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Números Complexos
Números Complexos
Equação Geral da Circunferência...........................................................................................1
Números Complexos...............................................................................................................2
Forma Algébrica de um Número Complexo .........................................................................2
Conjugado de um número complexo .....................................................................................3
Igualdade de Números Complexos ........................................................................................3
Adição, subtração e multiplicação de números complexos.................................................3
Propriedades ............................................................................................................................3
Divisão .....................................................................................................................................4
Plano de Gauss ........................................................................................................................4
Módulo e Argumento de um Número Complexo..................................................................5
Forma Trigonométrica dos Números Complexos .................................................................5
Mulplicação de complexos na forma trigonométrica............................................................6
Potenciação de complexos na forma trigonométrica ............................................................7
Radiciação de Complexos na Forma Trigonométrica...........................................................7
Exercícios.................................................................................................................................8
Bibliografia ..............................................................................................................................9
Equação Geral da Circunferência
Equação: (x − a ) + ( y − b ) = r 2
Circunferência é o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C (centro) é igual a
r (raio).
Exercícios
1. Determinar a equação da circunferência, em cada caso:
a) C(2,7) e r=3
® (x − 2 )2 + ( y − 7 )2 = 9
2
2
b) C(0,-4) e r= 5
® (x − 0 )2 + ( y + 4 ) = 5
4
c) C(0,0) e r=
5
1 
d) C  ,2  e r= 2
2 
4
® (x-0) +(y-0) =   à 25x2+25y2=16
5
9
® x2 + y2 − x − 4y + = 0
4
2
2
2
2. Determine o centro C e o raio r, das circunferências:
2
2
a) ( x − 4 ) + ( y − 1) = 9
® C(4,1)
b)
(x − 1)
c)
(x − 0 )2 +  y − 1 
2
+ ( y − 0) = 5
2
e
r=3
® C(1,0)
e
r= 5
® C(0,1/2)
e
12
2
= 12 2
2

