+z2 z1 = z1 + z 2 − z 2 ≤ z1 + z 2 + z 2 z2 z1 E |z2|-|z1| ? |z2|-|z1| ≤ |z1+z2| Agora se chamamos |z1|-|z2| = a podemos reescrever as desigualdades: a ≤ |z1+z2| -a ≤ |z1+z2| |a| ≤ |z1+z2| | |z1|-|z2| | ≤ |z1+z2| (14) Exercícios 1. Provar que: |z1| - |z2| ≤ |z1-z2| ∀z1 z2 2. Provar que se vale a desigualdade anterior então |z1±z2| ≤ |z1| + |z2| ∀z1 z2 (15) Exercícios para casa 2 1. Mostre que: 2+i 5 = 7 2−i 3 ( ) 3 + i (1 − 3i ) =2 2 5 2. Supondo ser |z2|>|z3|, prove que: z1 z1 ≤ z 2 + z3 z 2 + z3 3. Provar que: z1 z1 ≤ z 2 − z3 z 2 − z3 |z| ≤ |x| + |y| ≤ (2)1/2 |z| onde z = x + iy (16)
