Números Complexos Números Complexos Equação Geral da Circunferência...........................................................................................1 Números Complexos...............................................................................................................2 Forma Algébrica de um Número Complexo .........................................................................2 Conjugado de um número complexo .....................................................................................3 Igualdade de Números Complexos ........................................................................................3 Adição, subtração e multiplicação de números complexos.................................................3 Propriedades ............................................................................................................................3 Divisão .....................................................................................................................................4 Plano de Gauss ........................................................................................................................4 Módulo e Argumento de um Número Complexo..................................................................5 Forma Trigonométrica dos Números Complexos .................................................................5 Mulplicação de complexos na forma trigonométrica............................................................6 Potenciação de complexos na forma trigonométrica ............................................................7 Radiciação de Complexos na Forma Trigonométrica...........................................................7 Exercícios.................................................................................................................................8 Bibliografia ..............................................................................................................................9 Equação Geral da Circunferência Equação: (x − a ) + ( y − b ) = r 2 Circunferência é o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C (centro) é igual a r (raio). Exercícios 1. Determinar a equação da circunferência, em cada caso: a) C(2,7) e r=3 ® (x − 2 )2 + ( y − 7 )2 = 9 2 2 b) C(0,-4) e r= 5 ® (x − 0 )2 + ( y + 4 ) = 5 4 c) C(0,0) e r= 5 1 d) C ,2 e r= 2 2 4 ® (x-0) +(y-0) = à 25x2+25y2=16 5 9 ® x2 + y2 − x − 4y + = 0 4 2 2 2 2. Determine o centro C e o raio r, das circunferências: 2 2 a) ( x − 4 ) + ( y − 1) = 9 ® C(4,1) b) (x − 1) c) (x − 0 )2 + y − 1 2 + ( y − 0) = 5 2 e r=3 ® C(1,0) e r= 5 ® C(0,1/2) e 12 2 = 12 2 2 2 2 d) ( x + 3) + ( y + 10) = 12 ® C (− 3,−4 ) e r=1 — numcompl — 2/9 Números Complexos 3. Resolver a equação do segundo grau: x 2 − 10 x + 41 = 0 . ® duas raízes: 5 − 4 − 1 e 5 + 4 − 1 Potências da unidade imaginária i = − 1 : i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7, i8, i9, ... à ® 1, i, − 1 , − i , 1, i, -1, -i, 1, i, .... 