2
2
d) ( x + 3) + ( y + 10) = 12
® C (− 3,−4 ) e r=1
— numcompl — 2/9
Números Complexos
3.
Resolver a equação do segundo grau: x 2 − 10 x + 41 = 0 .
®
duas raízes: 5 − 4 − 1 e 5 + 4 − 1
Potências da unidade imaginária i = − 1 : i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7, i8, i9, ...
à ® 1, i, − 1 , − i , 1, i, -1, -i, 1, i, ....
4. Calcule o valor das potências: i49 e i102.
® i e -1
5. Calcule o valor da expressão: 2i9+5i8+3i7.
® 5
6. Calcule a potência i 4 n+ 2 , onde n é um número natural.
® -1
7. Resolva a equação x 2 + 25 = 0 .
® 5i e -5i
8. Resolva a equação x 2 + 3 = 0 .
® i 3 e −i 3
Forma Algébrica de um Número Complexo
A partir da unidade imaginária surge um novo conjunto numérico chamado conjunto dos
números complexos, que indicamos por C.
Forma algébrica: z = a + bi , a = Re(z ) é a parte real de z e b = Im(z ) é a parte
imaginária de z.
Exemplos:
a) z1 = 2 + 5i ,
Parte real: Re( z1 ) = 2 e Parte imaginária: Im( z1 ) = −5
3
2
b) z 2 = − +
i,
5 4
c) z 3 = −7
d) z 4 = −9i
2
3
e Im( z 2 ) =
5
4
Re(z 3 ) = −7 e Im( z 3 ) = 0
Re(z 4 ) = 0 e Im( z 4 ) = −9
Re(z 2 ) = −
Exercício
9. Determinar o valor de k de modo que o número complexo z = (2k − 6) + 2i seja
imaginário puro.
Solução: Um número complexo é imaginário puro se a parte real for igual a zero: 2k-6=0.
® k=3.
2
2
10. Se o complexo z = ( y − 3 y ) + y .i representa um número imaginário puro, então qual o
valor de y?
® y=3
11. Encontrar o valor de m para que o complexo z = −3m + (5m + 4)i seja um número real.
4
®−
3
— numcompl — 3/9
Conjugado de um número complexo
O conjugado do número complexo z = a + bi é z = a − bi ou a + bi = a − bi
Exemplo:
a) z = −2 + 3i seu conjugado é z = −2 − 3i .
2
3
2
3
b) z1 = + i
seu conjugado é z1 = − i.
3
7
3
7
c) z 2 = 1 + 2i seu conjugado é z 2 = 1 − 2i ou z 2 = 1 − 2i .
Exercício
12. Resolva a equação x 2 + 2 x + 3 = 0 .
13. Resolva a equação x 4 + 10 x 2 − 24 = 0
® − 1 − i. 2 e − 1 + i. 2
® S = − 2 , 2 ,−2i 3 ,2i 3
{
Igualdade de Números Complexos
14. Determinar os números reais x e y, de modo que 3 x − 2 yi = 6 + 8i .
3 x = 6
Solução: formamos o sistema 
, encontramos ... ® x=2 e y= -4
− 2 y = 8
15. Determinar os números reais x e y, de modo que se tenha (2x-5y)+(x+y).i= -4. ®
4
4
x=− e y= .
5
5
Adição, subtração e multiplicação de números complexos
Na adição e na subtração: somamos algebricamente parte real com parte real e parte
imaginária com parte imaginária.
16. Dados os números complexos z1 = 2 + 3i e z 2 = 5 − 10i , calcule:
a) z1 + z 2
à z1 + z 2 = (2 + 3i ) + (5 − 10i ) = 7-7i
b) z1 − z 2
à z1 − z 2 = (2 + 3i ) − (5 − 10i ) = (2 + 3i ) + (− 5 + 10i ) = -3+13i
c) z1 .z 2
à z1 .z 2 = (2 + 3i )(
. 5 − 10i ) = 40-5i
17. Dados os números complexos z1 = 4 − i e z 2 = −2 + 3i , calcule:
a) z1 + z 2
à z1 + z 2 =
b) z1 − z 2
à z1 − z 2 =
c) z1 .z 2
à z1 .z 2 =
Propriedades
Dados os números complexos z1 e z 2 , valem as propriedades:
a) z1 + z 2 = z1 + z 2
b) z1 .z 2 = z1 .z 2
( ) ()
c) z n = z
n
}
— numcompl — 4/9
d) Se z = a , então z = a , a pertencente a R.
18. Calcule z ∈ C nas seguintes equações:
a) (2-i)-i z =7+ 6i 2
b)
(z + z ).i + 3z = 4 − 5i
19. Calcular as raízes quadradas de z = 7 + 24i .
(
)
® z = − 1 + 6 2 + 5.i
® − 4 − 3i e 4 + 3i
Divisão
Dados os números complexos z1 = a + bi e z 2 = c + di, com z 2 ≠ 0 , podemos obter o
z
quociente de z1 por z2 escrevendo-os sob a forma 1 e multiplicando os dois termos da
z2
z
. c − di ) ac + bd bc − ad
a + bi (a + bi )(
fração pelo conjugado de z2: 1 =
=
=
+
.i
. c − di ) c 2 + d 2 c 2 + d 2
z 2 c + di (c + di )(
20. Calcular os quocientes:
7 26
+ .i
a) 5+2i por 3-4i
®
25 25
3 + 2i
9 19
b)
®
+ .i
5 − 3i
34 34
3
2 +i
2 +i
c)
®
=
2
3
2
2 −i

2 
 2 + (− 1) 


1
a
−
bi
d) z −1 ou
® 2
z
a + b2
1
2 − 5i
e)
®
2 + 5i
29
3i
2−i
8 16i
21. Escreva na forma x+y.i a expressão:
−
.
® +
2+i
i
5 5
Plano de Gauss
A representação de um número complexo como par ordenado de números reais é atribuída
a Gauss (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855), que dessa forma pôde dar uma interpretação
geométrica aos números complexos. O número complexo z = a + bi é representado em um
sistema de coordenadas ortogonais pelo ponto de coordenadas P(a,b).
O ponto P(a,b) que representa o complexo z = a + bi é chamado afixo ou imagem
geomética de Z.
Veja mais: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html
22. Coloque na forma algébrica os complexos e os represente no plano de Argand-Gauss:
a) z1 = (3,7 )
® z1 = 3 + 7i
— numcompl — 5/9
b) z 2 = (2,−1)
c) z 3 = (0,4 )
d) z 4 = (1,−1)
® z2=2-i
® z3= 4i
® z4=1-i
Módulo e Argumento de um Número Complexo
Consideremos o número complexo não-nulo z = a + bi , representado no plano de Gauss
pelo afixo P(a,b) e o ângulo θ (0 ≤ θ < 2π ) , formado por OP com o eixo Ox.
Módulo de z: z = a 2 + b 2 ou z = ρ
Argumento de um número complexo z ou z=arg(z) é o número θ , tal que 0 ≤ θ < 2π ,
b
b
senθ =
e cosθ =
, com z ≠ 0 , ( Obs: o ângulo θ é formado pelo eixo OX e o
|z|
|z|
módulo de z, OP ).
23. Determinar o módulo, o argumento e fazer a representação gráfica dos seguintes
complexos:
® |z|=2 e arg(z)=600
a) z1 = 1 + i 3
b) z 2 = −2 + 2.i
c) z 3 = −3i
d) z 4 = 2
e) −
1 i 3
−
2
2
® |z|= 2 2 e arg(z)=450
® |z|= 3 e arg(z)=2700
® |z|=2 e arg(z)=00
® |z|=1 e arg(z)=2100
24. Representar o plano de Gauss os seguintes subconjuntos de C:
a) {z ∈ C , tal que, z = 2}
® x2 + y2 = 4
b) {z ∈ C , tal que, z < 3}
c) {z ∈ C , tal que, z ≥ 1}
d) {z ∈ C , tal que, z > 2}
e) {z ∈ C , tal que, z − i = 4}
f)
g)
{z ∈ C , tal que, z − (1 − i ) = 2}
{z ∈ C , tal que, z − 2 = 2}
® Região interna a circunferência x 2 + y 2 = 9
® Região externa inclusive a circunferência x 2 + y 2 = 1
® Região interna a circunferência x 2 + y 2 = 4
® circunferência C(0,1) e r=4
® circunferência C(1,-1) e r=2
® circunferência C(2,0) e r=2
Forma Trigonométrica dos Números Complexos
z = ρ (cosθ + i. senθ )
25. Escrever na forma trigonométrica os números complexos:
a)
z = − 3+i
b)
z =1− i
5π
5π 

