Equação diferencial do Circuito RLC Série, para a tensão no

ENG4232- Análise de Circuitos Elétricos
Prof. Marcos Antônio de Sousa
Experiência 09
Equação diferencial do Circuito RLC Série
(Tensão no Capacitor)
di
 v  0 (1)
dt
dv
iC
(2)
dt
(2) em (1) :
Ri  L
dv
d 2v
RC
 LC 2  v  0
dt
dt
d 2 v R dv 1


v0
2
dt
L dt LC
Onde:
R
R
 
L
2L
1
1
 02 
 0 
LC
LC
2 
CIRCUITO SUPER-AMORTECIDO
R  6Ω
L 1H
C  1/5 F
Coeficiente de Amortecimento
Frequência Natural (de Ressonância)
  0 
R

2L
1
4L
C  2
R
LC
  3 Np / s
s1  3  32  5  s1  1
0  5 rad / s
s2  3  32  5  s2  5
Solução v(t):
v (t )  Ae s1t  Be s2t (V)
v (t )  Ae t  Be 5t (V)
Determinação das Constantes A e B:
dv
  Ae t  5 Be 5t
dt
v(0)  A  B  8  A  8 - B
dv
i( 0 )
  A  5B 
 45
dt t 0
C
(3) em (4) :
- 8  B - 5B  20  B  -7 e A  15
Portanto:
v (t )  15e  t  7e 5t (V)
i (t )  C

dv
dt
1
 15e t  35e 5t
5
i(t)  7e 5t  3e t (A)
i(t) 

Cálculo da Corrente
de malha i(t)
CIRCUITO COM AMORTECIMENTO CRÍTICO
R  6Ω
L 1H
C  1/9 F
Coeficiente de Amortecimento
Frequência Natural (de Ressonância)
  0 
R

2L
1
4L
C  2
R
LC
  3 Np / s
s1  3  32  9  s1  3
0  9 rad / s
s2  3  32  9  s2  3
Solução v(t):
v(t )  Aes1t  Bte s1t
(V)
v(t )  Ae3t  Bte 3t (V)
Determinação das Constantes A e B:
dv
 3 Ae3t  Be 3t  3Bte 3t
dt
v(0)  A  B.0  8  A  8
dv
i( 0 )
 3 A  B  0 
 49
dt t 0
C
B  36  3  8  B  60
Portanto:
v (t )  8e 3t  60te 3t (V)
v (t )  (8  60t )e 3t
(V)
i (t )  C

1
 24e 3t  60e 3t  3  60te 3t
9
1
i(t)  36e 3t  180te 3t
9
i(t)  4e 3t  20te 3t
i(t) 
Cálculo da Corrente
de malha i(t)
dv
dt

i(t)  (4  20t )e 3t

(A)

CIRCUITO SUB-AMORTECIDO
R 6Ω
L 1H
C  1/34 F
Coeficiente de Amortecimento
Frequência Natural (de Ressonância)
R
1
4L
  0 

C  2
2L
R
LC
  3 Np / s
s1  3  32  34  s1  3  j 5
0  34 rad / s
s2  3  32  34  s2  3  j 5
Solução v(t):
v (t )  e  .t A cos( wd .t )  B sen( wd .t ) (V)
v (t )  e 3.t A cos(5t )  B sen( 5t ) 
(V)
Determinação das Constantes A e B:
dv
 3 Ae 3.t cos(5t )  5 Ae 3.t sen( 5t )  3Be 3.t sen( 5t )  5Be 3.t cos(5t )
dt
v(0)  A  B  0  8  A  8
dv
i (0)
 3 A  5 B 
 4  34
dt t 0
C
5 B  136  24  160  B  32
Portanto:
v (t )  e 3.t 8 cos(5t )  32 sen( 5t )
(V)
Cálculo da Corrente de Malha i(t):
i (t )  C
dv
dt

1
 24e 3t cos(5t )  40e 3t sen( 5t )  3  32e 3t sen( 5t )  160e 3t cos(5t )
34
1
i(t) 
136e 3t cos(5t )  136e 3t sen( 5t )
34
i(t)  4e 3t cos(5t )  sen( 5t )
(A)
i(t) 



FÓRMULA DE EULER (“OILER”)
e j  cos   j sen 
e  j  cos   j sen 
Solução v(t ) :
v(t )  Ae  jwd .t  Be   jwd .t



v(t )  Ae  .t e  jwd .t  Be  .t e  jwd .t

onde : wd  02   2
Aplicando Euler :

v(t )  e  .t Ae jwd .t  Be  jwd .t

v(t )  e  .t Acos wd .t  j sen wd .t   Bcos wd .t  j sen wd .t 
v(t )  e  .t  A  B  cos wd .t   Aj  Bj sen wd .t 
Fazendo :
A  B  K1
Aj  Bj  K 2
v(t )  e  .t K1 cos wd .t  K 2 sen wd .t  (V)
Ou :
v(t )  e  .t A cos( wd .t   )
onde :
A  K12  K 22
 K2 

K
 2
  tg 1 
(V)