4. Calcule o valor das potências: i49 e i102. ® i e -1 5. Calcule o valor da expressão: 2i9+5i8+3i7. ® 5 6. Calcule a potência i 4 n+ 2 , onde n é um número natural. ® -1 7. Resolva a equação x 2 + 25 = 0 . ® 5i e -5i 8. Resolva a equação x 2 + 3 = 0 . ® i 3 e −i 3 Forma Algébrica de um Número Complexo A partir da unidade imaginária surge um novo conjunto numérico chamado conjunto dos números complexos, que indicamos por C. Forma algébrica: z = a + bi , a = Re(z ) é a parte real de z e b = Im(z ) é a parte imaginária de z. Exemplos: a) z1 = 2 + 5i , Parte real: Re( z1 ) = 2 e Parte imaginária: Im( z1 ) = −5 3 2 b) z 2 = − + i, 5 4 c) z 3 = −7 d) z 4 = −9i 2 3 e Im( z 2 ) = 5 4 Re(z 3 ) = −7 e Im( z 3 ) = 0 Re(z 4 ) = 0 e Im( z 4 ) = −9 Re(z 2 ) = − Exercício 9. Determinar o valor de k de modo que o número complexo z = (2k − 6) + 2i seja imaginário puro. Solução: Um número complexo é imaginário puro se a parte real for igual a zero: 2k-6=0. ® k=3. 2 2 10. Se o complexo z = ( y − 3 y ) + y .i representa um número imaginário puro, então qual o valor de y? ® y=3 11. Encontrar o valor de m para que o complexo z = −3m + (5m + 4)i seja um número real. 4 ®− 3 — numcompl — 3/9 Conjugado de um número complexo O conjugado do número complexo z = a + bi é z = a − bi ou a + bi = a − bi Exemplo: a) z = −2 + 3i seu conjugado é z = −2 − 3i . 2 3 2 3 b) z1 = + i seu conjugado é z1 = − i. 3 7 3 7 c) z 2 = 1 + 2i seu conjugado é z 2 = 1 − 2i ou z 2 = 1 − 2i . Exercício 12. Resolva a equação x 2 + 2 x + 3 = 0 . 13. Resolva a equação x 4 + 10 x 2 − 24 = 0 ® − 1 − i. 2 e − 1 + i. 2 ® S = − 2 , 2 ,−2i 3 ,2i 3 { Igualdade de Números Complexos 14. Determinar os números reais x e y, de modo que 3 x − 2 yi = 6 + 8i . 3 x = 6 Solução: formamos o sistema , encontramos ... ® x=2 e y= -4 − 2 y = 8 15. Determinar os números reais x e y, de modo que se tenha (2x-5y)+(x+y).i= -4. ® 4 4 x=− e y= . 5 5 Adição, subtração e multiplicação de números complexos Na adição e na subtração: somamos algebricamente parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. 16. Dados os números complexos z1 = 2 + 3i e z 2 = 5 − 10i , calcule: a) z1 + z 2 à z1 + z 2 = (2 + 3i ) + (5 − 10i ) = 7-7i b) z1 − z 2 à z1 − z 2 = (2 + 3i ) − (5 − 10i ) = (2 + 3i ) + (− 5 + 10i ) = -3+13i c) z1 .z 2 à z1 .z 2 = (2 + 3i )( . 5 − 10i ) = 40-5i 17. Dados os números complexos z1 = 4 − i e z 2 = −2 + 3i , calcule: a) z1 + z 2 à z1 + z 2 = b) z1 − z 2 à z1 − z 2 = c) z1 .z 2 à z1 .z 2 = Propriedades Dados os números complexos z1 e z 2 , valem as propriedades: a) z1 + z 2 = z1 + z 2 b) z1 .z 2 = z1 .z 2 ( ) () c) z n = z n } — numcompl — 4/9 d) Se z = a , então z = a , a pertencente a R. 18. Calcule z ∈ C nas seguintes equações: a) (2-i)-i z =7+ 6i 2 b) (z + z ).i + 3z = 4 − 5i 19. Calcular as raízes quadradas de z = 7 + 24i . ( ) ® z = − 1 + 6 2 + 5.i ® − 4 − 3i e 4 + 3i Divisão Dados os números complexos z1 = a + bi e z 2 = c + di, com z 2 ≠ 0 , podemos obter o z quociente de z1 por z2 escrevendo-os sob a forma 1 e multiplicando os dois termos da z2 z . c − di ) ac + bd bc − ad a + bi (a + bi )( fração pelo conjugado de z2: 1 = = = + .i . c − di ) c 2 + d 2 c 2 + d 2 z 2 c + di (c + di )( 20. Calcular os quocientes: 7 26 + .i a) 5+2i por 3-4i ® 25 25 3 + 2i 9 19 b) ® + .i 5 − 3i 34 34 3 2 +i 2 +i c) ® = 2 3 2 2 −i 2 2 + (− 1) 1 a − bi d) z −1 ou ® 2 z a + b2 1 2 − 5i e) ® 2 + 5i 29 3i 2−i 8 16i 21. Escreva na forma x+y.i a expressão: − . ® + 2+i i 5 5 Plano de Gauss A representação de um número complexo como par ordenado de números reais é atribuída a Gauss (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855), que dessa forma pôde dar uma interpretação geométrica