® z = 2. cos
+ i. sen 
6
6 

7π
7π 

® z = 2 . cos
+ i sen

4
4 

— numcompl — 6/9
c)
z = i. 5
d)
z = −2
e)
z=−
3 2 3 2
.i
+
2
2
π
π

® z = 5 . cos + i sen 
2
2

® z = 2.(cos π + i. sen π )
3π
3π 

+ i. sen 
® z = 3. cos
4
4 

26. Escrever na forma algébrica os complexos:
2π 
2π

+ i. sen
a)
z = 4. cos

3 
3

4π 
4π

b)
+ i. sen
z = 3. cos

3 
3

® z = −2 + i.2 3
3 3 3
.i
® z=− −
2
2
Mulplicação de complexos na forma trigonométrica
Dados os complexos z1 = ρ1 (cosθ 1 + i. sen θ 1 ) e z 2 = ρ 2 .(cosθ 2 + i. sen θ 2 ) o produto
z1 .z 2 = ρ1 (cosθ 1 + i. senθ 1 ) . ρ 2 .(cosθ 2 + i. sen θ 2 )
z1 .z 2 = ρ1 .ρ 2 .[cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )]
π
π
3π
3π 


+ i. sen  .
27. Calcule o produto z1 = 5. cos + i sen  e z 2 = 3. cos
2
2
4
4 


5π
5π 

+ i sen 
® z1 .z 2 = 5.3.cos
4
4

4π
4π 
5π
5π 


28. Calcule o produto z1 = 3. cos
+ i. sen
+ i. sen  .
 e z 2 = 2. cos
3
3 
6
6 


13π
13π
13π 

+ i sen
® z1 .z 2 = 3.2. cos
 ou z1 .z 2 = 3.2.cis
6
6
6 

2π
2π 
π
π


+ i. sen
29. Dados os números complexos z1 = 3. cos
 , z 2 = 2. cos + i. sen 
3
3 
4
4


1
4π
4π 
+ i. sen
e z 3 = . cos
 , calcule os produtos:
2
3
3 
11π
11π 

a)
z1 .z 2
® 2. 3. cos
+ i. sen

12
12 

19π
19π 

b)
® 1. cos
+ i sen
z 2 .z 3

12
12 

27π
27π 

3. cos
+ i. sen

12
12 

c)
z1 .z 2 .z 3
®
d)
z 2 .z 2 .z 2
π
π

® 2.2.2. cos 3. + i. sen 3. 
4
4

— numcompl — 7/9
e)
Encontre uma fórmula para z130
® ?
Potenciação de complexos na forma trigonométrica
Dado o complexo z = ρ (cosθ + i. senθ ) e o número natural n , temos:
z n = ρ n (cos nθ + i. sen nθ )
π
π

30. Sendo z = 2. cos + i. sen  , determine na forma trigonométrica:
3
3

a)
z3
b)
z15
Respostas: a)
π
π
π
π


z 3 = 2 3. cos 3. + i. sen 3. 
b) z = 215. cos15. + i.sen15. 
3
3
3
3


31. Calcule as potências:
a)
(1 + i )5
b)
1

 − i. 3 
2
2 

c)
 2
2 

 2 + 2 .i 


d)
(
2 − i. 2
Solução:
3
( 2 ) . cos 5. π4 + i. sen 5. π4  = 4
5



2
2

− i.
2 . −

2
2


5π
5π 
5π
5π

+ i sen 3.  = cos
+ i sen
=i
Solução: 1. cos 3.
6
6 
2
2

6
π
π

Solução: 1.  cos 6. + i sen 6.  = i
4
4

)
7π
7π 

Solução: 2.  cos 8.
+ i sen 8.  = 2
4
4 

8
Radiciação de Complexos na Forma Trigonométrica
Dado o número complexo não-nulo z = ρ (cosθ + i. sen θ ) , vamos determinar os números
da forma w = r.(cosα + i sen α ) , de modo que w n = z , ou seja,
θ + 2 kπ
θ + 2 kπ 

wk = n ρ . cos
+ i sen
 , k ∈ Z , onde atribuindo-se a k os valores 0, 1, 2, 3,
n
n 

..., n-1, obteremos os complexos: w0, w1, w2, w3, ... , wn-1, que são as n raízes distintas de
z = ρ (cosθ + i. senθ ) .
Observações:
1. Qualquer outro valor atribuído a k recairá numa das raízes já encontradas, o que vale
dizer que o número de raízes distintas de um complexo z é igual a n.
2. As n raízes do complexo z = ρ (cosθ + i. sen θ ) possuem o mesmo módulo igual a
n
ρ e seus argumentos formam uma progressão aritmética onde o primeiro termo é
e a razão é
2π
.
n
3. A soma das raízes w0+w1+w2+w3+ ... + wn =0.
θ
n
— numcompl — 8/9
4. Se n ≥ 3 , os afixos das raízes enésimas de z são os vértices de um polígono regular de
n lados, inscrito numa circunferência cujo centro está na origem do plano de ArgandGauss.
32. Calcular as raízes cúbicas de 8i.
θ + 2kπ
θ + 2kπ 

+ i sen
Solução: wk = n ρ . cos
à

n
n


 π

π

 



2
k
π
2
k
π
 + i sen 2 +

wk = 3 8. cos 2 +
 3
3 
3 
3



 



 
 π

π


 


2.0.π 
2.0.π  
2
2
3



+
+ i sen
+
w0 = 8. cos
= 3+i
 3
3 
3 
3



 



 
  π 2.1.π 
 π 2.1.π  
w1 = 3 8. cos +
 = − 3 + i
 + i sen +
3 
3  
6
 6
  π 2.2.π 
 π 2.2.π
w2 = 3 8 . cos +
 + i sen +
3 
3
6
 6

  = − 2i

 3 3 3
3 3 3 
.i,− −
.i 
® 3,− +
2
2
2 
 2
33. Calcular as raízes cúbicas de z=27.
34. Resolver a equação 3 x 4 + 48 = 0 , sendo U=C.
® 2 + 2 .i,− 2 + 2 .i,− 2 − 2 .i, 2 − 2 .i
{
35. Resolver a x5-32=0.
}
® 2 2 .(cos 0 0 + i sen 0 0 ) , 2 2 .(cos 72 0 + i sen 72 0 ) ,
2 2 .(cos144 0 + i sen144 0 ) , 2 2 .(cos 216 0 + i sen 216 0 ), 2 2 .(cos 2880 + i sen 2880 ).
Exercícios
36. Seja a equação z 4 − a − bi = 0 , onde a e b são reais não-nulos. Sobre as raízes dessa
equação podemos afirmar que:
a) uma delas é um imaginário puro.
b) os seus módulos formam uma progressão aritmética de razão 4 | a + bi .
c) o seu produto é um imaginário puro.
arg(a + bi )
d) Cada uma tem argumento igual a
.
4
e) A sua soma é zero.
π
π 
2π
2π 


cos 
cos
 sen
 sec

2
4  e B= 
5
5  . Se
37. (ITA-SP) Sejam as matrizes A= 
 tgπ sen 2π 
 cos π cot g π 
5 
2


a=detA e b=detB, então o número complexo a + bi tem módulo igual a:
— numcompl — 9/9
a) 0
b) 1
c) sen
2π
2π
+ cos
5
5
d) 4
e) 2 2
38. (ITA-SP) O número natural n, tal que (2.i)n+(1+i)2n= -16i, onde i é a unidade
imaginária do conjunto dos números complexos, vale:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 7
e) não existe n nessas condições.
39. ?
Respostas:
36 e; 37 b; 38 a;
Bibliografia consultada
Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval — Matemática volume 3, versões alfa e beta — 2ª
edição revista e ampliada.
Roku, Carlos, Kazuhito — Os Elos da Matemática— Volume 3, Editora Saraiva, 3a. edição
1993