aos números complexos. O número complexo z = a + bi é representado em um sistema de coordenadas ortogonais pelo ponto de coordenadas P(a,b). O ponto P(a,b) que representa o complexo z = a + bi é chamado afixo ou imagem geomética de Z. Veja mais: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html 22. Coloque na forma algébrica os complexos e os represente no plano de Argand-Gauss: a) z1 = (3,7 ) ® z1 = 3 + 7i — numcompl — 5/9 b) z 2 = (2,−1) c) z 3 = (0,4 ) d) z 4 = (1,−1) ® z2=2-i ® z3= 4i ® z4=1-i Módulo e Argumento de um Número Complexo Consideremos o número complexo não-nulo z = a + bi , representado no plano de Gauss pelo afixo P(a,b) e o ângulo θ (0 ≤ θ < 2π ) , formado por OP com o eixo Ox. Módulo de z: z = a 2 + b 2 ou z = ρ Argumento de um número complexo z ou z=arg(z) é o número θ , tal que 0 ≤ θ < 2π , b b senθ = e cosθ = , com z ≠ 0 , ( Obs: o ângulo θ é formado pelo eixo OX e o |z| |z| módulo de z, OP ). 23. Determinar o módulo, o argumento e fazer a representação gráfica dos seguintes complexos: ® |z|=2 e arg(z)=600 a) z1 = 1 + i 3 b) z 2 = −2 + 2.i c) z 3 = −3i d) z 4 = 2 e) − 1 i 3 − 2 2 ® |z|= 2 2 e arg(z)=450 ® |z|= 3 e arg(z)=2700 ® |z|=2 e arg(z)=00 ® |z|=1 e arg(z)=2100 24. Representar o plano de Gauss os seguintes subconjuntos de C: a) {z ∈ C , tal que, z = 2} ® x2 + y2 = 4 b) {z ∈ C , tal que, z < 3} c) {z ∈ C , tal que, z ≥ 1} d) {z ∈ C , tal que, z > 2} e) {z ∈ C , tal que, z − i = 4} f) g) {z ∈ C , tal que, z − (1 − i ) = 2} {z ∈ C , tal que, z − 2 = 2} ® Região interna a circunferência x 2 + y 2 = 9 ® Região externa inclusive a circunferência x 2 + y 2 = 1 ® Região interna a circunferência x 2 + y 2 = 4 ® circunferência C(0,1) e r=4 ® circunferência C(1,-1) e r=2 ® circunferência C(2,0) e r=2 Forma Trigonométrica dos Números Complexos z = ρ (cosθ + i. senθ ) 25. Escrever na forma trigonométrica os números complexos: a) z = − 3+i b) z =1− i 5π 5π ® z = 2. cos + i. sen 6 6 7π 7π ® z = 2 . cos + i sen 4 4 — numcompl — 6/9 c) z = i. 5 d) z = −2 e) z=− 3 2 3 2 .i + 2 2 π π ® z = 5 . cos + i sen 2 2 ® z = 2.(cos π + i. sen π ) 3π 3π + i. sen ® z = 3. cos 4 4 26. Escrever na forma algébrica os complexos: 2π 2π + i. sen a) z = 4. cos 3 3 4π 4π b) + i. sen z = 3. cos 3 3 ® z = −2 + i.2 3 3 3 3 .i ® z=− − 2 2 Mulplicação de complexos na forma trigonométrica Dados os complexos z1 = ρ1 (cosθ 1 + i. sen θ 1 ) e z 2 = ρ 2 .(cosθ 2 + i. sen θ 2 ) o produto z1 .z 2 = ρ1 (cosθ 1 + i. senθ 1 ) . ρ 2 .(cosθ 2 + i. sen θ 2 ) z1 .z 2 = ρ1 .ρ 2 .[cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )] π π 3π 3π + i. sen . 27. Calcule o produto z1 = 5. cos + i sen e z 2 = 3. cos 2 2 4 4 5π 5π + i sen ® z1 .z 2 = 5.3.cos 4 4 4π 4π 5π 5π 28. Calcule o produto z1 = 3. cos + i. sen + i. sen . e z 2 = 2. cos 3 3 6 6 13π 13π 13π + i sen ® z1 .z 2 = 3.2. cos ou z1 .z 2 = 3.2.cis 6 6 6 2π 2π π π + i. sen 29. Dados os números complexos z1 = 3. cos , z 2 = 2. cos + i. sen 3 3 4 4 1 4π 4π + i. sen e z 3 = . cos , calcule os produtos: 2 3 3 11π 11π a) z1 .z 2 ® 2. 3. cos + i. sen 12 12 19π 19π b) ® 1. cos + i sen z 2 .z 3 12 12 27π 27π 3. cos + i. sen 12 12 c) z1 .z 2 .z 3 ® d) z 2 .z 2 .z 2 π π ® 2.2.2. cos 3. + i. sen 3. 4 4 — numcompl — 7/9 e) Encontre uma fórmula para z130 ® ? Potenciação de complexos na forma trigonométrica Dado o complexo z = ρ (cosθ + i. senθ ) e o número natural n , temos: z n = ρ n (cos nθ + i. sen nθ ) π π 30. Sendo z = 2. cos + i. sen , determine na forma trigonométrica: 3 3 a) z3 b) z15 Respostas: a) π π π π z 3 = 2 3. cos 3. + i. sen 3. b) z = 215. cos15. + i.sen15. 3 3 3 3 31. Calcule as potências: a) (1 + i )5 b) 1 − i. 3 2 2 c) 2 2 2 + 2 .i d) ( 2 − i. 2 Solução: 3 ( 2 ) . cos 5. π4 + i. sen 5. π4 = 4 5 2 2 − i. 2 . − 2 2 5π 5π 5π 5π + i sen 3. = cos + i sen =i Solução: 1. cos 3. 6 6 2 2 6 π π Solução: 1. cos 6. + i sen 6. = i 4 4 ) 7π 7π Solução: 2. cos 8. + i sen 8. = 2 4 4 8 Radiciação de Complexos na Forma Trigonométrica Dado o número complexo não-nulo z = ρ (cosθ + i. sen θ ) , vamos determinar os números da forma w = r.(cosα + i sen α ) , de modo que w n = z , ou seja, θ + 2 kπ θ + 2 kπ wk = n ρ . cos + i sen , k ∈ Z , onde atribuindo-se a k os valores 0, 1, 2, 3, n n ..., n-1, obteremos os complexos: w0, w1, w2, w3, ... , wn-1, que são as n raízes distintas de z = ρ (cosθ + i. senθ ) . Observações: 1. Qualquer outro valor atribuído a k recairá numa das raízes já encontradas, o que vale dizer que o número de raízes distintas de um complexo z é igual a n. 2. As n raízes do complexo z = ρ (cosθ + i. sen θ ) possuem o mesmo módulo igual a n ρ e seus argumentos formam uma progressão aritmética onde o primeiro termo é e a razão é 2π . n 3. A soma das raízes w0+w1+w2+w3+ ... + wn =0. θ n — numcompl — 8/9 4. Se n ≥ 3 , os afixos das raízes enésimas de z são os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência cujo centro está na origem do plano de ArgandGauss. 32. Calcular as raízes cúbicas de 8i. θ + 2kπ θ + 2kπ + i sen Solução: wk = n ρ . cos à n n π π 2 k π 2 k π + i sen 2 + wk = 3 8. cos 2 + 3 3 3 3 π π 2.0.π 2.0.π 2 2 3 + + i sen + w0 = 8. cos = 3+i 3 3 3 3 π 2.1.π π 2.1.π w1 = 3 8. cos + = − 3 + i + i sen + 3 3 6 6 π 2.2.π π 2.2.π w2 = 3 8 . cos + + i sen + 3 3 6 6 = − 2i 3 3 3 3 3 3 .i,− − .i ® 3,− + 2 2 2 2 33. Calcular as raízes cúbicas de z=27. 34. Resolver a equação 3 x 4 + 48 = 0 , sendo U=C. ® 2 + 2 .i,− 2 + 2 .i,− 2 − 2 .i, 2 − 2 .i { 35. Resolver a x5-32=0. } ® 2 2 .(cos 0 0 + i sen 0 0 ) , 2 2 .(cos 72 0 + i sen 72 0 ) , 2 2 .(cos144 0 + i sen144 0 ) , 2 2 .(cos 216 0 + i sen 216 0 ), 2 2 .(cos 2880 + i sen 2880 ). Exercícios 36. Seja a equação z 4 − a − bi = 0 , onde a e b são reais não-nulos. Sobre as raízes dessa equação podemos afirmar que: a) uma delas é um imaginário puro. b) os seus módulos formam uma progressão aritmética de razão 4 | a + bi . c) o seu produto é um imaginário puro. arg(a + bi ) d) Cada uma tem argumento igual a . 4 e) A sua soma é zero. π π 2π 2π cos cos sen sec 2 4 e B= 5 5 . Se 37. (ITA-SP) Sejam as matrizes A= tgπ sen 2π cos π cot g π 5 2 a=detA e b=detB, então o número complexo a + bi tem módulo igual a: — numcompl — 9/9 a) 0 b) 1 c) sen 2π 2π + cos 5 5 d) 4 e) 2 2 38. (ITA-SP) O número natural n, tal que (2.i)n+(1+i)2n= -16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale: a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) não existe n nessas condições. 39. ? Respostas: 36 e; 37 b; 38 a; Bibliografia consultada Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval — Matemática volume 3, versões alfa e beta — 2ª edição revista e ampliada. Roku, Carlos, Kazuhito — Os Elos da Matemática— Volume 3, Editora Saraiva, 3a. edição 1993